几何变式题

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v1.0可编辑可修改1、（2009年牡丹江）已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明．AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F2、（2009年常德市）如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）图9图10图11图83、(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．图（2）MBEACDFGNNMBECDFG图（1）4．（2009年莆田）已知：等边的边长为．探究（1）：如图１，过等边的顶点依次作的垂线围成5

1v1.0可编辑可修改求证：是等边三角形且；探究（2）：在等边内取一点，过点分别作垂足分别为点①如图2，若点是的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．；结论2．；②如图3，若点是等边内任意一点，则上述结论是否仍然成立如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．NMAGCBAFCEBDAFCEBD（图1）（图2）（图3）OAFCEBD（图4）OO5.（2009黑龙江大兴安岭）已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．图2图3图1(N)（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论（不需证明）．（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系请分别写出猜想，并任选一种情况证明．6．（2009年铁岭市）是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线于点，连接．（1）如图（a）所示，当点在线段上时．①求证：；②探究四边形是怎样特殊的四边形并说明理由；（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形并说明理由．5

2v1.0可编辑可修改AGCDBFE图（a）ADCBFEG图（b）7．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分,,与互补，求证：．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“”,如图2，可证．（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）8、（福建漳州卷）如图，已知矩形，在上取两点（在左边），以为边作等边三角形，使顶点在上，分别交于点．（1）求的边长；（2）在不添加辅助线的情况下，当与不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；（3）若的边在线段上移动．试猜想：与有何数量关系并证明你猜想的结论．6.(25T)(大连市14分)如图25－1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．⑴求证：ME=MF．⑵如图25－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．5

3v1.0可编辑可修改⑶如图25－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由．⑷根据前面的探索和图25－4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．9、（潍坊市05）如图，已知平行四边形及四边形外一直线，四个顶点到直线的距离分别为．（1）观察图形，猜想得出满足怎样的关系式证明你的结论．(2)现将向上平移，你得到的结论还一定成立吗请分情况写出你的结论．10.（黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为、、，△ABC的高为。“若点P在一边BC上，如图（一），此时，可得结论：。”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内，如图（二），点P在△ABC外，如图（三）这两种情况时，上述的结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，、、与之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明。10.．如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形。（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD＝90°，求证：△ABR≌△CRD；（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件【解】5

4v1.0可编辑可修改11.(本题8分)已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC．当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明．12.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=900，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．(1)如图②，当∠C≠900，AD为AABC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系不需要证明，请直接写出你的猜想：(2)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．5