高二物理竞赛课件：流体力学的有旋流动和无旋流动（14张PPT）

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流体力学的有旋流动和无旋流动

1第三节有旋流动和无旋流动根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：有旋流动和无旋流动。数学条件：当当无旋流动有旋流动通常以是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的判别条件。在笛卡儿坐标系中：（7-11）

2[例]刚体旋转流：角变形率与旋转角速度(2-1)解：该流场代表了盛水的圆筒绕中心轴作匀角速度旋转时的流动。若坐标系固定在圆筒轴上，流体相对于坐标系处于平衡状态，称为相对平衡。已知：设平面流场为（k>0，为常数）求：试分析该流场的运动学特性。流场中的速度分布如图所示。由流线微分方程-kydy=kxdx,积分得流线方程为x2+y2=C(C为常数)说明流线是一簇同心圆。x,y方向的线应变率和xy平面内的角变形率分别为

3[例]刚体旋转流：角变形率与旋转角速度(2-2)说明在x,y方向无线变形，在xy平面内无角变形。面积扩张率为说明在流动平面上流体无任何变形，象刚体运动一样。流体的旋转角速度为说明流体象刚体一样绕中心轴作匀角速度旋转，故称为刚体旋转流动，其动力学分析可按静力学方法处理。

4即当流场速度同时满足：时流动无旋需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。如图7-5（a），流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自身不旋转，流场为无旋流动；图7-5（b）流体微团的运动尽管为直线运动，但流体微团在运动过程中自身在旋转，所以，该流动为有旋流动。（a）（b）图7-5流体微团运动轨迹

5【例7-2】某一流动速度场为，，其中是不为零的常数，流线是平行于x轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。【解】由于所以该流动是有旋运动。

6一般概念1.欧拉运动方程（无粘）兰姆—葛罗米柯方程（无粘)2.欧拉积分（无粘、无旋正压、重力、定常）伯努利积分（无粘、无旋不可压、重力、定常）常数(全流场）常数（全流场）

73.斯托克斯定理（封闭曲线、涡束）开尔文定理（无粘、正压、有势力）（沿封闭流体线）

8[例]有自由面的势涡：无旋流伯努利方程已知:涡量处处为零的涡旋运动称为势涡（参见C2.4.3），速度分布为v=v0=C/r，C为常数，r为径向坐标。求：若势涡具有自由面（例如河中的水旋，见图），试确定自由面方程。解：势涡流场为无旋流场，伯努利方程在全流场成立，在任意高度的两点上流体微元的总能量守恒。设自由面的水平边界渐近线为z=z0，渐近线的无穷远点与自由面上的任意点有关系式在水平边界上r0→∞，v0=c/r0→0；且在自由面上，ps=p0，由上式可得将v=C/r代入上式可得自由面方程为旋转双曲线方程

9运动微分方程理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用牛顿第二定律加以推导。在流场中取一平行六面体，如图7－6所示。其边长分别为dx，dy，dz，中心点为A(x,y,z)。中心点的压强为p=p(x,y,z)，密度为ρ=ρ(x,y,z)。因为研究的对象为理想流体，作用于六个面上的表面力只有压力，作用于微元体上的单位质量力沿三个坐标轴的分量分别为。图7－6理想流体运动微分方程用图

10微元体在质量力和表面力的作用下产生的加速度，根据牛顿第二定律：两端同除以微元体的质量,并整理有：(7-12)写成矢量式：(7-13)

11将加速度的表达式代入（7－12）有：（7－14）其矢量式为：（7－15）公式（7－14）为理想流体运动微分方程式，物理上表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡。该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想的可压流体和不可压缩流体，适用于有旋流动和无旋流动。

12将（7－14）作恒等变形，便可以直接由运动微分方程判定流动是有旋还是无旋流动，在式（7-14）的第一式右端同时加减、，得:由式（7-8）得:（7-16）写成矢量形式（7-17）

13如果流体是在有势的质量力作用下，流场是正压性的，则：此时存在一压强函数:（7－18）将压强函数对坐标的偏导数有:将上述关系代入式（7-16），得:（7-19）写成矢量形关系式（7-20）理想正压性流体在有势的质量力作用下的运动微分关系