杨超版考研数学-导数

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(1)vlimxsin—=0,5-Xlimxsin—=lim.t—>+00YXT+OO.Isin-111且％sin—在（0,+oo）上连续,则xsin—在（0,+oo）上有界111(2)令/'(%)=—sin—,取用,=(n为正整数)XX4-f则f(xn)=2n兀H>+00(当〃ー>8)则原函数无界(3)vlim—sinx=1.lim—sinx=OXT0+XXTEX1.1.且一smx在(0,+oo)上连续,则一smx在(0,+oo)上有界XXAc・ヽrsinr,(4)令/(x)=Idtsinxf\x)=——xe(0,2013)x由（3）知,/'（x）在（0,2013）上有界,则/（x）在（0,2013）上有界。故选D

113页《9x~+2x—3+2x+11、lim,=yjx2+sin2x.y]9x~+2x-3+2x+1lim.=yJx2+sin2xlimx—>+oolimyj^X'+2x—3+2x+1y]x~+sinlimー史+ホisin2x十丁故原极限不存在。2、/(%)=0~ln(l+e')ln(1+e*)+a-(-1)=-a=b故a=-2,b=215页:1、limxsinlxx2+\=limx-X—>002xx2+\

2sinx+ln(l+2x)cosx+t4-hmf==hm…03,+>/1—%—2i°3Fn3+/2、1+2_6In3T21n3-l,n-2na+1hmln"廿n(l-2a)(1ヽ=hm«In1+(n(l-2a)>=limn="川n(l-2a)1-2asinx.——lim()i=e4、sina,.MilA.,MUA-MilUln(——)ln(14-:x—>ax—aハズー>ax—asin.r-sinahmx-^a(x-a)sina_cola16页:X—>001,limザ(a*-a"り=limx2•a*+i(a*"M)-1)X->a0=limx21•x—>ooIna,=Inax(x+1)1,sinx1.sin%一%、hm—In=hm—•ln(l+)1°X'X1°rXsinx-x1=lim；—=—x6

3丄1沛(办5+3x4+4-％)=lim3、,,加バ+31+1-1..1(4f5+3f+l)=lim-=lim-ー〇+t，-»0+ttanx-sinxxln(l+x)-x12V1+tanx+Vl+sinx175(：..ノ1+tanx—，1+sinxhm=hmxln(l+x)-x"ー。2、=-limcosx111-cosx——=-lim2ln(l+x)-x2,旬ln(l+x)-x=-lim|x2ln(l+x)-x22..ギー(i+xAhmx->0cosx!「x=—hm=limx—>021n(l+x)x=lim^2ln(1+x)—2x-1)=lim—ex->022ln(1+x)—2x21=e11ln(l+x)-ln(x+vl+xI°(x+jl+x2-l)x10(x+Vl+x2-l)x)hm,■=hmimx+Jl+x?)ln(l+x)Jln(x+Jl+x2)」n(l+x)

4=lim丄2

5lim(X—>00(x—a)(x+b)x2limxln\.Ve*T8(x—a)(x+fr)lim:X2-(x-a)(x+b)(x-a)(x+b)..(a-b)xi+ahxlim(x-a)(x+b)20M：1,|3n由例1可得:|3"X邸W>i1|x|oo?'71-…dn~+n+

6'+n+2n~+n+n-1■…H；,则n~+n+

7~+n+nn'+n+n”,1+2+.・・+〃n2+n+\=>n~+n+nooペガ+〃）n~+n+n4(n~+n)—<»即limS=—〃一>8n

8\3n/U)=limJl+|x|故有二个不可导点。21页:1、b0,又〃foo时くlimy=B>0=",»=y/A-B=A%+yA+B„=」~亠==B2、q=21%=2(另’,%=2'2ハ弼）2・孑い夕nlima=2n=l=221页:[/(x)dx=[f(x)dx+[/(x)dx+.f(x)dx=/(31)+/(32)+...+/'(3„_1)

9其中,3/(1,2),3/(2,3),3/(3,4),...,3._/(〃ー1,〃)./(2)+/(3)+...+/(n)/(n)/=-(2V2-l)f(x)d切(1)+”2)+...+_/(〃ー1)——)i+n1+(n2+iyjn+nT)ny/n+n…+匕]+チ117n\/l+チ)4，ヱlim丄,(，1+ウ+...+Jl+チ)18nlx又一(%)为单调减少且非负的连续函数,故

10231、2、23页:/（3一万）一"3）1"3一九）ー"3）1lim=—lim=/（3）=—152力25-h2111nサ㈤メ，し11mた）_2ザ）=-/'（〇）3。X1。XX页:

11lim=limx—はー。)2/(a)/(x)-/(a)x-aU-g)f'(g)~[f(x)-f(a)]7(X-a)2[/,(a)]2(x-a)fXa)=]..(x-fl)/'(fl)-[/(x)—/(fl)]=]Um尸(fl)--")[/'(a)]2(x-a)?[/'(fl)]2し2(x-a)=/'(a)2[/1(fl)]224页:lim(sinVT+%-sin«)令/は)=sin4,在区间[x,x+1]上应用拉氏中值定理，有/は+1)—/は)=/'G)看Gは,X+1)=%[/(%+1)-Zは)]=黜f")=黜cos亚卡25页:1、举反例:/(〃)=—必>“2,但｛以｝发散，(厶)错。n/(〃)=〃,/<“2,但｛”“｝发散,(C)错。/(〃)==,"1>“2，但｛ち｝收敛,(B)错。26页:ln(1+x)-ax-bx11、hm--バ0x2[は—x2+0はユ))一flx-bx2=limXTOy2

12=lim=210厂…5ci=1,/?=—2故选(4)atanx+b(l-cosx)hm-=lim2、ー°cln(l—2x)+d(l—er)ー。na=-4cX—alimx(--1).Iim(^^)x=e-R小=eコ18x+aP4x2e~2'dx=f-2x2(e~2')'dx=JuJa=+2a2e-2a+-2x(e-2iydx3、=+2a2e-2a-2xe-2x\^+「2e2xd.=+2a2e-2a+2ae-2a-e-2x\^=2a2e2a+2ae~2a+e~2a=(2a2+2a+\)e2a==>a=0或。=—1〇4、利用/ay/or"r2r4f(x)=x-a+b(\--+—+0(x5)ハハ,a8わ、aa+16/?=(1-Q—b)x+(—+—)x612120°Qij由己知1ー。一Z?=0,—+—=0612ax+(x2)a.==2-2cx+0(x)—2c-2x2e-2x7+j4xe-2xdtX'r3r5)(x6+51+。"))バ+0(バ)

135、W7+7+7V出)=izj4.r+hし。T力_*)/=limi=lim3axビサゴー,极限要存在,则b=]此时,I=lim妃=lim6m+2『‘=Hm6回ゴ,极限要存在,则。=ーキ,xtO5xktO20ダ1020广う此时，I=limモ汽二=一小29页1./=lim，Jい产+り=Hm二一ざーJ极限要存在,则b=i/=lim宀”t三=号=0,则。=チ,故选(A)xtOxfO2.•/g(x)=x2ln(1—bx)-bx'133f(x)=%—sinax=x-(ax—(ax)+o(x))611a=(1-a)x+—(ax)+o(x)6又lim2^~-=1,/.a=\,b=——zg(x)6故选(A)3、/(X)为6阶无穷小,而g(X)为5阶无穷小,故选(B)31页:xf(x)+sin6%，旬バf(x)+6sin6x-6xf(x)+6x“へ=—+——=hm36=0/(x)+6

14nhm-——：——=36Dピln(l+x+厶ボ)f(%)-lim2、Z=lim(l+x+^-L2)^=e°*2。X极限存在,则，(0)=0.ユ作え件lim红山]_“10x_,ビー〇厂—グー。2x则/(0)=0I=e'^°2=e=>/"(0)=4f(r}-lim厶2lim(l+x+-アニe…*=e~ー。xfiXnど"3、f-dx=-—其中ぜw(0,1)J)1+x1+4,广x"故limIdx=028J)1+%4、]ススーゝーか=ナスー二•p,其中ナe(ハ,〃+p)=>limf'x2e~'dx=limp-ど=0〃T8Jn〃T8

15〇〇■:sin%=£n=0、.•て（一け(一1)"/+|(2n+l)!12n+l=limlim2"(2〃+リ!sinオル_ド行（-1）"（方）2日ーム（2n+l）!J，ズ(セ1+x-eA)2—2cos方一号x3(l+jx+O(x)-(l+x+0(x)))Hm2一2（1一三+忌+01ス）一号）xtO——x48I3244页:1、令/(%)=arctanx1—arccos22x1+x22(l+x2)-2x-2x(1+ズ)211+ズ]1-2x+/.l+2x+.P1+バ1-％2(1+x2)21一%+1+x2|l-x|(l+x)(1+X2)gl)即:f(x)=c又川）二故/（め、ス

162、同1可证。46页:lim1ハ。y（4ー2%）-/は。ー工）=limA->0./(VQ-2.V)-/(.Iq-x)XT0f(均ー2x)-/(刈)-1/(*0-*)-/(勾)】X..1A_>0C/(めー2.1)一/(殉)./(.tQ-.r)-/(.tQ)け（1+X）］3-［川ガ=lim/(I+%)-/(!)•[(/(I+x))2+/(I+x)-/(I)+[/(I)]2]=/'(1){[/(1)]2+[/(1)]2+[/(1)]2]=2-(4+4+4)=2447页:nx—Yalim:—=a"(ha一1)ハ“x-a48页:1、y(l)=0/'(1)=lim」，■■—lim~~*f|%—1ス』(x—l)(x+l)(x+2)…(x+m)(一1)"(〃ー1)!(m+1)!

17[tan(チx)—1]…[tan(チス')”>—100]/(l)=o/'(D=lim=lim一——(-99!)1cos(fx)99!=712,lim2=lim2vln2-/W+2'/'W3ヽx—>o%x—>o=ln2-l49页:1、(〇成立,固ガ>0,因此只能推出y;'(〇)存在,而不能推出('(0)存在,又极限存在,故/(0)=0。修。h22,(D)命题错误。1-f~f(~x)H/(-^)-/(0一(ヂ(一X)-/(0)lim二]]mX—>0yX—>0y=lim/a)-/(o)+/(-^)-/(o)=2/,(o)1°X-X不能推出，'(0)=0,故选(D)50页:1、(xA-x)=0=>X]=0,x2=l,x3=-1f'(nrf(x)~f(_1)r(x2-x-2)(x3-x)nj(-1)=lim=lim=0—iー「X+1-ー「X+1tf(-1)=0,故ス=-1可导。■+

18，⑴=Iio/")7⑴=エーー2)。+1)(ズr)=4-5X-1XT「X-\If(1)=-4,故％=1不可导。+同理x=0也不可导。故选(B),2、(C)成立令ド(X)=/(x)-|g(x)|,/(x),g(X)均〃阶可导,f£(X„)=0X—,£(%)<0若くJ(x0)w0,且不妨设0U'(^o)*Oxfx+°,g(%)>0则:Fー「)=lim—"6は)ール。)gは。)AX%x—xo=lim—~~lim_f\x)g(x)-f(x)g\x)Iス0X—XQスー・0=-f(%O)g'(/)F+\x0)=f(x0)g\x0)故ド(％)此时在X=%0时不可导,但当g(%o)=O,/(%o)=O时,同理可证可导。故选(〇»50页:1、％G(-8,〇),则ー％€(0,+8)[/(X)]'=[-/(-X)]'="/'(-X)-(-1)=/'(-x)>0[/(X)]"=[-/(-x)]"=[-f\-x)-(-1)],=[/'(-x)]'="/"(-x)<0

19故选(A)o5I页:1、若/(a)。〇,而/(x)在x=。处可导,则/(无)在％=a的邻域内连续,故/(%)在x=a的邻域内,/(%)的函数值同号,故当/(x)>0时,=/(%),%¢(4—ざ,a+ざ)。当/(a)<0时，|/(x)|=-f(x),x&(a-^,a+6),故/(x)在x=a处可导。若"a)=0时,令ド(幻=げ(刈り⑴=lim幽二卫=lim迴=lim—”可…+x-a-+x—aバ/x-a=lim/UWW=|y.(fl)|x-aF_\a)=hmx->a~|/(x)-/(a)|x-alimハ幻づ⑷—ax-a故当/(a)=0,且/'(a)wO时，|/(x)|在％=a处不可导的充分条件。选(B)52页:1、つ,2.22y'=-sin(x.222,=-2xsin(x2)-sin7cos—•cos(x2)ス厂x)-2x-sin—+cos(x2)•cos—・(——-)xxx"

20y=^[ln(l-x)-ln(l+x2)]-1—2x1—X1+x~—12(1+x~)—2x-2x(17)2レ衿_3~2(1+バ)22x1-013、キ=ダ=8[§f(x2)]-7'(x2)-2x察=ゾ=2/(x2)cos[f(ゴ)]+4x7"(x2)cos[/(x2)]4、dydx-4式/，),sin[/(/)]ハ/3%-2ヽ3(3x+2)-3(3x-2)f()3%+2(3%+22)..3x—2.23(3%+2)—3(3%—2)=arcsin()：3%+2(3x+22)第"3rcsinl,3=-—71254页:1、左右两边取对数,有:1.,,v—In无ー+=arctan一,左右两边对x求导有:2x

21112x2+y2,1x+y•(2x+2y-(%+y今)=衿烏2.スつx2+y2釦ーyx~n也dxx^yx—yd2y^2(x2+y2)dx2(x—y)32、左右两边取对数,有lnx+/(y)=y,左右两边对x求导有:1ハ,ヽdydy-+/(y)~=—xdxdx=办=-1dxx[l-7'(j)]/y=d(给ニーロー/(y)行dx2dxx2[l-/'(y)]2一口ー/(y)+x(ーバy)♦给]

22兀dy丁!、1当"ス时‘ホmニー・故法线斜率为:1+イラ3、x=pゆ•cos0=e°cos0y=p（の•sin。=e°sin6—=e0sin0+e,cos0.——=e（＞cos0-e”sin0d0d0dy_sin6+cose_1dx\o=^cos。一sin。（p,の=（/,チ）,在直角坐标中为（〇,/）故方程为:x+y=e^56页:1,dx_1Jdy多ダは）d?xd（志）dxdy2dxdy二一ダ⑴1二ダ（%）3（切2ダ（无）3（め了=＞原微分方程可化为:ーーと（％+（＞+sinx）——!ーーr=0nーゾは）+y+sin%=0即:d2ydx'一y=sin%。

2357页:1,ーー1___(x3+1)-2x2-2x-3~(x-3)(x+l)(x+_1)(ズ-x+1)2(x-3)(x+l)(x-3)(x+l)x(x-3)+2x+1111=二(rx-32x-3x+12(x-3)+71z11ヽ=x+()x—32x—3x+1c71111=X+2H1—x-32x-32x+1011311=x+2++2x-32x+1故严_13__(x-3)n+l1(x+l)n+,2、利用泰勒公式有:/w=__=/(o)+/w+...+2_£)r+...0000〇〇=X'jl)"，)"=X'JIYX"=ZD"”"n-0n=0n=0故:y(n)(0)=(3n+4)!-(-l)n.n=0,1,2...3、/'(x)=4sin3xcosx-4cos3x-sinx=4sinxcosx(sin2x-cos2x)=2sin2x(-cos2x)=-sin4x故f⑹(x)=4"T•cos(4x+芋)58页:1,

24=yf2e'cos(x+y'=e'cosx+excos(x+—)=excosx+cos(xH—)=(6)°ゼcos(%+2笈)4y[")=22e'cos(x+スブ2、ハsinx1/ピ(_げf用%X3!(2〃+1)!ハズ(一1)"ズ”ヽ=(1K..)3!(2〃+1)!f0,つーn=2k-l=y叫ス)=(ーげ，-~—n=2k,k=(1,2..,)[2k+11y'-{arctsnx)'=；\+x=1—X~+尤4+...+(—1)严(0)」〇,1(ーピ(2わ!，60页:•=£(-1)ゼk=Qゼ+…n=2k…，(攵=0,1,2,...)n=2k+13、

25f(b)-f(G)=b-f’化)T,1=>arctanb=b1+ど”,b-arctanbnど=arctanb,,ど..b-arctanbnlim^r=lim7ムー〇いー・->oarctan/7"/?'=limh^Ob-arctanb故选(c)»而不是连续。2、注此题条件:/(x)在闭区间［a,リ上有定义,故(A)(C)(D)均错选(B)61页:ハ令尸(加爲(g(触〇又f(a)=f(b)=O-故ド(％)=尸3)=0。又/(%)与g(x)在［a,句连续,在(a,み)可导。故ド(%)满足罗尔中值定理:即：ヨー个ge(a,b),使得小0=0。，(りg(J)ー"ざ)g&)「0,屋©n/'G)gC)=/e)g&)2、令ド(め=驾F(l)=i=F(2)=^=i

26又/(x)在1,2］上连续,在(1,2)内可导,故ド(%)满足罗尔中值定理,有:ョー个(1,2)使得:£'((^)=0/cピー2フ(の即:=Uグつ/ぐ)チ=2/ゼ)=/心猪=3、令ド(％)=ザyは),尸(0)=0,又//(x)厶=0,则根据积分中值定理,有：ヨー个ク¢(0,1),使得:/(ワ)=0,则F(t;)=0O故ド(%)满足罗尔中值定理，有：ヨー个すe(0,ク)u(0,1),使得：戸(J)=0即:ダG)+2/)=062页:1、令尸(%)="/(%)尸(。)=尸(b)=0又/(%)在ル,口上连续,在(a,み)内可导。则ド(%)满足罗尔中值定理，有：ヨー个Je(a,b),使得ド’(J)=0。つ.⑹+ザ〇=02、令尸(X)=ガ(X),/⑴=22xf(x)dx=2X(!—0)(ワ/(ワ))=クf(ワ),〃e(0，g)

27又/(%)在区间［0,1］上可微,则在％G(ワ,1)上ド(X)满足罗尔中值定理,有:ヨー个Je(り,1),使得:偌)+りペ)=0。63页:1、证:由题设知:f(c)-f(O)f(c)-f(l)cc-\又一(x)在［0,1］上连续,在(0,1)内二阶可导，则/(%)在(0,c)上与(c,l)内分别满足拉氏中值定理，有：ョー个うe(0,c),使得“c)T(0)=尸©)Cヨー个ぐ,e(c,l),使得:"9ニア)=ナゼ,)c-1"は)在©,ち)内满足罗尔中值定理,有：ヨー个IG©/2)U(0,1)使得尸‘G)=〇〇2、证：(I)设/は),g(x)的最大值为M,且：f(ct)=g(c2)=M.厶/e(。カ),则:令ドは)=fは)一gは)F(cl)=f(c,)-g(c,)=M-g(ct)>0F(c2)=f(c2)-g(c2)=f(c2)-M<0ドは)在(£,。2)满足介值定理，有ヨー个ワG(ct,c2),使得：尸(ク)=0,n/S)=gS)

28(F(x)在個,満足罗尔中值定理,‘レF(x)在场满足罗尔中值定理,住ヨー个錬得a,ワ)尸©)=0ヨー个徳欲ワ,。)尸©)=。I2二＞ヨー个岐耀,あ)u(a力),f"c)=o。bp:グc)=g"e)63页:3、证:/(%)在ス=4处的泰勒展开为:f(ヽ、丄X、丄ハん),ヽ2丄ヽ3fM=f(x0)+f(x0)(x-x0)+———(%ー/)+———(x-x0)&G(X,X〇)令%=-1,%0=0.则:/(-1)=/(0)+ハ0)(-1)+ビ"(ーげ+ビ舁(-1)3……①2〇”(-1,0)令ス=1,%0=0,则:/⑴=/(0)+/(0)(1)+二"(1)2+ビ”(+1)3…②2〇”(0,1)又"-1)=0,/(1)=1,/'(0)=0由②一①有:1J"'©)+グ(4)6，(幻+尸(あ」2故由介值定理可知ヨー个JG(—1,1)使得:

29/"C)=364页:证:/は）在（02）内满足拉氏中值定理,有:ヨー个ぐ使得:/I《）="幻ー/（のb-a令g（x）=%2,则/（%）,g（x）在（a,Z?）内满足柯西中值定理,有：ヨー个ワ使得:/(/?)-/(a)/'(〃)一—f\rj),~~,,—1s―g(b)—g(fl)g

30)b--a22rl=>/(/?)-/(fl)(b+fl)/'S)-b—a2ク=f")即证。2、证:令ド（x）=e'/（x）,则ド（％）在（fl,b）内满足拉氏中值定理，有:ヨー个ワe（fl,人）使得:F叱二”⑷=尸（ワ）つザ髪ゴ"。）=e"（/（ク）+/,（ク））b-ab-a=4^="（/（ワ）+/'（〃））b-a令g（x）=e",则g（x）在（fl,み）内满足拉氏中值定理,有：ヨー个gem,わ）使得:豊*=g")b-a即证。b-a=グ(/(ワ)+/'("))

311、因/(0)=0,/(1)=1,且/(%)是［0,1］上的可微函数,故由介值定理知ヨー个す使/ゼ)=5,Je(〇」)。又,/(外在(〇〇与(虞1)上分别满足拉氏中值定理,有:ヨー个。¢(0¢),使得:尸(幻……①ヨー个あ¢¢,1),使得:尸4)=由①②知：——/'©)/©)=2ざ+2(1ーざ)=2即证。1,2,令ド(％)=f(x)——X'ド(よ)在(0,一)内满足拉氏屮值定理,有：ヨー个ge(O,丄),使得:“田:"(。)=尸⑹22=2FG)=2/(i)-|(-)3=/©ーど...①同理,在(―,1)内有:ヨー个ワ€(;』),使得:ド(1)：/G)二尸(ク)=>2/(1)---(2/(1)--(-)')=/'(ワ)ージ=プ⑺ーザ=-2F0).……(2)

32由①②知:ハ"）ーガ=-（尸ゼ）一ピ）=>/（の+/（〃）=ど+ガ65页:3、证:/（X）在ス=4处的泰勒展开为:/（%）=/（ム）+/'（x0）（x-ム）+-Xo）2”は,ム）,£a+b,,则:令x=,又=b.贝リ20/（空）=一⑸+尸⑸.（ヂ）+彎2（デァ..…①チw（a,b）b+a令％=,x.=a,则20/啓）=f（a）+/⑷（ず）+ず）2..…②—一"昨3一ダ（幻ーバゆー4レ3）一Aの|=2=.ーけ・…・③乂f"©）一"&）<『居）1+l.nも）|=|/W|④由③④知げ©は川:?;;⑷66页:1、方程两边对％求导,有:cos（孙）（y+孙）+=1当刀=0,y=1时,1+亠ny'ko=l故切线方程为:y=x+\67页:1、f(x)=Jx2e~r-te''1dt

33令f'(x)=2xjx2e''dt+x'e~xA-2x-x2ex4-2x=2x[e'dt=0—〉ス1—0,X-,—1,Xy=-1故易知:单调递增区间为(—1,0),(1,+00)单调递减区间为(—8,—1),(0,1)极小值为/(±l)=0,极大值为/(0)=丄(1ー丄)2e2、极小值点,/(X)的导数在此点的左方为负,右方为正。极大值点/(X)的导数在此点的左方为正,右方为负。故选(C)68页:f"(r)1、lim厶占ノ=1。由极限的保号性有:ー。\x\f"(x)在xr(ーざ,0)(0,+5)内为正。故(〇,/(〇))不是拐点。/'(X)在xe(—5,0)时，为增函数，而/'(0)=0故在此区间内y'(x)<0。

34同理f\x)在％e(0,+ざ)内,f\x)>0。故/(0)是/(%)的极小值。69页:1、(1)—=2/,~~=4—2tdtdtdy2—zd2yd(朱)dt=,1—=dttdx2dtdx—t—(2—t)1—21eit~2f~~e故120时是凸的。2—t4t—t2(2)ユー5=4」"つム=1或ん=一2(舍去)tt+2"〇,〇丁ク=>k=1二・切线方程为y=%+1..yx2-2x+2.2,a=lim-=lim=15x18x(x-1)Z?=lim(y-x)=limXT8XT8x2—2x+2xx-1..x~—2x+2ーr+x=lim=-1X—>00故斜渐近线方程为:y=x-\ryrxln(e+!).3、a=lim—=lim-=1x—>+<»yx—>+ooyb=lim(y—x)=limx(ln(e+チ)-1)X—>+<»X—>400ln(e+r)-l1=hm=-x->(rtp故斜渐近线方程为:y=x+-

35....*+丄X*+X+11,limy=hme*arctannr(x-l)(x+2)故x=0为y的一条渐近线。X~+X+1(x-l)(x+2)1・1・x+~limy=limexarctan故y=0为y的一条渐近线。故选故)。,-x3-16„2x3+902、ダ"-Lダニ——令y'=0,得:x=-y/i6.令y"=0,得:x=ベ45X(-00,--^45)-V45(―V45,—Vf6)-V16(-V16,+co)ダ+++0—ゾ—0+++y!"|拐点|"|极值凹故（一00,ー祈石）,/（x）为增。（ー祖％',+8）,/（x）l。/（一”猿）为极大值。（-00,—加5）,/（X）为凸,（一也三+〇〇）,/（X）为凹（一掲ノ（一掲））为拐点。バ+43、limy=lim——--=0y=0为水平渐近线。X—>00XT8ス4limy=lim=〇〇ズ=0为垂直渐近线。1、z(-V)=tanx+x-1/(0)=-l<0,/(l)=tanl>0故由零点定理得:至少ヨー个g使/(g)=o即有解。2、同1.

363、f(x)=2x-\-X2令，'(x)=2Fn2—2x/3=2,(22アー2/"'(x)=2t(ln2)3>0=/"(X)为增函数,(％G(-8,+8))2故/"(x)=0,只有唯一根,即:2"=?(In2)2/为，'(x)的极小值。„..242In2-4f(x„)==—<0In2(In2>(ln2)2而limf'(x)=+oo>0lim/'(x)=+oo>0XT-00X—>+00故/'(x)=。有"两个根，即:f'(^)=0-7'(x2)=0又知/(0)=0,/(l)=0,而/'(0)=ln2〉〇7'(l)=21n2-2<0故そ€(0,1),x,e(l,+oo)o又/(2)=-1<0,lim/(x)=+oo故/(x)=0在(-o。,+oo)上有三个根。

371、令/(x)=x--sinx,712f\x)=1cosx=0=>x0=arccos—27t又当(〇,%〇),/'(x)<0当(%〇,す)，/'W>0故x=%o是/(%)在(0,エ)内的最小值点。且/(x0)=arccossin(arccos—)=y071271即/(x)在(0,9内的取值范围为［九,〇)〇综上所述,当攵〈儿或ん20时,方程xsinx=k在(0,一)内没根;22当ん=X,时,有唯一根％〇。当为<女<()时，原方程有两个根。2、令ド(％)=41nx-(lnx>—4x-kxe,(0,+oo),14F'(x)=4(lnx)3--+4ーー=0xx4(ln?x+x-l)ハ.n-=0=>x=lx又，xg(0,1),F'(x)<0；xg,(l,+oo),F'(x)>0故F(l)为极小值。F(l)=4ーん,

381"当セ=4时,有唯一交点2°当k<4时,无交点。3"%>4时，有两个交点。74页:f（x）=tanx1、在（o,£）内,/（外满足拉氏中值定理:有:ヨー个ぐ€（a,6），使得:/(尸)ー〃a)P-antanターtana=(3-acos?J又COSX在XG（〇,一）为减函数,B-aB-aB-a故1—-くヒー「く上一ペ-cos'crcos-cos'p2、证:/（X）在（0,X1）与（ムム+ム）内满足拉氏中值定理，有:ョー个。w（0,xJ,使得:/©)=”演)—/(0"(%)ョー个あW（占,%+工2），使得:/")=)(羽+ち)-/(*2)=)(占+*2)-/(ち)X1+%2一X2而不妨设X,

39f(x.+x7)~/(x2)/(X,)__=L」——2ノJゝ2ノ<丄ど卫又ム>0,%,>0当メnf(xi+x2)e)x，”ヽ1-lnxハf(x)=——<0x故，(%)为减函数,xe(e,+8)则わ>a>e时,有:f(b)a

40bah>ba76页:1、令/は)=，_l)ln%_(%_l)2,(x>0)f\x)=2xInx+x---2(x-1)=2xlnx-xー丄+2=0xxf"(x)=2

41x=>x0=1,且为极小值。/(I)=0故/(%)と〇即:(x2-l)lnx>(x-1)22、同理1.3»同理1.

424、设/(%)=ゼ+(1-X)。,p>0,X€[0,1]尸(め=px*+p(l—x尸ズ—1)=0n(上尸=1=%=丄1一ズ2当xw(〇,;)时,/'(x)<0,当xe(g,l),/'(x)>0故％=丄时为/(%)的极小值点,且/(l),/(0)为最大值。故人うく/(%”/⑴つ」—)F2P~'89页:1、令1=sin2x,te(0,1)_2,c.2sin2x又cos2x+tan'x=l-2sinxd——1-sin-%n_/")=l一力+乙i-t=>j/\t)dt=jl-2r+-_-dt=-ln|l-/|-/2+c即:f(x)——In|1ーイ—x~+c(0

43xcosx-sinxsinxX~/(x)=()=(=>2xcos2x-sin2xsin2x•(2x)28x+cX8x=-cos2x-sin2%ハ+C4x2xcos2x-sin2x-sin2x一+C89页:3、\+2x2x4+x2x27dxx2(l+ザ)-dxx2+\1+x21+%2dx4,=—————dxJx2(l+x2)=*-1+1+x2dx11+X~dx」バ7+arctanハ，1=——+arctanx+cx5、sinxCOSXCOSXdx—!—dx1+sinxr1-sinx,—I~dxJl-sinx"ー丄+ccosx

446、-~~]-^-dxsinxcosxrsinx+cosx.|-;~dxJsmxcosx+C90页:(arcsinx)2.——IdxVT-x2=2fsinVxt/Vx1>arcsinx)2darcsinx2、3、5、1二一(arcsinx)〜+c-2cos厶+c“ア二J%e=arctanex+c1+2.\[x,—r=-r=-dX=2-2+虫dxx+y/xyJX(X+yJX)x+=21n4、6、rCOS2%,dxJl+sinxcosx=-dsin2x2」1+jsin2x=ln(l+gsin2x)+c-dxl+e2xe'(\+e2x)ex(\+e2x)Jdx1+e'x=-e~x—arctanex+cdx

45+cos2xcosxdx+1-2sin2xdsinx-2sin2x-dsinx1.5/2sinx=—^arcsinx尸卜c<2V390页:8、cos2x,T~dxsinx+cosxcos2xx+cosX)-2sinrcosx■dx1-1(sin2x)2■dsin2x"(1ー为由2幻(1+お也2公<1sin2x1,V2+sin2x=—~j=In-7=Fc2v2J2-sin2%91页:1、jVa2—x~dxAx..,令一=sinZ,ax=acostata原积分，=-a2sin2t•acostdt

46=—(-sin2f+r)+c22»X1/22——arcsin—I—xyci-ス+c2a2fX22、——〜,、dxJ(l+x)人」!コ令え=tanf,Jx=——azCOS-Z=ftanサ——ヽ・J(1+tan'cos'?rtan2f1,^-at(cot21)2C°S，=jsinリカrl-cosIt,=dtJ211.c=—t—sin2r+c2411=t—sin/cosf+c2211X=—arctanx+c221+ピ92页:3、［_.dx」スjl-x2cost=—•Jq〜-x~asin2r=2-—•—yja2—x2aa=丝厶2—X?a.Xsin/=-r・Vl+X21COSf=,Vl+X2令％=sinf,dx=costdt

47=[costdtJsin八cost1cost=—j=y/\+X.\[xsint=-丁にy/1+x(•arctany/x,4、I——..—axJJl+x令7x=tan/,%=tanarctan\[xy/\+x-2InIVT+jc+y[x\1dx=2tant—dtcos-t=2t2Inbtanr+ccostcost

48nJほ二応=，37y力=2t-2arctant+c—2"\Js'-1—2arctan7e'—1+cn/=2x\[e*-1-4y/ex-1+4arctany/ex-1+c),•arctanVxt/xarctan\[xdx2=xarc32=—xarc32=xarc3tan«-f—J3—•x2ax\+xtan7x—[dx3+xtanyfx—x+ln(1+x)+c94页:e"smbxdx3,)'sinbxdx1.=—e"-sinZ?x-a=-sinbx-arl—e"-bcosbxdxia),•cosbxdx=—etttsinbx-e^cosbx+b-(-sinbx)dx1bb=—eaxsin/?xe"cosbx——1b=—eaxsinbxグcosbxa2a'Jらaettt-sinbxdx

49=>Iasinbx-bcosbxa12+b24、(1+X~)yJ\+X=dx,2/=］（ビ3皿）.（1+%2）5厶6皿ジ（1+ズ）52rcMJ(l+/)32xdクarctanxx.earctanjdx+X一arctanx=-/+Jl+7x.earclant(\+X2)\l\+X2arctan.re(\+x2)yJ\+x2dx1厂—^^-(1-7177)3、=limx+yi+ピ—=lim%+a+グ_：=-/***1,(y)-[i-/,(y)]2x2[l-7'(y)]355页:

501、dx_2tdy_1dt\+t2'dt\+t2の="(给"(紛カdxdxdtdx___1_1+r2_\+t22ア2t4戸dydydt1,=—cost；；—2、dxdtdx-sinf-2cosfsint1+Xx'arctanxr.e—IyjX+X2

51_>/=+cJl+%2