湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含答案

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长郡中学2022年高二下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。时量120分钟。满分150分。第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．在数列中,且,则（）A．B．C．D．2．在棱长为1的正方体中,（）A．1B．C．D．23．在平面直角坐标系中,以点(0,1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（）A．B．C．D．4．在等比数列中,,若成等差数列,则的公比为（）A．5B．4C．3D．25．若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，母线与圆锥底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于两点，若弦中点坐标为(2,-1)，则椭圆的面积为（）A．B．C．D．8．如图，在棱长为2的正四面体中，点分别为和的重心,为线段上一点，则（）

1A．的最小值为2B．若平面，则C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为D．若为线段的中点，且，则二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知直线，则（）A．直线过定点(-2,-1)B．当时,C．当时,D．当时,两直线之间的距离为110．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（）A．B．C．(为常数)D．11.“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,其一为鳖臑.”一个长方体沿对角面斜解(图1),得到一模一样的两个堑堵(图2),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2),得一个四棱锥称为阳马(图3),一个三棱锥称为鳖臑(图4).

2若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．12．已知是抛物线的焦点,是抛物线上的两点,为坐标原点，则（）A．若，则的面积为B．若，则C．抛物线的准线方程为D．若的中点在抛物线的准线上的投影为，则第Ⅱ卷三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．椭圆与双曲线有公共点，则与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_____.14．已知，若三向量共面，则实数_____.15．在平面直角坐标系中,，若动点在直线上，圆过三点,则圆的面积最小值为_____.16．已知数列满足,则数列的通项公式为_____,若数列的前项和为，则满足不等式的的最小值为_____.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图，在棱长是2的正方体中,分别为的中点.(1)求异面直线与所成角的大小;(2)证明:平面.18．(本小题满分12分)已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等.

3(1)求曲线的方程;(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为.(1)求边上的中线所在直线的方程;(2)求的外接圆被直线截得的弦长.20．(本小题满分12分)已知各项均不为零的数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足的前项和为，证明:.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，四边形是矩形,是正三角形，且平面平面为棱的中点,四棱锥的体积为.(1)若为棱的中点,求证:平面;(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在,指出点的位置并给以证明;若不存在，请说明理由.22．(本小题满分12分)已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，直线过与双曲线的右支交于两点，且当垂直于轴时,.(1)求双曲线的方程;(2)过点且垂直于的直线与双曲线交于两点，求的取值范围.

4长郡中学2022年下学期高二期中考试数学参考答案题号123456789101112答案DBACBACDCDBCDADABD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）8．D【解析】如图，易得，，又，则平面CDE，又平面CDE，则，同理可得，，则平面ABD，又，平面ABD，所以，．则当点与点重合时，取得最小值，又，则最小值为，A错误．在正四面体ABCD中，因为平面ABC，易得在DN上，所以，又点N，M也是和的内心，则点为正四面体ABCD内切球的球心．，．设正四面体ABCD内切球的半径为，因为，所以，解得，即，故，B错误．设三棱锥外接球的球心为，半径为，易得球心在直线DN上，且，如图．则，解得，

5故三棱锥外接球的表面积为，C错误．若为线段EN的中点，则，．设，则．因为，所以设，则解得故，D正确．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）12．ABD【解析】因为拋物线，故，焦点，准线为，设，，对于A，如图1，由抛物线的定义可知，即，故，代入，解得，所以，故A正确；对于B，由得，故，即，又，，故，得或（舍去），则，，故，故B正确；

6对于C，易知准线为，故C错误；对于D，如图2，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，连接MN，，在中，，，所以，即，故D正确．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2414．115．【解析】如图，要使圆的面积尽可能小，则，点位于第一象限，设，又，，所以线段AB的中垂线方程为，则圆心在直线上，不妨设圆心坐标为，圆的半径为，所以，即，则，所以，所以，当且仅当即时取等号，

7所以，所以圆面积的最小值为，此时．16．；6（第一空2分，第二空3分）【解析】在数列中，，由得，而，于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，所以数列的通项公式为；显然，，则，由得，即，令，则，即数列是递增数列，由，得，而，因此，，从而得，，所以满足不等式的的最小值为6．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】根据题意，建立如图所示空间直角坐标系．则，，，，，∴，，，．

8（1），∴，∴异面直线EF和所成的角为60°．（2），∴，即，，∴，即．又∵，平面，且，∴平面．18．【解析】（1）设的坐标，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标，所以的轨迹方程为．（2）当直线过点，且斜率为0时，即直线与拋物线的对称轴平行时，直线与曲线有一个公共点，此时直线的方程为；当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为，显然与拋物线相切；当过的直线斜率存在时，设直线的方程为，联立整理可得，则，即，解得，此时直线的方程为，综上所述，满足条件的直线的方程为或或．19．【解析】（1）∵，，∴边的中点的坐标为，∴中线AD的斜率为，∴中线AD的直线方程为，即．（2）设的外接圆的方程为，∵，，三点在圆上，

9∴解得∴外接圆的方程为，即，其中圆心为，半径，又圆心到直线的距离为，∴被截得的弦长的一半为，∴被截得的弦长为．20．【解析】（1），，当时，，两式相减得，由得，即，满足上式，因此，，于是得数列是首项为4，公比为4的等比数列，，所以数列的通项公式是．（2）由（1）知，，而，则，即，则，，两式相减得，所以．21．【解析】（1）如图，取SC中点，连接EF，FD，∵E，F分别为SB，SC的中点，

10∴，，∵底面四边形ABCD是矩形，为棱AD的中点，∴，，∴，，故四边形PEFD是平行四边形，∴．又∵平面，平面SCD，∴平面SCD．（2）假设在棱SA上存在点满足题意，在等边中，为AD的中点，∴，又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，∴平面ABCD，则SP是四棱锥的高．设，则，，∴，解得．以点为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，．设，∴．设平面PMB的一个法向量为，则取．易知平面SAD的一个法向量为，

11∴，∵，∴，故存在点，位于AS靠近点的三等分点处满足题意．22．【解析】（1）依题意，，当垂直于轴时，，即，即，解得，，因此双曲线的方程为．（2）设，联立双曲线方程，得，当时，，，，，；当时，设，，，因为直线PQ与双曲线右支相交，因此，即，同理可得，依题意，同理可得，，而，代入，，，分离参数得，，因为，

12当时，由，，所以，综上可知，的取值范围为．