高等数学word教案定积分的应用_4

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1、精品文档高等数学word教案定积分的应用1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量。3、掌握用定积分表达和计算一些物理量。教学重点：1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：1、截面面积为已知的立体体积。2、引力。6?1定积分的元素法回忆曲边梯形的面积?设y?f?0?如果说积分?A??abfdx是以[a?b]为底的曲边梯形的面积?则积分上限函数A??axfdt就是以[a?x]为底的曲边梯形的面积?而微分dA?fdx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?

2、A?fdx??fdx称为曲边梯形的面积元素?以[a?2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创28/28精品文档b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素fdx为被积表达式?以[a?b]为积分区间的定积分?A?b?afdx?一般情况下?为求某一量U?先将此量分布在某一区间[a?b]上?分布在[a?x]上的量用函数U表示?再求这一量的元素dU?设dU?udx?然后以udx为被积表达式?以[a?b]为积分区间求定积分即得U??abfdx?用这一方法求一量的值的方法称为微元法?6?定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y?f上与y?f下及左

3、右两条直线x?a与x?b所围成?则面积元素为[f上?f下]dx?于是平面图形的面积为S??[f上?f下]dx??a类似地??由左右两条曲线x??左与x??右及上下两条直线y?d与y?c所围成设平面图形的面积为?S??[?右??左]dy?c例1计算抛物线y2?x、y?x2所围成的图形的面积??解2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创28/28精品文档画图??确定在x轴上的投影区间:[0?1]??确定上下曲线???f上?x,f下?x2?计算积分??S??dx?[x2?x3]10?0333213bd例计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形的面积??解画图??确定在

4、y轴上的投影区间:[?2?]??确定左右曲线???左?y2,?右?y?4?计算积分?4S??dy?[y2?4y?y3]4?2?18?2226?2y2x??1所围成的图形的面积?例求椭圆2ab2解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍?椭圆在第一象限部分在x轴上的投影区间为[0?a]?因为面积元素为ydx?所以S?4?ydx?0a椭圆的参数方程为:x?acost?y?bsint?于是S?4?0ydx?4?bsintd2a0??4ab??sintdt?2ab?dt?2ab??ab??002?222016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创28/28精品文档2．极坐标情形曲边

5、扇形及曲边扇形的面积元素?由曲线???及射线???????围成的图形称为曲边扇形?曲边扇形的面积元素为dS?[?]2d??曲边扇形的面积为S????[?]2d?2?例4.计算阿基米德螺线??a?上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积?2?解:S??02d??a2[3]0?a2?3?3322?例5.计算心形线??a所围成的图形的面积???解:S?2?0[ad?22a2????sin2?]??a2[?2sin0?242二、体积1．旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体?这直线叫做旋转轴?常见的旋转体?圆柱、圆锥、圆台、球体?旋转体都可以看作是

6、由连续曲线y?f、直线x?a、a?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体?设过区间[a?b]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V?当平面左右平移dx后?体积的增量近似为?V??[f]dx?2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创28/28精品文档于是体积元素为dV??[f]2dx?旋转体的体积为V??a?[f]2dx?例1连接坐标原点O及点P的直线、直线x?h及x轴围成一个直角三角形?将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体?计算这圆锥体的体积?解:直角三角形斜边的直线方程为y?rx?hb2所求圆锥体的体积为2h2h1??hr?V??0?2d

7、x??r2[1x3]0h33h例2?计算由椭圆xa22?yb22?1所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积?解:这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆y?baa2?x2及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体?体积元素为dV??ydx?于是所求旋转椭球体的体积为V???a?aba22dx??2ba22[ax?213a?4?ab2?x]?a33例计算由摆线x?a?y?a的一拱?2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创28/