陕西省西安市2021--2022学年八年级下学期期末考试数学试卷（pdf解析版）

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西安市2021--2022学年八年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列几何图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若x＞y，则这下列各式中一定正确的是（）A．x﹣5＜y﹣5B．4x＜4yC．﹣2x＞﹣2yD．2x+1＞2y+13．（3分）下列从左至右的变形是因式分解的是（）A．x（x+y）＝x2+xyB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．a2+2a+1＝（a+1）2D．x2+2x+9＝x（x+2）+94．（3分）在△ABC中，∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，∠C所对的边为c，下列选项中不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a2+b2＝c2B．∠A+∠B＝∠CC．a＝6，b＝8，c＝10D．∠A：∠B：∠C＝3：4：55．（3分）在平面直角坐标系中，将线段AB平移至线段A'B'，若点A（0，2）对应点为A'（2，0），则点B（2，3）的对应点B'的坐标为（）A．（4，1）B．（0，3）C．（4，3）D．（﹣2，5）6．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（）A．30°B．32°C．34°D．36°第1页（共24页）

17．（3分）如图，直线y＝x+1与直线y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于不等式x+1≥mx+n的解集是（）A．x≥﹣1B．0≤x≤1C．x≥1D．x≤18．（3分）已知关于x的方程有增根，则m的值为（）A．﹣3B．1C．1或0D．3或﹣59．（3分）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝45°，∠DAB的角平分线与DC边交于点E，连接EB，过点E向AD的延长线作垂线，垂足为F，若DF＝，EC＝1，则△ABE的面积为（）A．2B．C．2D．310．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+8与x轴和y轴分别交于点A和点B，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴，垂足为点F，交BD于点E，连接AE，则三角形AFE的周长为（）A．14B．16C．21D．22第2页（共24页）

2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分式的值为0，则x＝．12．（3分）正六边形的每个内角的度数是度．13．（3分）若关于x的不等式5x﹣k≥4+4x的解集是非负数，则k的值为．14．（3分）如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的角平分线交于点E，F为AC中点，若AE＝5，CE＝10，则FE的长为．15．（3分）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为三角形．16．（3分）已知：△APD中，PA＝3，PD＝6，以AD为边向下作矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，且∠AOB＝60°，连接PO，则PO最大值为．三、解答题（本大题共7小题，共52分）17．（7分）因式分解：（1）a3﹣2a2+a；（2）y2﹣9（x+y）2．18．（5分）解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：．19．（8分）（1）计算：；（2）解分式方程：．第3页（共24页）

320．（6分）如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°．（1）请用尺规在AC边上找一点P，使得PC+PB＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，若AC＝6，则PC＝．21．（8分）如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF＝12，MC＝13，求FN的长．22．（8分）某工厂计划招聘甲、乙两种工人生产同一种零件，每小时甲种工人比乙种工人多生产10个零件，甲种工人生产150个这种零件所用时间与乙种工人生产120个这种零件所用时间相等．（1）甲、乙两种工人每小时各生产多少个这种零件？（2）若该工厂计划招聘90名工人，且甲种工人人数不超过乙种工人人数的2倍，如何招聘才能在10小时内生产最多的这种零件？最多能生产多少个这种零件？23．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E是BC的中点，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边ADFE．（1）四边形ADFE是形；（2）如图2，将图（1）中的△DCF绕点D旋转至△DMA，连接ME，求线段ME的长；（3）如图3，在上述四边形ADFE中，连接DE，点M是射线EF上一动点，将△DMF绕着点D旋转至△DNA，P、O分别是DE，DN的中点，连接QP，求QP的最小值．第4页（共24页）

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5参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列几何图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此判断即可．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了中心对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．2．（3分）若x＞y，则这下列各式中一定正确的是（）A．x﹣5＜y﹣5B．4x＜4yC．﹣2x＞﹣2yD．2x+1＞2y+1【分析】根据不等式的性质分析即可．【解答】解：A、不等式的两边都减去5，不等号的方向不变，原变形错误，故该选项不符合题意；B、不等式的两边都乘4，不等号的方向不变，原变形错误，故该选项不符合题意；C、不等式的两边都乘﹣2，不等号的方向改变，原变形错误，故该选项不符合题意；D、不等式的两边都乘2再加上1，不等号的方向不变，原变形正确，故该选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．3．（3分）下列从左至右的变形是因式分解的是（）A．x（x+y）＝x2+xyB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2第6页（共24页）

6C．a2+2a+1＝（a+1）2D．x2+2x+9＝x（x+2）+9【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此解答即可．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、是因式分解，故此选项符合题意；D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查因式分解的定义，因式分解的公式、记住因式分解的定义以及因式分解的公式是解决问题的关键，属于基础题．4．（3分）在△ABC中，∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，∠C所对的边为c，下列选项中不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a2+b2＝c2B．∠A+∠B＝∠CC．a＝6，b＝8，c＝10D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵a2+b2＝c2，∴能判定△ABC为直角三角形，故A不符合题意；B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴能判定△ABC为直角三角形，故B不符合题意；C、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100，∴a2+b2＝c2，∴能判定△ABC为直角三角形，故C不符合题意；D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝75°，第7页（共24页）

7∴不能判定△ABC为直角三角形，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．5．（3分）在平面直角坐标系中，将线段AB平移至线段A'B'，若点A（0，2）对应点为A'（2，0），则点B（2，3）的对应点B'的坐标为（）A．（4，1）B．（0，3）C．（4，3）D．（﹣2，5）【分析】根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标．【解答】解：∵点A（0，2）对应点为A'（2，0），∴向右平移了2个单位，向下平移了2个单位，∴B（2，3）的对应点B'的坐标为（2+2，3﹣2），即（4，1）．故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．6．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（）A．30°B．32°C．34°D．36°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC的度数，根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，可得∠DBA的度数，进一步即可求出∠DBC的度数．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，第8页（共24页）

8∴∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝30°，故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．7．（3分）如图，直线y＝x+1与直线y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于不等式x+1≥mx+n的解集是（）A．x≥﹣1B．0≤x≤1C．x≥1D．x≤1【分析】首先将已知点的坐标代入直线y＝x+1求得a的值，然后观察函数图象得到在点P的右边，直线y＝x+1都在直线y＝mx+n的上方，据此求解．【解答】解：∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），∴a+1＝2，解得：a＝1，观察图象知：关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1，故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出两函数图象的交点坐标，根据函数图象可得答案．8．（3分）已知关于x的方程有增根，则m的值为（）A．﹣3B．1C．1或0D．3或﹣5【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x（x﹣1）＝0，得到x＝0或x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘x（1﹣x），得3（x﹣1）+6x＝x﹣m，化简，得第9页（共24页）

98x＝3﹣m．∵原方程有增根，∴最简公分母x（1﹣x）＝0，解得x＝0或x＝1，当x＝0时，m＝3，当x＝1时，m＝﹣5．故m的值为3或﹣5．故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．9．（3分）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝45°，∠DAB的角平分线与DC边交于点E，连接EB，过点E向AD的延长线作垂线，垂足为F，若DF＝，EC＝1，则△ABE的面积为（）A．2B．C．2D．3【分析】过E作EG⊥AB交AB的延长线于G，由角平分线的性质得EG＝EF，再证△DEF是等腰直角三角形，得EF＝DF＝，DE＝DF＝2，则AB＝CD＝DE+EC＝3，EG＝，然后由三角形面积公式即可得出结论．【解答】解：如图，过E作EG⊥AB交AB的延长线于G，∵∠DAB的角平分线与DC边交于点E，EF⊥AD，∴EG＝EF，∠EFD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠EDF＝∠DAB＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF＝，DE＝DF＝2，∴AB＝CD＝DE+EC＝3，EG＝EF＝，第10页（共24页）

10∴S△ABE＝AB•EG＝×3×＝，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+8与x轴和y轴分别交于点A和点B，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴，垂足为点F，交BD于点E，连接AE，则三角形AFE的周长为（）A．14B．16C．21D．22【分析】根据题意求出A、B两点的坐标，根据已知条件先证△CBN≌△ABO，即可求得BN＝BO＝8，CN＝OA＝6，进一步求得C点的坐标，再证得△CDE≌△ADE，得到AE＝CE，即可得到AE+EF＝CE+EF＝CF，即可根据△AEF周长＝AE+EF+AF＝CF+AF求出周长即可．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+8与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴当x＝0，则y＝8，故B（0，8），当y＝0，则x＝6，故A（6，0），∴AO＝6，BO＝8，第11页（共24页）

11过点B作BN平行于OF，交CF于N，∴∠NBO＝90°，∴∠ABO+∠ABN＝90°，∵∠CBN+∠ABN＝90°，∴∠CBN＝∠ABO，在△CBN和△ABO中，，∴△CBN≌△ABO（AAS），∴BN＝BO＝8，CN＝OA＝6，∵BN∥OF，∠BOF＝∠CFO＝90°，∴四边形OBNF为正方形，∴CN＝OA＝6，BN＝BO＝8，∴C（8，14），∴CF＝14，OF＝8，∴AF＝8﹣6＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD，∵BD是正方形的对角线，∴∠CDE＝∠ADE，在△CDE和△ADE中，，∴△CDE≌△ADE（SAS），∴AE＝CE，∴AE+EF＝CE+EF＝CF，∴△AEF周长＝AE+EF+AF＝CF+AF＝14+2＝16．故选：B．第12页（共24页）

12【点评】本题主要考查了一次函数、正方形、全等三角形、三角形的周长、勾股定理等知识点，构造全等三角形利用等量代换求解是解答本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分式的值为0，则x＝2．【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零解答即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴则2x﹣4＝0且x+5≠0，∴x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．12．（3分）正六边形的每个内角的度数是120度．【分析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．【解答】解：根据多边形的内角和定理可得：正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．【点评】本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和公式即可解决问题．13．（3分）若关于x的不等式5x﹣k≥4+4x的解集是非负数，则k的值为k≥﹣4．【分析】将k看作已知数，求出不等式的解集，根据解集是非负数即可确定出k的范围．【解答】解：5x﹣k≥4+4x，移项得：5x﹣4x≥4+k第13页（共24页）

13合并得：x≥4+k，根据题意得：4+k≥0，解得：k≥﹣4．故答案为：k≥﹣4．【点评】此题考查了解一元一次不等式，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．14．（3分）如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的角平分线交于点E，F为AC中点，若AE＝5，CE＝10，则FE的长为．【分析】利用平行线的性质判定是直角三角形，再利用勾股定理求斜边长，再求EF．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∵∠BAC和∠ACD的角平分线交于点E，∴∠CAE＝∠BAC，∠ACE＝∠ACD，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，由勾股定理得：AC＝5，∵F为AC中点，∴EF＝AC＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质，结合角平分线，直角三角形的性质是解题的关键．15．（3分）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为等腰或直角三角形．【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴c2（a+b）（a﹣b）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b），第14页（共24页）

14∴当a＝b，则△ABC是等腰三角形；当a≠b，则c2＝（a2+b2），故△ABC是直角三角形，当a＝b，且c2＝（a2+b2），故△ABC是等腰直角三角形，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰或直角．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确将原式利用平方差公式分解因式得出是解题关键．16．（3分）已知：△APD中，PA＝3，PD＝6，以AD为边向下作矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，且∠AOB＝60°，连接PO，则PO最大值为3．【分析】如图，在AP的右侧取一点J，使得JA＝JP，∠AJP＝120°．连接AJ，JP，OJ，过点J作JH⊥AP于点H．求出PJ，证明△PAD∽△JAO，推出＝＝，推出JO＝2，根据OP≤JP+OJ＝+2＝3，可得结论．【解答】解：如图，在AP的右侧取一点J，使得JA＝JP，∠AJP＝120°．连接AJ，JP，OJ，过点J作JH⊥AP于点H．∴JA＝JP，JH⊥AP，∴AH＝PH＝，∵∠AJP＝120°，∴∠JAP＝∠JPA＝30°，∴PJ＝2JH，第15页（共24页）

15∴PJ＝，JH＝，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∵∠AOB＝60°，∴∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠PAJ＝∠DAO，∴∠PAD＝∠JAO，∵＝＝，∴△PAD∽△JAO，∴＝＝，∴JO＝2，∵OP≤JP+OJ＝+2＝3，∴OP的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题考查等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．三、解答题（本大题共7小题，共52分）17．（7分）因式分解：（1）a3﹣2a2+a；（2）y2﹣9（x+y）2．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2；（2）原式＝[y+3（x+y）][y﹣3（x+y）]＝（3x+4y）（﹣3x﹣2y）＝﹣（3x+4y）（3x+2y）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本第16页（共24页）

16题的关键．18．（5分）解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：．【分析】分别解两个不等式，求出解集的公共部分即可．【解答】解：解不等式5x+2≥4x﹣1得：x≥﹣3，解不等式得：x＜6．故不等式组的解集为﹣3≤x＜6．数轴表示为：【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟知求不等式组解集的方法．19．（8分）（1）计算：；（2）解分式方程：．【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝÷＝÷＝•＝；（2）去分母得到：2（x﹣1）+2x＝1，解得：x＝，检验：把x＝代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，第17页（共24页）

17∴分式方程的解为x＝．【点评】此题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．20．（6分）如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°．（1）请用尺规在AC边上找一点P，使得PC+PB＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，若AC＝6，则PC＝2．【分析】（1）作AB的垂直平分线得到PA＝PB，则PC+PB＝AC；（2）由PA＝PB得到∠PBA＝∠A＝30°，所以∠BPC＝60°，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到PB＝2PC，所以PC＝AC．【解答】解：（1）如图，点P为所作；（2）∵PC+PB＝AC，PC+PA＝AC，∴PA＝PB，∴∠PBA＝∠A＝30°，∴∠BPC＝∠A+∠PBA＝60°，在Rt△PBC中，PB＝2PC，∴2PC+PC＝AC，∴PC＝AC＝×6＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系．第18页（共24页）

1821．（8分）如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF＝12，MC＝13，求FN的长．【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得AN＝MC＝13，根据勾股定理可求FN＝5．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，∴四边形BMDN是平行四边形；（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，∴DM＝BN，∵CD＝AB，CD∥AB，∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，∵∠CEM＝∠AFN＝90°，在△CEM和△AFN中，，∴△CEM≌△AFN（AAS），∴CM＝AN＝13，在Rt△ANF中，FM＝＝5．第19页（共24页）

19【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（8分）某工厂计划招聘甲、乙两种工人生产同一种零件，每小时甲种工人比乙种工人多生产10个零件，甲种工人生产150个这种零件所用时间与乙种工人生产120个这种零件所用时间相等．（1）甲、乙两种工人每小时各生产多少个这种零件？（2）若该工厂计划招聘90名工人，且甲种工人人数不超过乙种工人人数的2倍，如何招聘才能在10小时内生产最多的这种零件？最多能生产多少个这种零件？【分析】（1）根据“甲加工150个零件所用的时间与乙加工120个零件所用时间相等”可得出相等关系，求出答案；（2）设A工种的工人为a人，则B工种的工人为（120﹣a）人，根据题意建立不等式组，然后求出其解就可以得出结论．【解答】解：（1）设乙每小时加工零件x个，则甲每小时加工零件（x+10）个，由题可得：，解得：x＝40，经检验：x＝40是原方程的解，则x+10＝50，答：甲每小时加工零件50个，乙每小时加工零件40个；（2）设甲种工人为a人，则乙种工人为（90﹣a）人，生产的这种零件为y个，由题意，得a≤2（90﹣a），解得：a≤60，y＝50a+40（90﹣a）＝10a+3600，∵k＝10＞0，∴y随x的增大而增大，当x＝60时，y最大，最大值为4200个，第20页（共24页）

20∴招聘甲种工人60人，乙种工人30人，才能在10小时内生产最多的这种零4200个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等式是解题的关键．23．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E是BC的中点，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边ADFE．（1）四边形ADFE是菱形；（2）如图2，将图（1）中的△DCF绕点D旋转至△DMA，连接ME，求线段ME的长；（3）如图3，在上述四边形ADFE中，连接DE，点M是射线EF上一动点，将△DMF绕着点D旋转至△DNA，P、O分别是DE，DN的中点，连接QP，求QP的最小值．【分析】（1）根据矩形的性质、平移的性质得到BC＝AD＝4，CD＝AB＝2，AD∥BC，AE∥DF，即可判定四边形ADFE是平行四边形，根据勾股定理求出AE＝4，则AD＝AE，即可判定四边形ADFE是菱形，（2）连接DE，根据矩形、菱形的性质、直角三角形的性质推出△ADE是等边三角形，进而推出∠MDE＝90°，根据勾股定理求解即可；（3）△DFE逆时针旋转120°后对应的是△DAE′，取DE′的中点Q′，AE的中点T，作射线Q′T，则点Q在射线Q′T上运动，进一步可求得PQ的最小值．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝2，AD∥BC，由平移可知AE∥DF，∠FDC＝∠BAE，∴四边形ADFE是平行四边形，∵E是BC的中点，∴BE＝BC＝2，∴AE＝＝＝4，第21页（共24页）

21∴AD＝AE，∴四边形ADFE是菱形，故答案为：菱；（2）如图2，连接DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵四边形ADFE是菱形，∴DF＝AD＝AE＝4，由旋转可知：DM＝CD＝2，∠ADM＝∠FDC，在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，∴BE＝AE，∴∠BAE＝30°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣30°＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°，DE＝AE＝4，∵∠FDC＝∠BAE，∠ADM＝∠FDC，∠BAE＝30°，∴∠ADM＝30°，∴∠MDE＝∠ADM+∠ADE＝30°+60°＝90°，∴ME＝＝＝2；（3）如图3，第22页（共24页）

22△DFE逆时针旋转120°后对应的是△DAE′，取DE′的中点Q′，AE的中点T，作射线Q′T，则点Q在射线Q′T上运动，作PQ⊥Q′T于Q，则PQ的长是所求的最小值，作TR⊥DE于R，可得PQ＝TR＝ET•sin∠AED＝4•sin60°＝4×＝2，则PQ最小＝2．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是找出点Q的运动轨迹．第23页（共24页）

23第24页（共24页）