第七章复数 提升卷（Word版含解析）

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必修二第七章复数（提升卷）学校：__________班级：__________姓名：__________考号：__________一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分，） 1.已知i为虚数单位，复数z满足1+2iz=4+3i，则复数z对应的点位于复平面内的(    )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.已知复数z=31+2i（i是虚数单位），则z的共轭复数z=(    )A.15−25iB.15+25i C.35−65i D.35+65i 3.瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角形式：eiθ＝cosθ+isinθ，（i为虚数单位），根据该式，计算eπi+1的值为（）A.−1B.0C.1D.i 4.已知复数z满足z=2i1+i（其中i为虚数单位），则|z|=(    )A.2B.2C.22D.3 5.已知复数z满足z(1−i2)=1+i(i为虚数单位)，则|z|为(    )A.12B.22C.2D.1 6.已知x∈R，i为虚数单位，若(x−2)i−1−i为纯虚数，则x的值为（）A.1B.−1C.2D.−2 7.在复平面内，复数2−i1+i对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1 8.已知复数z1=2i,z2=−1+3i（i是虚数单位），则z1z2的共轭复数为(   )A.32+12iB.12+32iC.32−12iD.12−32i 9.已知复数z=2i1−i3，则z的虚部为(    )A.−12B.12C.−12iD.12i 10.若a+bii(a，b∈R)与(1−i)2互为共轭复数，则a−b的值为(    )A.-2B.2C.-3D.3 11.复数满足(a+3i)+(2−i)=5+bi，则a+b=()A.−4B.7C.−8D.5 12.若复数a−2i1+ia∈R为纯虚数，则|1−ai|=(    )A.3B.5C.3D.5二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，） 13.若复数z满足z+i=2+ii，其中i为虚数单位，则|z|=________. 14.在复平面内有两点A，B，且A点坐标为(−1, 2)，AB→=2+i，则B点所对应的复数为________． 15.在复平面内，复数2−i与3+2i对应的向量分别是OA→与OB→，其中O是原点，向量AB→所对应的复数是________． 16.已知复数z1=3+4i，z2=1+i，则z1−z2=________．三、解答题（本题共计6小题，共计70分，）

2 17.(10分)已知复数z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)⋅z为纯虚数．1求复数z；2若w=z2+i，求复数w以及模|w|． 18.(12分)已知复数z1=1−2i，z2=4+3i．(1)求z1z2；(2)若|z|=2，且复数z的虚部等于复数3z1−z2的实部，复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求复数z． 19.(12分)已知复数z=(3+bi)(1+3i)(b∈R)是纯虚数.(1)求b的值；(2)若ω=3+bi2+i，求复数ω的模|ω|. 20.(12分)已知复数z1满足(2+i)z1=3+4i，z2=m−i，其中m∈R，i为虚数单位．(1)求z12；(2)若|z1+z2|<2|z1|，求实数m的取值范围． 21.（12分）求证x4+4＝(x−1−i)(x−1+i)(x+1−i)(x+1+i)，并由此写出在复数范围内−1的4个四次方根． 22.(12分)已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根（b、c为实数）．（1）求b，c的值；（2）试说明1−i也是方程的根吗？

3参考答案与试题解析必修二第七章复数（提升卷）一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）1.【答案】D【解答】解：由1+2iz=4+3i，得z=4+3i1+2i=4+3i1−2i1+2i1−2i=10−5i5=2−i，则复数z对应的点的坐标为2,−1，位于复平面内的第四象限．故选D．2.【答案】D【解答】解：∵z=31+2i=3(1−2i)(1+2i)(1−2i)=35−65i，∴z=35+65i.故选D.3.【答案】B【解答】由eix＝cosx+isinx，则eiπ+1＝cosπ+isinπ+1＝0，4.【答案】A【解答】解：∵z=2i1+i=2i1−i1+i1−i=1+i，∴z=1−i，∴|z|=12+−12=2.故选A．

45.【答案】B【解答】解：原式可化简为(−2i)z=1+i；即z=1+i−2i=−12+i2.|z|=(−12)2+(12)2=22.故选B.6.【答案】C【解答】解：(x−2)i−1−i=[(x−2)i−1]⋅i−i⋅i=(x−2)i2−i=(2−x)−i由纯虚数的定义可得2−x=0，故x=2故选C7.【答案】D【解答】∵复数2−i1+i=(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2，它在复平面内对应的点的坐标为(12, −32)，8.【答案】A【解答】解：因为z1=2i，z2=−1+3i，所以z1z2=2i−1+3i=2i−1−3i−1+3i−1−3i=−i2+32，所以z1z2的共轭复数为i2+32.故选A.9.

5【答案】B【解答】解：由题得z=2i1−i3=2i−2i1−i=1+i−1+i1−i=−12−12i，则z=−12+12i．所以z的虚部为12．故选B．10.【答案】A【解答】解：∵a+bii=(a+bi)(−i)−i2=b−ai，(1−i)2=−2i，又a+bii与(1−i)2互为共轭复数，∴b=0，a=−2.则a−b=−2.故选A.11.【答案】D【解答】解：由(a+3i)+(2−i)=5+bi得a+2+2i=5+bi，则a+2=5且b=2，解得a=3，b=2，则a+b=3+2=5，故选：D．12.【答案】B【解答】

6解：因为a−2i1+i=a−2i1−i1−i1+i=a−2−a+2i2为纯虚数，所以a−2=0，解得a=2，所以1−ai=1−2i，所以|1−ai|=12+(−2)2=5.故选B.二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）13.【答案】10【解答】解：已知z+i=2+ii，则z=i(2+i)i2−i=1−2i−i=1−3i，则|z|=12+(−3)2=10.故答案为：10.14.【答案】1+3i【解答】解：在复平面内有两点A，B，且A点坐标为(−1, 2)，AB→=2+i，由AB→=(x,y)−(−1,2)=(2,1)，可得x=1，y=3，B点所对应的复数：1+3i．故答案为：1+3i15.【答案】1+3i【解答】解：AB→=OB→−OA→，而OA→与OB→对应的复数分别为2−i与3+2i，∴向量AB→所对应的复数是(3+2i)−(2−i)=1+3i，故答案为：1+3i．16.【答案】

72+3i【解答】解：z1−z2=3+4i−(1+i)=2+3i，故答案为：2+3i．三、解答题（本题共计6小题，共计70分）17.【答案】解：(1)(1+3i)⋅(3+bi)=(3−3b)+(9+b)i，∵(1+3i)⋅z是纯虚数，∴3−3b=0，且9+b≠0，∴b=1，∴z=3+i.2w=3+i2+i=(3+i)⋅(2−i)(2+i)⋅(2−i)=7−i5=75−15i.∴|w|=(75)2+(−15)2=2.【解答】解：(1)(1+3i)⋅(3+bi)=(3−3b)+(9+b)i，∵(1+3i)⋅z是纯虚数，∴3−3b=0，且9+b≠0，∴b=1，∴z=3+i.2w=3+i2+i=(3+i)⋅(2−i)(2+i)⋅(2−i)=7−i5=75−15i.∴|w|=(75)2+(−15)2=2.18.【答案】解：(1)z1z2=1−2i4+3i=4−8i+3i−6i2=10−5i．(2)3z1−z2=3−6i−4−3i=−1−9i，可设z=a−ia∈R，因为|z|=2，所以a2+1=4，又复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以a<0，即a=−3，所以z=−3−i．【解答】

8解：(1)z1z2=1−2i4+3i=4−8i+3i−6i2=10−5i．(2)3z1−z2=3−6i−4−3i=−1−9i，可设z=a−ia∈R，因为|z|=2，所以a2+1=4，又复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以a<0，即a=−3，所以z=−3−i．19.【答案】解：(1) z=(3+bi)(1+3i)=(3−3b)+(9+b)i，∵ z是纯虚数，∴ 3−3b=0，且9+b≠0，∴ b=1.(2) ∵ω=3+i2+i=(3+i)(2−i)(2+i)(2−i)=7−i5=75−15i， ∴ |ω|=752+−152=2.【解答】解：(1) z=(3+bi)(1+3i)=(3−3b)+(9+b)i，∵ z是纯虚数，∴ 3−3b=0，且9+b≠0，∴ b=1.(2) ∵ω=3+i2+i=(3+i)(2−i)(2+i)(2−i)=7−i5=75−15i， ∴ |ω|=752+−152=2.20.【答案】解：(1)由(2+i)z1=3+4i，得z1=3+4i2+i=(3+4i)(2−i)(2+i)(2−i)=2+i，∴z12=(2+i)2=3+4i.(2)∵z1+z2=2−i+m−i=(2+m)−2i，由|z1+z2|<2|z1|，得(2+m)2+4<25，解得：−6

9【解答】解：(1)由(2+i)z1=3+4i，得z1=3+4i2+i=(3+4i)(2−i)(2+i)(2−i)=2+i，∴z12=(2+i)2=3+4i.(2)∵z1+z2=2−i+m−i=(2+m)−2i，由|z1+z2|<2|z1|，得(2+m)2+4<25，解得：−6

10，−1+i，−1−i；解得z=1+i2=22+22i，或z=1−i2=22−22i，或z=−1+i2=−22+22i，或z=−1−i2=−22−22i；所以在复数范围内−1的4个四次方根为22+22i，或22−22i，或−22+22i，或−22−22i．22.【答案】解：（1）∵1+i是方程x2+bx+c=0的一个根，∴(1+i)2+b(1+i)+c=0，即(b+c)+(2+b)i=0，∴b+c=02+b=0，解得b=−2c=2∴b，c的值为：−2，2．（2）方程为：x2−2x+2=0，把1−i代入方程可得(1−i)2−2(1−i)+2=0显然成立，∴1−i也是方程的根．【解答】解：（1）∵1+i是方程x2+bx+c=0的一个根，∴(1+i)2+b(1+i)+c=0，即(b+c)+(2+b)i=0，∴b+c=02+b=0，解得b=−2c=2∴b，c的值为：−2，2．（2）方程为：x2−2x+2=0，把1−i代入方程可得(1−i)2−2(1−i)+2=0显然成立，∴1−i也是方程的根．