2022-2023学年高中数学湘教版2019选择性必修一第4章+单元测评Word版含解析

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第4章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游,若从广州到深圳一天中动车组有30个班次,特快列车有20个班次,汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有(　　)A.240种B.180种C.120种D.90种2.根据数组中的数构成的规律,其中的a所表示的数是(　　)A.2B.4C.6D.83.下列计算结果是21的是(　　)A.A42+C62B.C73C.A72D.C724.在(a+b)n的二项展开式中,与第r项二项式系数相同的项是(　　)A.第n-r项B.第n-r-1项C.第n-r+1项D.第n-r+2项5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻,3个阴爻,则该重卦的种数是(　　)A.6B.1512

1C.20D.16.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课.如果数学只能排在第一节或者最后一节,物理和化学必须排在相邻的两节,则所有符合条件的排法总数为(　　)A.24B.144C.48D.967.1+x+1x4的展开式中,常数项为(　　)A.1B.3C.4D.138.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(0,3)=(　　)A.80B.8C.40D.24二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2022广东清远高二期末)若x+1x2n的展开式中含x2项,则n的值可能是(　　)A.6B.9C.12D.1410.若(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,则(　　)A.a0=1B.a0=0C.a0+a1+a2+…+a10=310D.a0+a1+a2+…+a10=311.在含有3件次品的50件产品中,任取2件,则下列说法正确的是(　　)A.恰好取到一件次品有C31C471种不同取法B.至少取到一件次品有C31C471种不同取法C.两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有C31C471A22种不同取法D.把取出的产品送到检验机构检查,能检验出有次品的不同方式有C31C471种12

212.小赵、小李、小罗、小王、小张五人报名志愿者服务,现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排,则下列说法正确的有(　　)A.若五人每人可任选一项工作,则不同的选法有54种B.若每项工作至少安排一人,则有240种不同的方案C.若礼仪工作必须安排两人,其余工作安排一人,则有60种不同的方案D.已知五人身高各不相同,若安排五人拍照,前排两人,后排三人,后排三人中要求身高最高的站中间,则有40种不同的站法三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.x+2x2n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大,则n的值为　　　　　. 14.学校要邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会,其中甲、乙两位家长不能同时参加,则不同的邀请方法为　　　种. 15.若(ax-1)6展开式中x3的系数为-160,则实数a的值为　　　　,展开式中各项系数之和为　　　. 16.(2022山东无棣高二期中)若x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6,则a3=　　　　　. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022福建宁德高二期中)(1)计算:C33+C43+C53+…+C123(用数字作答).(2)解不等式:3Ax3≤2Ax+12+6Ax2.12

318.(12分)(2022山东菏泽十二校高二期中)在①前三项系数成等差数列,②二项式系数之和为64这两个条件中,任选一个,补充在问题中,并进行解答.问题:在x+12xn的展开式中,　　　　　,求n的值及展开式中的常数项. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)(2022山东潍坊高二期末)已知3x-1xn的展开式中各项系数之和为32.(1)求n的值;(2)求x+1x3x-1xn展开式中的常数项.12

412

520.(12分)(2022江苏南京鼓楼高二期末)我们曾用组合模型发现了组合恒等式Cn+1m=Cnm+Cnm-1,这里所使用的方法,实际上是将一个量用两种方法分别算一次,由结果相同来得到等式,这是一种非常有用的思想方法,叫作“算两次”,对此,我们并不陌生,例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式.(1)某医院有内科医生8名,外科医生x(x≥3)名,现要派3名医生参加赈灾医疗队,已知某内科医生必须参加的选法有66种,求x的值;(2)化简:Cn2Cnn-1+Cn3Cnn-2+…+Cnn-1Cn2+CnnCn1.12

621.(12分)现有编号为A,B,C的3个不同的红球和编号为D,E的2个不同的白球.(1)若将这些小球排成一排,且要求D,E两个球相邻,则有多少种不同的排法?(2)若将这些小球排成一排,要求A球排在中间,且D,E各不相邻,则有多少种不同的排法?(3)现将这些小球放入袋中,从中随机一次性摸出3个球,求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数.(4)若将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子,每个盒子至少一个球,则有多少种不同的放法?(注:请列出解题过程,结果保留数字)12

722.(12分)(1)如图1所示,某地有南北街道5条,东西街道6条,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法?(2)如图2所示,某地有南北街道5条,东西街道6条,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,已知C地(十字路口)在修路,无法通行,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法?(3)如图3所示,某地有南北街道5条,东西街道6条(注意有一段DE不通),一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法?(4)如图4所示,某地有南北街道5条,东西街道6条,已知C地(十字路口)在修路,无法通行,且有一段路DE无法通行,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法?12

8参考答案第4章测评1.D　根据分类加法计数原理,得方法种数为30+20+40=90.故选D.2.C　从第三行起头尾两个数均为1,中间数等于上一行肩上两数之和,所以a=3+3=6.故选C.3.D　由题意可知A42+C62=4!2!+6!2!4!=12+15=27,C73=7!3!4!=35,A72=7!5!=42,C72=7!2!5!=21.4.D　第r项的二项式系数是Cnr-1,由于Cnr-1=Cnn-r+1,所以与第r项二项式系数相同的项是第n-r+2项.故选D.5.C　根据题意,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,某重卦中有3个阳爻,3个阴爻,则满足题意的重卦有C63=20种.故选C.6.D　根据题意,先排数学有2种方法,物理和化学相邻有A22种排法,再与剩下的3节随意安排,有A44种安排方法,故所有符合条件的排法总数为2A22A44=96.故选D.7.D　由于1+x+1x4表示4个因式x+1x+1的乘积,故展开式中的常数项可能有以下几种情况:①所有的因式都取1;②有两个因式取x,一个因式取1,一个因式取1x.故展开式中的常数项为1+C42×C21=13,故选D.8.D　在(1+x)6(1+y)4的展开式中,x3y0项的系数为C63C40=20,即f(3,0)=20;x0y3项的系数为C60C43=4,即f(0,3)=4,所以f(3,0)+f(0,3)=24.故选D.9.BD　因为x+1x2n的展开式的通项为Tr+1=Cnr(x)n-r1x2r=Cnr·xn-r2·x-2r=Cnr·xn-5r2,令n-5r2=2,得n=4+5r,因为r∈N,若r=1,则n=9,故B正确;若r=2,则n=14,故D正确.故选BD.10.AC　因为(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,所以令x=0可得a0=1,令x=1可得a0+a1+a2+…+a10=310.故选AC.12

911.AC　在含有3件次品的50件产品中,任取2件,恰好取到1件次品包含的基本事件个数为C31C471,A正确;至少取到1件次品包括两种情况:只抽到一件次品,抽到两件次品,所以至少取到一件次品有C31·C471+C32·C470种不同取法,B错误;两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有C31C471A22种不同取法,C正确;由题意可知有次品即可,所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有C31·C471+C32·C470种不同方式,D错误.故选AC.12.BCD　对于A,若五人每人可任选一项工作,则每人都有4种选法,则5人共有4×4×4×4×4=45种选法,A错误;对于B,先将5人分为4组,将分好的4组安排四项不同的工作,有C52A44=240种分配方法,B正确;对于C,分2步分析:在5人中任选2人,安排礼仪工作,有C52=10种选法,再将剩下3人安排剩下的三项工作,有A33=6种情况,则有10×6=60种不同的方案,C正确;对于D,分2步分析:在5人中任选2人,安排在第一排,有A52=20排法,剩下3人安排在第二排,要求身高最高的站中间,有2种排法,则有20×2=40种不同的方案,D正确.故选BCD.13.5　因为x+2x2n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大,所以Cn2=Cn3,解得n=5.14.49　若甲、乙两位家长都不参加,则有C76=7种不同的方法;若甲、乙两位家长只有1人参加,则有C21C75=42种不同的方法.综上所述,共有7+42=49种不同的方法.15.2　1　若(ax-1)6展开式中x3的系数为-160,则有C63(ax)3(-1)3=-20a3x3,即-20a3=-160,解得a=2.由a=2,则(ax-1)6=(2x-1)6,令x=1,得(2x-1)6=16=1,即展开式中各项系数之和为1.16.-20　x6=[-1+(1+x)]6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6,∴a3=C63(-1)3=-20.17.解(1)根据题意,C33+C43+C53+…+C123=C44+C43+C53+…+C123=C54+C53+C63+…+C123=C124=495.(2)根据题意,x∈N+,且x≥3,3Ax3≤2Ax+12+6Ax2,即3x(x-1)(x-2)≤2(x+1)·x+6x(x-1),变形可得3(x-1)(x-2)≤8x-4,解得23≤x≤5.又x≥3,则x=3或4或5.12

10所以原不等式的解集为{3,4,5}.18.解因为二项展开式的通项为Tr+1=Cnrxn-r12xr=Cnr·12rxn-2r.选择①:前三项的系数成等差数列,前三项的系数分别为Cn0·120=1,Cn1·12=n2,Cn2·122=n(n-1)8,则2×n2=1+n(n-1)8,解得n=8或1(舍去).当n=8时,Tr+1=C8r·2-rx8-2r,令8-2r=0,解得r=4,所以展开式的常数项为C84·2-4=358.选择②:二项式系数和为64,则2n=64,所以n=6.当n=6时,Tr+1=C6r·2-rx6-2r,令6-2r=0,解得r=3,所以展开式的常数项为C63·2-3=52.19.解(1)由题意,令x=1得(3-1)n=2n=32,解得n=5.(2)因为二项式3x-1x5的通项为Tr+1=C5r(3x)5-r·-1xr=C5r(-1)r·35-r·x5-2r.令5-2r=-1,解得r=3,故展开式中含有x-1项的系数为C53(-1)3·32,再令5-2r=1,解得r=2,展开式中含有x项的系数为C52(-1)2·33,所以x+1x3x-1x5展开式中的常数项为x·C53·(-1)3·32·x-1+1xC52·(-1)2·33·x=-9C53+27C52=18C52=180.20.解(1)内科医生8名,外科医生x(x≥3)名,现要派3名医生参加赈灾医疗队,某内科医生必须参加,该事件等同于从剩下7名内科医生,外科医生x(x≥3)名,派2名医生参加赈灾医疗队,即C7+x2=66,C7+x2=(7+x)(6+x)2×1=66,即x2+13x-90=0,解得x=5或x=-18(舍去).(2)∵(1+x)n(1+x)n=(Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn)(Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn),∴xn+1的系数Cn1Cnn+Cn2Cnn-1+Cn3Cnn-2+…+Cnn-1Cn2+CnnCn1,∴原式可以看作(1+x)n(1+x)n展开式中xn+1的系数减Cn1Cnn,∴原式=C2nn+1-n.21.解(1)依题意将D,E两个球看作一个整体与其他3个球全排列,由分步乘法计数原理可知不同的排列方法有A22·A44=48种.(2)将这些小球排成一排,要求A球排在中间,且D,E各不相邻,12

11则先把A安在中间位置,从A的2侧各选一个位置插入D,E,其余小球任意排,方法有A11·C41·C21·A22=16种.(3)将这些小球放入袋中,从中随机一次性摸出3个球,求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为C53−C33=9种.(4)将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子,每个盒子至少一个球,则先把5个小球分成3组,再进入3个盒子中.若按3,1,1分配,方法有12C53·C21·C11·A33=60种,若按2,2,1分配,方法有12C52·C32·C11·A33=90种.综上可得,不同的放法共有60+90=150种.22.解(1)由题意可知,由A到B的最短距离需要9步完成,其中向南走5次,向西走4次,故不同的走法共有C94=126种.(2)若先经过C再到B,需向南走3次,向西走2次,共C52种走法,由C到B需向南走2次,向西走2次,共C42种走法,故先经过C再到B共有C52C42种走法,故不经过C共有C94−C52C42=66种.(3)经过ED,由A到D,需要3步,由E到B,需要5步,由A到D共有C31种走法,由E到B共有C52种走法,所以经过ED的走法共有C31C52种,故不经过ED的走法共有C94−C31C52=96种.(4)由A经过DE到C的走法共有C31种,再由C到B需要向南、向西各走2次,共有C42种走法,故经过DE到C再到B的走法共有C31C42种走法,故不经过DE也不经过C的走法共有C94−C52C42−C31C52+C31C42=54种.12