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时间：2022-10-24
《高二物理竞赛课件：玻恩－卡曼边界条件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
玻恩－卡曼边界条件
1玻恩－卡曼边界条件前面所考虑的运动方程实际上只适用于无限长的链，所有原子都假定有相同的运动方程。而一个有限的链两端的原子显然应和内部的原子有所不同，如，在只有近邻作用时，最两端的原子只受到一个近邻原子的作用，因此，它们将与其它原子有不同的运动方程，虽然仅少数原子运动方程不同，但由于所有原子的方程是联立的，具体解方程就要复杂得多。为了避免这种情况，玻恩－卡曼提出包含N个原胞的环状链作为一个有限链的模型。
2环状链包含有限数目的原子，却保持所有原胞完全等价。以前的运动方程仍旧适用，如果N很大，使环的半径很大，沿环的运动仍旧可以看作是直线运动。和以前不同的是必须考虑环的循环性，也就是原胞的标数n增加N，振动情况必须复原，因为又回到了原来的那个原胞。q的取值共有N个对于一维双原子链该如何？
3考虑原胞内含有n个原子的复式晶格，n个原子的质量分别为m1，m2，……，mn，原胞以l(l1l2l2)标志，表明它位于格点原胞中各原子的位置用原胞中各原子的位移用
43n个方程解为
5是以A1x,A1y,A1z,……,Anx,Any,Anz为未知数的3n个线性齐次联立方程，有解的条件是系数行列式等于零，进一步得到ω2的3n次方程式，从而给出3n个解ωj(j=1,2,…,3n)。其中，有三个解当q0时， 而且，A1x,A1y,A1z,……,Anx,Any,Anz都趋向于相同，类似于弹性波，另外的3n-3个解的长波极限描述n个格子之间的相对振动，并具有有限的振动频率。在三维晶格中，对一定的波矢q，有3个声学波，3n-3个光学波。或者说，有3支声学波，3n-3支光学波。
6在三维情形下，q的取值同样受到边界条件的限制，只能取某些值而不是任意的。引入“q空间”来表示边界条件所允许的q值，即把q看做空间的矢量，边界条件所允许的q值表示为这个空间中的点子。q空间以倒格矢b1,b2,b3为基矢仍采用玻恩－卡曼边界条件，三维情况下
7因此，q2a取2范围内的值就足够了，q2a取其他的值并不给出新的解。q2a取[-，]，q的取值正是周期为2a的一维格子的第一布里源区。
8声学波和光学波当 取极值当 取极小值当取极大值
9当利用与一维单原子链的色散关系类似，说明此时晶格的振动是原胞内两个原子一起振动．
10当 取极值
11＊两种原子的振幅之比对于声学波两种原子有相同的正号或负号，相邻的两种原子沿同一方向一起振动。
12对于光学波相邻两种原子的振动方向相反。
13当可知质心不动，两个相邻的不同原子相对振动。
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