2022学年高一数学上学期同步精讲课件全册46套课件(人教A版2019必修第一册)合并PDF.pdf

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复习引入我们知道方程�2=2在有理数范围内无解,但在实数范围内有解.在平面内,所有到定点距离等于定长的点组成了一个圆;而在空间中,所有到定点的距离等于定长的点组成了一个球面.因此,明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础.为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围,我们需要使用集合的语言和工具.在小学和初中,我们已经接触过一些集合.例如,自然数(0,1,2,3,……)的集合,同一平面内到定点的距离等于定长的点(圆)的集合等.为了有效地使用集合语言,我们需要进一步了解集合的有关知识.下面从集合的含义开始. 探索新知思考1:看下面的例1——例6,哪些例子可以组成集合?集合里面的元素分别是什么?(日常生活实例)(1)1~10之间的所有偶数;可以,2,4,6,8,10.(2)立德中学今年入学的全体高一学生;可以,立德中学今年入学的全体高一学生.(3)地球上的四大洋.可以,太平洋、北冰洋、大西洋、印度洋. 探索新知思考1:看下面的例1——例6,哪些例子可以组成集合?集合里面的元素分别是什么?(数学实例)(4)所有的正方形;可以,所有的正方形.(5)到直线�的距离等于定长�的所有点;可以,与�平行的直线.(6)方程�2−3�+2=0的所有实数根;可以,1和2. 探索新知一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).我们通常用大写拉丁字母�,�,�,…表示集合,用小写拉丁字母�,�,�,…表示元素.如果�是集合�的元素,就说�属于集合�,记作�∈�;如果�不是集合�的元素,就说�不属于集合�,记作�∉�. 探索新知思考2:(1)1,3,5,7,9,…是“1~10之间的所有偶数”这一集合里面的元素吗?(2)“较小的数”能组成一个集合吗?不是,不能;因为集合的元素具有确定性.思考3:集合�={0,1,2}和集合�={2,1,0}一样吗?一样,因为集合的元素具有无序性.思考4:1,2,1,3,4这五个数组成的集合中有几个元素?4个,因为集合的元素具有互异性. 探索新知集合中元素的三个特性:确定性、无序性、互异性.只要构成集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.常用数集的记法:�:自然数集(非负整数集)∗我们可以用自然语言描述一个�或�+:正整数集集合.除此之外,还可以用什�:整数集么方式来表示集合呢?�:有理数集�:实数集 探索新知“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋,大西洋,印度洋、北冰洋};“方程�2−3�+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1,2}.列举法:把集合中的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法.注:二元方程组的解集,函数图象上的点构成的集合都是点的集合,一定要写成实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开.如{(2,3),(5,−1)}.思考5:尝试用列举法表示�−7<3的解集.你有什么发现?思考6:你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗? 探索新知不等式�−7<3的解是�<10,因为满足�<10的实数解有无数个,所以�−7<3的解集无法用列举法表示.但是,我们可以利用解集中元素的共同特征,即:�是实数,且�<10,把解集表示为{�∈�|�<10}.又比如,奇数集的共同特征是除以2的余数为1,即{�∈�|�=2�+1,�∈�}.描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法{�∈�|�(�)}.注:(1)先看竖线前的代表元素,明确研究的对象;再看竖线后的共同特征;(2)若需要多层次描述属性,可选用“且”“或”连接;(3)若描述部分出现元素记号以外的参数,则要说明参数的含义或指出取值范围. 例析例1.用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程�2=�的所有实数根组成的集合.解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.(2)设方程�2=�的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}. 例析例2.试分别用描述法和列举法表示下列集合:(1)方程�2−2=0的所有实数根组成的集合A;(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.解:(1)设�∈�,则�是一个实数,且�2−2=0.因此,用描述法表示为�={�∈�|�2−2=0}.方程�2−2=0有两个实数根�,−�,因此,用列举法表示为�={2,−2}.(2)设�∈�,则�是一个整数,即�∈�,且10<�<20.因此,用描述法表示为�={�∈�|10<�<20}.大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为�={11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 例析我们约定,如果从上下文的关系看,�∈�,�∈�是明确的,那么�∈�,�∈�可以省略,只写其元素�.例如,集合�={�∈�|�<10}也可表示为�={�|�<10};集合�={�∈�|�=2�+1,�∈�}也可表示为�={�|�=2�+1,�∈�}.思考7:举例说明,用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点. 练习题型一:集合的概念及特征例1.下列对象能构成集合的是().A.高一年级长得帅的学生B.????�30°,????�45°,????�60°,1C.全体很大的自然数D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点答案:D.因为A没有一个确定的标准;B中????�30°=????�60°,不符合元素的互异性;C不能构成集合.变1.由实数�,−�|�|,�2,(�2)2,−�3组成的集合中最多含有()个元素.答案:4.由题意知,�≥0,所以�,−�|�|,�2,(�2)2,−�3可分别化为�,−�2,�,�2,−�3.故有4个元素. 练习题型二:元素与集合的关系例2.集合�是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系正确的是().�A.5∈�B.0∉�C.1∈�D.−∈��答案:D.变2.设集合�是由满足�=�2的有序实数对(�,�)构成的,则-1____�,(−1,1)____�.(用符号∈或∉填空)答案:∉,∈. 练习题型三:集合的表示法例3.(1)用列举法表示下列集合:①不大于10的非负偶数组成的集合A;②小于8的质数组成的集合B;③方程2�2−�−3=0的实数根组成的集合C;④一次函数�=�+3与�=−2�+6的图象的交点组成的集合D.3答案:�={0,2,4,6,8,10};�={2,3,5,7};�={−1,};�={(1,4)}.2 练习题型三:集合的表示法例3.(2)用描述法表示下列集合:①函数�=−2�2+�图象上的所有点组成的集合;②不等式2�−3<5组成的集合;③被3除余数等于1的正整数组成的集合;④3与4的所有正的公倍数组成的集合.答案:{(�,�)|�=−2�2+�};{�|�<4};{�|�=3�+1,�∈�};{�|�=12�,�∈�∗}. 练习题型四:利用元素的互异性求参数例4.已知集合A中含有两个元素1和�2,且�∈�,则实数�的值为?解:∵�∈�,而A中含有两个元素1和�2∴(1)若�=1,则集合�={1,1},不符合集合元素的互异性;(2)若�=�2,则�=-1或1(1舍去),此时集合�={1,−1},符合.综上,�的值为-1. 练习题型四:利用元素的互异性求参数变4.已知�∈�,�∈�,若集合{�,�,1}={�2,�+�,0},则�2021+�2021的值为?�答案:-1. 课堂小结1.集合的概念;2.集合中元素的特性;3.集合与元素的关系;4.常用数集;5.集合的表示方法. 作业课本P5练习1—3题;习题1—4题 问题引入我们知道,两个实数之间有相等关系、大小关系,如5=5,5<7,5>3,等等.两个集合之间是否也有类似的关系呢?问题1:观察下面几个例子,类比实数之间的相等关系、大小关系,你能发现下面两个集合之间的关系吗?(1)�={1,2,3},�={1,2,3,4,5};(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合,D为这个班全体学生组成的集合;(3)�={�|�是两条边相等的三角形},�={�|�是等腰三角形}. 新知探索可以发现,在(1)中,集合�的任何一个元素都是集合�的元素.这时我们说集合�包含于集合�,或集合�包含集合�.(2)中的集合C与集合D也有这种关系.一般地,对于两个集合�,�,如果集合�中任意一个元素都是集合�中的元素,就称集合�为集合�的子集,记作�⊇�(或�⊆�),读作“�包含于�”(或“�包含于�”).在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图形称为????��图.这样,上述集合�与集合�的包含关系,可以用右图表示. 新知探索在(3)中,由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形,因此,集合�,集合�都是由所有等腰三角形组成的集合.因此,集合�,�都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合�中任何一个元素都是集合�中的元素,同时,集合�中任意一个元素也都是集合�中的元素,这样集合�的元素与集合�的元素是一样的.一般的如果集合A中的任何一个元素都是集合��的元素,同时集合B的任意一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作�=�.也就是说,若�⊆�,且�⊇�,则�=�.思考1:请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例. 新知探索如果集合�⊆�,但存在元素�∈�,且�∉�,就称集合�是集合�的真子集,记作�⊊�(或�⊋�).例如,在(1)中,�⊆�,但4∈�,且4∉�,所以集合�是集合�的真子集.我们知道,方程�2+1=0没有实数根,所以方程�2+1=0的实数根组成的集合中没有元素.一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为∅,并规定:空集是任何集合的子集.思考2:你能举出几个空集的例子吗? 新知探索思考3:包含关系{�}⊆�与属于关系�∈�有什么区别?试结合实例作出解释.注:包含关系刻画的是集合与集合间的关系;而属于关系刻画的是元素与集合间的关系.由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论:(1)任何一个集合是它本身的子集,即�⊆�;(2)对于集合�,�,�,如果�⊆�,且�⊆�,那么�⊆�. 新知探索辨析1:判断正误:(1)任何集合都有子集和真子集.()(2)集合{�|�2+1=0,�∈�}=∅.()答案:辨析2:下列四个集合中,是空集的是().A.{�|�+3=3}B.{(�,�)|�2=−�2,�,�∈�}C.{�|�2≤0}D.{�|�2−�+1=0,�∈�}答案:解: 例析例1.写出集合{�,�}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.解:集合{�,�}的所有子集为�,{�},{�},{�,�}.真子集有�,{�},{�}.设集合�中有�个元素,则:(1)集合�的子集个数为:��个;(2)集合�的真子集个数为:��−�个;(3)集合�的非空真子集个数为:��−�个. 例析例2.判断下列各题中集合�是否为集合�的子集,并说明理由:(1)�={1,2,3},�={�|�是8的约数};(2)�={�|�是长方形},�={�|�是两条对角线相等的平行四边形}.解:(1)因为3不是8的约数,所以集合�不是集合�的子集.(2)因为若�是长方形,则�一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合�是集合�的子集. 练习题型一:确定集合的子集、真子集例1.已知集合�满足{1,2}⊊�⊆{1,2,3,4,5},则所有满足条件�的集合的个数是().A.6B.7C.8D.9答案:�.解:由题意可以确定集合�必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合�的元素个数分类如下:含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}.含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}.含有5个元素:{1,2,3,4,5}.故满足条件的集合�为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}. 练习变1.集合{�|�=−�2+6,�,�∈�}的真子集个数是().A.9B.8C.7D.6答案:C.解:当�=0时,�=6;当�=1时,�=5;当�=2时,�=4;当�=3时,�=−3;∵函数�=−�2+6,�∈�,在[0,+∞)上是减函数;∴�≥3时,�<0;∴{�∈�|�=−�2+6,�∈�}={2,5,6};∴该集合的所有真子集为:∅,{2},{5},{6},{2,5},{2,6},{5,6}.∴该集合的真子集个数为7. 练习方法技巧:求集合子集、真子集个数的3个步骤判断根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况分类根据集合中元素的多少进行分类列举采用列举法逐一写出每种情况的子集 练习题型二:集合间关系的判断例2.指出下列各组集合之间的关系:(1)�={−1,1},�={(−1,−1),(−1,1),(1,−1),(1,1)};(2)�={�|�是等边三角形},�={�|�是等腰三角形};(3)�={�|�=2�−1,�∈�∗},�={�|�=2�+1,�∈�∗}.答案:(1)�与�无包含关系;(2)�⊊�;(3)�⊊�.解:(1)�中的元素为数,而�中的元素为点,因此�、�无包含关系.(2)∵等边三角形一定是等腰三角形,∴�⊊�.(3)∵�={1,3,5,7,9…},�={3,5,7,9,11…}∴�⊊�. 练习变2.已知集合�={�|�2−3�+2=0},�={1,2},�={�|�<8,�∈�},用适当的符号填空:(1)A______B;(2)A______C;(3){2}______C;(4)2______C.答案:(1)=;(2)⊊;(3)⊊;(4)∈.解:∵集合�={�|�2−3�+2=0}={1,2},�={1,2},�={�|�<8,�∈�}={0,1,2,3,4,5,6,7},∴�=�,�⊊�,{2}⊊�,2∈�. 练习方法技巧:判断集合间关系的常用方法列举观察当集合中元素较少时,可列出集合中的全部元素,法通过定义得出集合之间的关系集合元素首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征法特征,再利用集合元素的特征判断关系数形结利用数轴或????��图,不等式的解集之间的关系,适合法用于数轴法 练习题型三:由集合间的关系求参数例3.已知集合�={−2≤�≤5},�={�|�+1≤�≤2�−1},若�⊊�,求实数�的取值范围.解:∵�={−2≤�≤5},�={�|�+1≤�≤2�−1},若�⊊�,∴分两种情况:①当�=∅时,则�+1>2�−1,即�<2;�+1≤2�+1�≥2····−2�+12�−15②当�≠∅时,则�+1≥−2,即�≥−3.2�+1≤5�≤3解得:2≤�≤3.综上可得,实数�的取值范围是:(−∞,3]. 练习变3.已知集合�={−2≤�≤5},�={�|�+1≤�≤2�−1},若�⊆�,求实数�的取值范围.解:据题意得:�≠∅.�+1≤−2,2�−1≥5�≤−3解得,,即�无解.�≥3····�+1−252�−1 练习方法技巧:已知集合间的关系求参数问题的解题策略(1)若已知集合是有限集,求解时,一般根据对应关系直接到方程.(2)若已知集合是无限集,求解时,通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误.一般含“=”用实心圆点表示,不含“=”用空心圆圈表示.(3)此类问题还要注意是否存在空集的情况,因为空集是任何集合的子集. 课堂小结&作业课堂小结:(1)集合间的基本关系;(2)子集、真子集的关系及求解方法.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P8的练习1~3题;(3)课本P9的习题1.2的1、2、3、4、5. 第1课时:并集、交集的运算 问题导入我们知道,实数有加、减、乘、除等运算.集合是否也有类似的运算呢?问题1:观察下面的集合,类比实数的加法运算,你能说出集合�与集合�,�之间的关系吗?(1)�={1,3,5},�={2,4,6},�={1,2,3,4,5,6};(2)�={�|�是有理数},�={�|�是无理数},�={�|�是实数}.在上述两个问题中,集合�,�与集合�之间都具有这样一种关系:集合�是由所有属于集合�或属于集合�的元素组成的. 新知探索一般地,由所有属于集合�或属于集合�的元素组成的集合,称为集合�与�的并集,记为�∪�(读作“A并B”),即�∪�={�|�∈�,或�∈�},可用????���图表示.这样,在问题(1)(2)中,集合�与�的并集是�,即�∪�=�. 例析例1.设�={4,5,6,8},�={3,5,7,8},求�∪�.解:�∪�={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.注:在求两个集合的并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次.如元素5,8.例2.设集合�={�|−1<�<2},�={�|1<�<3},求�∪�.解:�∪�={�|−1<�<2}∪{�|1<�<3}={�|−1<�<3}.如图,还可以利用数轴直观表示例2中求并集�∪�的过程. 例析思考1:下列关系式成立吗?(1)�∪�=�;(2)�∪�=�.并集的运算性质:�⊆(�∪�);�⊆(�∪�);�∪�=�;�∪�=�∪�;�∪�=�⇔�⊆�,�∪�=�. 例析思考2:观察下面的集合,集合�,�与集合�之间有什么关系?(1)�={2,4,6,8,10},�={3,5,8,12},�={8};(2)�={�|�是立德中学今年在校的女同学},�={�|�是立德中学今年在校的高一年级同学},�={�|�是立德中学今年在校的高一年级女同学}.在上述两个问题中,集合�是由所有既属于集合�又属于集合�的元素组成的.一般地,由所有属于集合�且属于集合�的元素组成的集合,称为集合�与�的交集,记为�⋂�(读作“A交B”),即�⋂�={�|�∈�,且�∈�},可用????��图表示.这样,在问题(1)(2)中,�⋂�=�. 例析例3.立德中学开运动会,设�={�|�是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学},�={�|�是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学},求�⋂�.解:�∩�就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以,�∩�={�|�是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}. 例析例4.设平面内直线�1上的点的集合为�1,直线�2上点的集合为�2,试用集合的运算表示�1,�2的位置关系.解:平面内直线�1,�2可能有三种位置关系,即相交于一点、平行或重合(1)直线�1,�2相交于一点�可表示为�1∩�2={点�};(2)直线�1,�2平行可表示为�1∩�2=�;(3)直线�1,�2重合可表示为�1∩�2=�1=�2. 练习题型一:并集的运算例1.(1)设集合�={1,2,3,4},�={�|�=2�−1,�∈�},则�∪�等于().A.{1,3}B.{2,4}C.{2,4,5,7}D.{1,2,34,5,7}答案:D.解:依题意得�={1,3,5,7},因此�∪�={1,2,3,4,5,7}.例1.(2)已知集合�={�|−1<�<1},�={�|0<�<2},则�∪�等于().A.{�|−1<�<2}B.{�|0<�<1}C.{�|−1<�<0}D.{�|1<�<2}答案:�. 练习变1.(1)(2020•全国卷Ⅰ)设集合�={�|1≤�≤3},�={�|2<�<4},则�∪�=().A.{�|2<�≤3}B.{�|2≤�≤3}C.{�|1≤�<4}D.{�|1<�<4}答案:C.变1.(多选)(2)已知满足�={(�,�)|�<0},�={(�,�)|�<0},则�∪�中的元素可能在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:BCD.解:�∪�={(�,�)|�<0或�<0},表示的区域是平面直角坐标系中的第二、三、四象限和�,�轴的负半轴,故选B、C、D. 练习方法技巧:求两个集合的并集的方法(1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的并集定义求解,但要注意集合中元素的互异性.(2)对于元素个数无限的集合,进行并集运算时,可借助数轴求解.注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围,建立不等式时,要注意端点值是否能取到,最好是把端点值代入题目验证. 练习题型二:交集的运算例2.(2020•全国卷Ⅱ)(1)已知集合�={�||�|<3,�∈�},�={�||�|>1,�∈�},则�∩�等于().A.∅B.{−3,−2,2,3}C.{−2,0,2}D.{−2,2}答:D.解:集合�={�|−3<�<3,�∈�}={−2,−1,0,1,2},�={�|�>1或�<−1,�∈�}.显然只有-2和2符合题意.故�∩�={−2,2}.例1.(2)已知集合�={�|−1<�<3},�={�|−2<�<1},则�∩�等于().A.{�|−2<�<1}B.{�|−1<�<1}C.{�|1<�<3}D.{�|−2<�<3}答案:�. 练习变2.(1)(2018•北京高考)已知集合�={�||�|<2},�={−2,0,1,2},则�∩�=().A.{0,1}B.{−1,0,1}C.{−2,0,1,2}D.{−1,0,1,2}答案:A.解:∵�={�||�|<2}={�|−2<�<2},�={−2,0,1,2},∴�∩�={0,1}.变2.(2)设�={�|2�+1>0},�={�|3�−5<0},则�∪�等于().1515A.∅B.{�|�<−}C.{�|�>}D.{�|−<�<}2323答案:D.15解:∵�={�|2�+1>0}={�|�>−},�={�|3�−5<0}={�|�<},2315∴�∩�={�|−<�<}.23 练习方法技巧:求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合,逐个挑出两个集合的公共元素即可.(2)对于元素个数无限的集合,一般借助数轴求交集,两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围,要注意端点值的取舍. 练习题型三:利用并(交)集的性质求参数的值或范围例3.已知集合�={�|−3<�≤4},�={�|�+1≤�≤2�−1},且�∪�=�,试求实数�的取值范围.解:∵�={�|−3<�≤4},�={�|�+1≤�≤2�−1},且�∪�=�,∴�⊆�,分两种情况:①当�=∅时,则�+1>2�−1,即�<2;�≥2�+1≤2�−1②当�≠∅时,则�+1≥−3,即�≥−4.····5−3�+12�−142�−1≤4�≤25解得:2≤�≤.25综上可得,实数�的取值范围是:(−∞,].2 练习变3.已知集合�={�|−3<�≤4},�={�|�+1≤�≤2�−1},且�∩�=�,试求实数�的取值范围.解:∵�={�|−3<�≤4},�={�|�+1≤�≤2�−1},且�⋂�=�,∴�⊆�,且A非空.�+1≤−3得,,2�−1≥4�≤−4解得,5,即�无解.�≥2····�+1−342�−1 练习方法技巧:求解含有参数的集合运算的方法(1)已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,要做到不漏解.(2)在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效方法是合理运用数形结合思想帮助分析与求解.另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论. 课堂小结&作业课堂小结:(1)集合间的基本运算;(2)交并的运算及含参问题的求解方法.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P12的练习1~4题;(3)课本P14的习题1.3的1、2、3、5题. 第2课时:补集的运算 问题导入思考1:下列关系式成立吗?(1)�∩�=�;(2)�∩�=�.交集的运算性质:(�∩�)⊆�;(�∩�)⊆�;�=�∩�;�∩�=�∩�;�∩�=�⇔�⊆�,�∩�=�. 新知探索在研究问题时,我们经常需要确定研究对象的范围.例如,从小学到初中,数的研究范围逐步地由自然数到正分数,再到有理数,引入无理数后,数的研究范围扩充到实数.在高中阶段,数的研究范围将进一步扩充.在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果.例如方程(�−2)(�2−3)=0的解集,在有理数范围内只有一个解2,即{�∈�|(�−2)(�2−3)=0}={2};在实数范围内有三个解:2,3,−3,即{�∈�|(�−2)(�2−3)=0}={2,3,−3}. 新知探索一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作�.(通常也把给定的集合作为全集)对于一个集合,由全集�中不属于集合�的所有元素组成的集合称为集合�相对于全集�的补集,简称为集合�的补集,记作���,即���={�|�∈�,且�∉�},可用????��图表示. 例析例5.设�={�|�是小于9的正整数},�={1,2,3},�={3,4,5,6},求���,���.解:根据题意可得,�={1,2,3,4,5,6,7,8},所以���={4,5,6,7,8},���={1,2,7,8}. 例析例6.设全集�={�|�是三角形},�={�|�是锐角三角形},�={�|�是钝角三角形},求�⋂�,��(�⋃�).解:根据三角形分类可得,�∩�=�,�⋃�={�|�是锐角三角形或钝角三角形},��(�⋃�)={�|�是直角三角形}. 练习题型一:补集的运算例1.(1)若全集U={�∈�|−2≤�≤2},则集合�={�∈�|−2≤�≤0}的补集���为().A.{�∈�|0<�<2}B.{�∈�|0≤�<2}C.{�∈�|0<�≤2}D.{�∈�|0≤�≤2}答案:C.例1.(2)设U={�|−5≤�<−2,或2<�≤5,�∈�},�={�|�2−2�−15=0},�={−3,3,4},则���=_______,���=_______.解:U={−5,−4,−3,3,4,5},�={−3,5},�={−3,3,4}∴���={−5,−4,3,4},���={−5,−4,5}. 练习变1.若集合�={�|−3≤�<1},当�分别取下列集合时,求���.(1)�=�;(2)�={�|�≤5};(3)�={�|−5≤�≤1}.解:(1)根据补集定义可得:���={�|�<−3或�≥1}.(2)根据补集定义可得:���={�|�<−3或1≤�≤5}.(3)根据补集定义可得:���={�|−5≤�<−3或�=1}. 练习方法技巧:求解补集的方法(1)如果所给的集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,再结合补集的定义来求解.另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助????��图来求解.这样处理起来比较直观、形象且解答时不易出错.(2)如果所给的集合是无限集,则常借助数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据补集的定义求解,这样处理比较直观,解答过程中注意端点值能否取到. 练习题型二:集合的交、并、补集的综合运算例2.已知全集U=�,�={�|−4≤�<2},�={�|0<�+1≤4},�={�|�≤0或�≥5}.(1)求�∩�,���;(2)(�∩�)∪(���).解:(1)∵�={�|0<�+1≤4}={�|−1<�≤3},∴�∩�={�|−1<�<2},���={�|�≤−1或�>3}.(2)∵���={�|0<�<5}∴(�∩�)∪(���)={�|−1<�<2}∪{�|0<�<5}={�|−1<�<5}. 练习变2.已知全集U=�,�={�|−4≤�<2},�={�|0<�+1≤4},�={�|�≤0或�≥5}.求(���)∩(���).解:∵���={�|�<−4或�≥2},���={�|0<�<5}.∴(���)∩(���)={�|2≤�<5}. 练习方法技巧:解决集合运算问题的方法(1)要进行集合运算时,首先必须熟练掌握基本运算法则,可按照如下口诀进行:交集元素仔细找,属于�且属于�;并集元素勿遗漏,切忌重复仅取一;全集�是大范围,去掉�中�元素,剩余元素成补集.(2)解决集合的混合运算问题时,一般先运算括号内的部分,如求(���)∩�时,先求出���,再交交集;求��(�∪�)时,先求出�∪�,再求补集.(3)当集合是用列举法表示时(如数集),可以通过列举集合分别得到所求的集合;当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合),则可运用数轴求解. 练习题型三:与补集有关的参数值(范围)问题例3.设集合�={�|�+�≥0},�={�|−2<�<4},全集�=�,且(���)∩�=∅.求实数�的取值范围.解:∵�={�|�+�≥0},∴�={�|�≥−�}.则���={�|�<−�}.又∵(���)∩�=∅∴−�≤−2,即�≥2. 练习变3.设集合�={�|�+�≥0},�={�|−2<�<4},全集�=�,且(���)∪�=�.求实数�的取值范围.解:∵�={�|�+�≥0},�={�|−2<�<4},∴�={�|�≥−�},���={�|�≤−2或�≥4}.而(���)∪�=�,∴�≤−2.即实数�的取值范围是(−∞,−2]. 练习方法技巧:由集合的补集求解参数的方法(1)由补集求参数问题,若集合中元素个数有限时,可利用补集的定义并结合集合知识求解.(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素有无限个时,一般利用数轴分析法求解. 课堂小结&作业课堂小结:(1)集合间的补集的运算;(2)补集的运算中含参问题的求解方法.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P13的练习1~3题;(3)课本P14的习题1.3的4、6题. 1.4.1充分条件与必要条件 复习导入在初中,我们已经对命题有了初步的认.一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若�,则�”“如果�,那么�”等形式.其中�称为命题的条件,�称为命题的结论.本节主要讨论这种形式的命题.下面我们将进一步考察“若�,则�”形式的命题中�和�的关系,学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. 新知探索思考1:下列“若�,则�”形式的命题中,哪些是真命题?哪些是假命题?(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形;(2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等;(3)若�2−4�+3=0,则�=1;(4)若平面内两条直线�和�均垂直于直线�,则�∥�.在命题(1)(4)中,由条件�通过推理可以得出结论�,所以它们是真命题.在命题(2)(3)中,由条件�不能得出结论�,所以它们是假命题. 新知探索一般地,“若�,则�”为真命题,是指由�通过推理可以得出�.这时,我们就说,由�可以推出�,记作�⇒�,并且说,�是�的充分条件,�是�的必要条件.如果“若�,则�”为假命题,那么由条件�不能推出�,记作�⇏�.此时,我们就说�不是�的充分条件,�不是�的必要条件.上述命题(1)(4)中的�是�的充分条件,�是�的必要条件,而命题(2)(3)中的�不是�的充分条件,�不是�的必要条件. 例析例1.下列“若�,则�”形式的命题中,哪些命题中的�是�的充分条件?(1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形;(2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似;(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;(4)若�2=1,则�=1;(5)若�=�,则????=????;(6)若�,�为无理数,则��为无理数.解:(1)这是一条平行四边形的判定定理,�⇒�,所以�是�的充分条件.(2)这是一条相似三角形的判定定理,�⇒�,所以�是�的充分条件.(3)这是一条菱形的性质定理,�⇒�,所以�是�的充分条件.(4)由于(−1)2=1,但−1≠1,�⇏�,所以�不是�的充分条件.(5)由等式的性质知,�⇒�,所以�是�的充分条件.(6)2为无理数,但2×2=2为有理数,�⇏�,所以�不是�的充分条件. 新知探索思考2:例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗?如果不唯一,那么你能再给出几个不同的充分条件吗?我们说�是�的充分条件,是指条件�可以推出结论�,但这并不意味着只能由这个条件�才能推出结论�.一般来说,对给定结论�,使得�成立的条件是不唯一的.例如我们知道下列命题均为真命题:①若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形;②若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形;③若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形. 新知探索所以,“平行四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件.事实上,例1中命题(1)及上述①②③均是平行四边形的判定定理.所以,平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即这个条件能充分保证四边形是平行四边形.类似地,平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件,例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”.一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 例析例2.下列“若�,则�”形式的命题中,哪些命题中的�是�的必要条件?(1)若四边形是平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等;(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例;(3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形为菱形;解:(1)这是平行四边形的一条性质定理,�⇒�,所以,�是�的必要条件.(2)这是三角形相似的一条性质定理,�⇒�,所以,�是�的必要条件.(3)如图,四边形????????的对角线互相垂直,但它不是菱形,�⇏�,所以,�不是�的必要条件. 例析例2.下列“若�,则�”形式的命题中,哪些命题中的�是�的必要条件?(4)若�=1,则�2=1;(5)若????=????,则�=�;(6)若��为无理数,则�,�为无理数.解:(4)显然,�⇒�,所以,�是�的必要条件.(5)由于(−1)×0=1×0,但−1≠1,�⇏�,所以,�不是�的必要条件.(6)由于1×2=2为无理数,但1,2不全是无理数,�⇏�,所以,�不是�的必要条件.一般地,要判断“若�,则�”形式的命题中�是否为�的必要条件,只需判断是否有“�⇒�”,即“若�,则�”是否是真命题. 新知探索思考3:例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件唯一吗?如果不唯一,你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗?我们说�是�的必要条件,是指以�为条件可以推出结论�,但这并不意味着条件�只能推出结论�.一般来说,对给定条件�,由�可以推出的结论�是不唯一的.例如,下列命题都是真命题:①若四边形是平行四边形,则这个四边形的两组对边分别相等;②若四边形是平行四边形,则这个四边形的一组对边平行且相等;③若四边形是平行四边形,则这个四边形的两条对角线互相平分. 新知探索这表明,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件.我们知道,例2中命题(1)及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理.所以,平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件.类似地,平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件,例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,也就是说,如果同位角不相等,那么就不可能有“两直线平行”.一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 练习题型一:充分条件的判断与探求例1.下列命题中,�是否是�的充分条件?(1)�:�+�=0,�:�2+�2=0;(2)�:四边形的对角线相等,�:四边形是矩形;(3)�:�=1,�:�2−4�+3=0;解:(1)∵�=1,�=−1时,�+�=0,但�2+�2=2,∴�⇏�,即�不是�的充分条件.(2)∵等腰梯形的对角线相等,但等腰梯形不是矩形∴�⇏�,即�不是�的充分条件.(3)∵当�=1时,�2−4�+3=0成立,∴�⇒�,即�是�的充分条件. 练习题型一:充分条件的判断与探求例1.下列命题中,�是否是�的充分条件?(4)�:�<−1,�:�2−�−�=0无实根;(5)设�∈�,�:�>3,�:|�−1|>2.解:(4)∵当�<−1时,∆=(−1)2+4�=1+4�<−3,即�2−�−�=0无实根.∴�⇒�,即�是�的充分条件.(5)∵当�>3时,满足|�−1|>2.∴�⇒�,即�是�的充分条件. 练习变1.下列命题中,�是否是�的充分条件?(1)在∆????�中,�:∠�>∠�,�:��>��;(2)�:(�−1)(�−3)=0,�:�=3;(3)�:�=�,�:|�|=|�|;(4)�:一个四边形是等腰梯形,�:四边形的对角线相等.解:(1)在∆????�中,根据大角对大边可得∠�>∠�⇒��>��.(2)由(�−1)(�−3)=0,解得�=1或�=3,不一定有�=3.∴�⇏�,即�不是�的充分条件.(3)∵�=�⇒|�|=|�|,∴�⇒�,即�是�的充分条件.(4)∵等腰梯形的对角线相等,∴�⇒�,即�是�的充分条件. 练习方法技巧:1.定义法判断充分条件的步骤:(1)分清“条件�”与“结论�”.(2)判断条件�能否推出结论�.(3)下结论:若“条件�⇒结论�”,则�是�的充分条件;若“条件�⇏结论�”,则�不是�的充分条件.2.集合法判断充分条件已知�={�|�满足条件�},�={�|�满足条件�}.若�⊆�,则�是�的充分条件. 练习题型二:必要条件的判断与探求例2.(多选)下列命题正确的是().A.“�>2”是“�>3”的必要条件B.“�=2”是“�2=4”的必要条件C.“�∪�=�”是“�∩�=�”的必要条件D.�:�>�,�:????>????,�是�的必要条件答案:AC.解:∵�>3⇒�>2,∴A是真命题;∵�=2⇒�2=4,�2=4⇏�=2,∴B是假命题;∵�∩�=�⇒�∪�=�,∴C是真命题;∵�⇏�,∴�不是�的必要条件,D是假命题. 练习变2.下列命题中,�是否是�的必要条件?(1)�:两个三角形面积相等,�:两个三角形全等;(2)�:四边形的对角线相等,�:四边形是矩形;(3)�:�>2,�:|�|>2;�(4)�:�−�=0,�,�∈�,�:=1,�,�∈�.�解:(1)两个三角形全等⇒两个三角形面积相等,所以�是�的必要条件.(2)四边形是矩形⇒四边形的对角线相等,所以�是�的必要条件.(3)由|�|>2得�>2或�<−2,不一定有�>2,所以�不是�的必要条件.�(4)由=1,得�=�⇒�−�=0,所以�是�的必要条件.� 练习方法技巧:1.定义法判断必要条件的步骤:(1)分清“条件�”与“结论�”.(2)判断条件�能否推出结论�.(3)下结论:若“结论�⇒条件�”,则�是�的必要条件;若“结论�⇏条件�”,则�不是�的必要条件.2.集合法判断充分条件已知�={�|�满足条件�},�={�|�满足条件�}.若�⊆�,则�是�的必要条件. 练习题型三:利用充分条件与必要条件求参数范围例3.是否存在实数�,使“4�+�<0”是“�>2,或�<−1”的充分条件?若存在,求出�的取值范围;若不存在,请说明理由.�解:令�={�>2,或�<−1}.由4�+�<0,得�={�|�<−}.4�当�⊆�时,即−≤−1,即�≥4,4�此时�<−≤−1⇒�>2或�<−1,4∴当�≥4时,4�+�<0是�>2或�<−1的充分条件. 练习变3.已知条件�:1−�<0,条件�:�>�,若�是�的充分条件,则实数�的取值范围是?若�是�的必要条件,则实数�的取值范围是?解:由1−�<0,得�>1,令�={�|�>1},�={�|�>�}.若�是�的充分条件,则�>1⇒�>�,即�⊆�,∴�≤1.若�是�的必要条件,则�>�⇒�>1.即�⊆�,∴�≥1. 练习方法技巧:利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题,常用集合法求解,其步骤如下:(1)化简集合�={�|�(�)}和�={�|�(�)};(2)根据�与�的关系(充分条件、必要条件等),得出集合�与�之间的包含关系;(3)列出相关不等式(组)(也可借助数轴);(4)化简,求出参数的取值范围. 课堂小结&作业课堂小结:(1)充分条件的判断;(2)必要条件的判断.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P20的练习1~3题;(3)课本P22的习题1.4的1、2. 1.4.2充要条件 问题导入思考1:下列“若�,则�”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题?(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;(3)若一元二次方程��2+��+�=0有两个不相等的实数根,则��<0;(4)若�∪�是空集,则�与�均是空集.将命题“若�,则�”中的条件�和结论�互换,就得到一个新的命题“若�,则�”,称这个命题为原命题的逆命题. 新知探索思考1:下列“若�,则�”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题?(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;(3)若一元二次方程��2+��+�=0有两个不相等的实数根,则��<0;(4)若�∪�是空集,则�与�均是空集.不难发现,上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题;命题(2)是真命题,但它的逆命题是假命题;命题(3)是假命题,但它的逆命题是真命题. 新知探索如果“若�,则�”和它的逆命题“若�,则�”均是真命题,即既有�⇒�,又有�⇒�,就记作�⇔�.此时,�既是�的充分条件,也是�的必要条件,我们就说�是�的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果�是�的充要条件,那么�也是�的充要条件.概括地说,如果�⇔�,那么�与�互为充要条件.上述命题(1)(4)中的�与�互为充要条件. 例析例3.下列各题中,哪些�是�的充要条件?(1)�:四边形是正方形,�:四边形的对角线互相垂直且平分;(2)�:两个三角形相似,�:两个三角形三边成比例;(3)�:????>0,�:�>0,�>0;(4)�:�=1是一元二次方程��2+��+�=0的一个根,�:�+�+�=0(�≠0).解:(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么),所以�⇏�,所以�不是�的充要条件.(2)因为“若�,则�”是相似三角形的性质定理,“若�,则�”是相似三角形的判定定理,所以它们均为真命题,即�⇔�,所以�是�的充要条件.(3)因为????>0时,�>0,�>0不一定成立(为什么),所以�⇏�,所以�不是�的充要条件.(4)因为“若�,则�”与“若�,则�”均为真命题,即�⇔�,所以�是�的充要条件. 新知探索思考2:通过上面的学习,你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗?可以发现,“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的两条对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件,又是必要条件.另外,我们再看平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件. 新知探索上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念,据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式.例如:两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形;对角线互相平分的四边形叫做平行四边形.类似地,利用“两个三角形全等”的充要条件,可以给出“三角形全等”的其他定义形式,而且这些定义是相互等价的;同样,利用“两个三角形相似”的充要条件,可以给出“相似三角形”其他定义形式,这些定义也是相互等价的;等等. 例析例4.已知:⊙�的半径为�,圆心�到直线�的距离为�.求证:�=�是直线�与⊙�相切的充要条件.证明:设�:�=�,�:直线�与⊙�相切.(1)充分性(�⇒�):如图,作????⊥�于点�,则????=�.若�=�,则点�在⊙�上.在直线�上任取一点�(易于点�),连接��.在????∆????�中,��>????=�.所以,除点�外直线�上的点都在⊙�的外部,即直线�与⊙�仅有一个公共点�.所以直线�与⊙�相切.(2)必要性(�⇒�):若直线�与⊙�相切,不妨设切点为�,则????⊥�.因此,�=????=�.由(1)(2)可得,�=�是直线�与⊙�相切的充要条件. 练习题型一:充要条件的判断例1.(多选)下列各题中,�是�的充要条件的有().A.�:�≠0,�:�=��2+��+�为二次函数B.�:�>0,�>0,�:????>0C.�:四边形是正方形,�:四边形的对角线互相垂直平分D.�:�=1或�=2,�:�−1=�−1.答案:AD.解:对于A,当�≠0时,可得�=��2+��+�为二次函数,当��2+��+�为二次函数时,可得�≠0,故�是�的充要条件,故A正确.对于B,当????>0时,�>0,�>0或�<0,�<0,故�是�的不必要条件,故B错误.对于C,当四边形对角线互相平分时,不能推出四边形是正方形,故�是�的不必要条件,故C错误.对于D,当�=1或�=2时,两边同时平方可得(�−1)2=�−1,解得�=1或�=2,故�是�的充要条件,故D正确. 练习变1.下列各题中,哪些�是�的充要条件?(1)�:−1≤�≤5,�:�≥−1且�≤5;(2)�:三角形是等边三角形,�:三角形是等腰三角形;(3)�:�∩�=�,�:���⊆���.解:(1)∵−1≤�≤5⇔�≥−1且��≤5∴�是�的充要条件.(2)∵等边三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形不一定是等边三角形∴�不是�的充要条件,�是�的充分不必要条件..(3)∵�∩�=�⇔�⊆�⇔���⊆���,∴�是�的充要条件. 练习方法技巧:判断充分、必要条件的步骤认清�,�分清哪个是条件,哪个是结论找推式判断“若�,则�”及“若�,则�”的真假下结论根据推论及定义下结论 练习题型二:利用充分、必要条件求参数例2.已知�:1≤�≤�(�≥1),�:1≤�≤2.(1)当�为何值时,�是�的充分不必要条件?(2)当�为何值时,�是�的必要不充分条件?(3)当�为何值时,�是�的充要条件?解:(1)∵�是�的充分不必要条件,∴{�|1≤�≤�}⊊{�|1≤�≤2},∴1≤�<2.∴当1≤�<2时,∴�是�的充分不必要条件.(2)∵�是�的必要不充分条件,∴{�|1≤�≤2}⊊{�|1≤�≤�},∴�>2.∴当�>2时,�是�的必要不充分条件.(3)∵�是�的充要条件,∴{�|1≤�≤2}={�|1≤�≤�},此时�=2.∴当�=2时,�是�的充要条件. 练习变2.已知�:1≤��≤�(�≥1),�:1≤�≤2.(1)当�为何值时,�是�的充分不必要条件?(2)当�为何值时,�是�的必要不充分条件?解:(1)若�是�的充分不必要条件,即�⇏�,但�⇏�,亦即�是�的必要不充分条件,∴{�|1≤�≤2}⊊{�|1≤�≤�},∴�>2.∴当�>2时,�是�的必要不充分条件,即�是�的充分不必要条件.(2)若�是�的必要不充分条件,即�⇒�,但�⇏�,亦即�是�的充分不必要条件,∴{�|1≤�≤�}⊊{�|1≤�≤2},∴1≤�<2.∴当1≤�<2时,∴�是�的充分不必要条件,即�是�的必要不充分条件. 练习方法技巧:由条件关系求参数的值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系.(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解. 练习题型三:充要条件的证明与探究例3.求证:一元二次方程��2+��+�=0有一正根和一负根的充要条件是��<0.证明:证明必要性:若“一元二次方程��2+��+�=0有一正根和一负根”成�立,由韦达定理可得,�1�2=<0,∴��<0成立.�证明充分性:若“��<0”成立,此时一元二次方程��2+��+�=0有一正根和一负根.所以“一元二次方程��2+��+�=0有一正根和一负根”的充要条件是“��<0”. 练习变3.关于�的方程�2�2−(�+1)�+2=0的所有根的和为2的充要条件是______.解:当�=0时,方程为−�+2=0,解得:�=2;�+1当�≠0时,方程为一元二次方程,设�1,�2是方程的解,则�1+�2=2,��+11若�1+�2=2,解方程2=2,解得:�=−或1;�211当�=−或1时,∆<0,即当�=−或1时,方程无解,22故时符合题意. 练习方法技巧:充要条件的证明思路根据充要条件的定义,证明充要条件对要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地,证明“�成立的充要条件为�”:(1)充分性,把�当作已知条件,结合命题的前提条件,推出�;(2)必要性,把�当作已知条件,结合命题的前提条件,推出�. 课堂小结&作业课堂小结:(1)充要条件;(2)充分、必要条件的判断.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P22的练习1~3题;(3)课本P22的习题1.4的3、4、5. 1.5.1全称量词与存在量词 复习导入我们知道,命题是可以判断真假的陈述句.在数学中,有时会遇到一些含有变量的陈述句,由于不知道变量代表什么数,无法判断真假,因此他们不是命题.但是,如果在原语句的基础上,用一个短语对变量的取值范围进行限定,就可以使它们成为一个命题.我们把这样的短语称为量词.本节将学习全称量词和存在量词,以及如何正确的对含有一个量词的命题进行否定. 新知探索思考1:下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系?(1)�>3;(2)2�+1是整数;(3)对所有的�∈�,�>3;(4)对任意一个�∈�,2�+1是整数.语句命题(1)(2)中含有变量�,由于不知道变量�代表什么数,无法判断它们的真假,所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量�进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量�进行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,因此语句(3)(4)是命题. 新知探索短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并且用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.例如,命题“对任意的�∈�,2�+1是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题.常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.一般形式:通常,将含有变量�的语句用�(�),�(�),�(�),…表示,变量�的取值范围用�表示.那么,全称量词命题“对�中任意一个�,�(�)成立”可用符号简记为∀�∈�,�(�).结构特点:集合�中的任意一个元素,都满足条件�. 例析例1.判断下列全称量词命题的真假:提示:如果一个大于1的整数,(1)所有的素数都是奇数;除1和自身外无其他正因数,则称(2)∀�∈�,|�|+1≥1;这个正整数为素数.(3)对任意一个无理数�,�2也是无理数.解:(1)2是素数,但2不是奇数.所以,全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.(2)∀�∈�,总有|�|≥0,因而|�|+1≥1.所以,全称量词命题“∀�∈�,|�|+1≥1”是真命题.(3)2是无理数,但(2)�=2是有理数.所以,全称量词命题“对任意一个无理数�,�2也是无理数”是假命题. 新知探索要判定全称量词命题“∀�∈�,�(�)”是真命题,需要对集合�中每个元素�,证明�(�)成立;如果在集合�中找到一个元素�0,使�(�0)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.这个方法就是举反例. 新知探索思考2:下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系?(1)2�+1=3;(2)�能被2和3整除;(3)存在一个�∈�,使2�+1=3;(4)至少有一个�∈�,�能被2和3整除.容易判断,(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量�进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量�进行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的陈述句,因此语句(3)(4)是命题. 新知探索短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并且用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.例如,命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题.常见的全称量词还有“有些”“有一个”“有的”等.一般形式:存在量词命题“存在�中任意一个�,�(�)成立”可用符号简记为∃�∈�,�(�).结构特点:集合�中至少存在一个元素,满足条件�. 例析例2.判断下列存在量词命题的真假:(1)有一个实数�,使�2+2�+3=0;(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(3)有些平行四边形是菱形.解:(1)由于∆=22−4×3=−8<0,因此一元二次方程�2+2�+3=0无实根.所以,存在量词命题“有一个实数�,使�2+2�+3=0”是假命题.(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.(3)由于正方形既是平行四边形又是菱形,所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. 练习题型一:全称量词命题与存在量词命题的判断例1.判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题:(1)所有不等式的解集�,都满足�⊆�;(2)∃�∈�,�∈�,使(�+�)(�−�)>0;(3)存在�∈�,2�+1是整数;(4)自然数的平方是正数;(5)所有四边形的内角和都是360°吗?解:(1)全称量词命题;(2)存在量词命题;(3)存在量词命题;(4)全称量词命题;(5)是疑问句,不是命题. 练习变1.判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题,并用量词符号“∀”“∃”表示.(1)所有实数�都能使�2+�+1>0成立;(2)对所有实数�,�,方程��+�=0恰有一个解;(3)一定有整数�,�,使得3�−2�=10成立;121(4)所有的有理数�都能使�+�+1是有理数.32解:(1)全称量词命题,∀�∈�,�2+�+1>0;真命题.(2)全称量词命题,∀�,�∈�,��+�=0恰有一个解;假命题.(3)存在量词命题,∃�0,�0∈�,3�0−2�0=10;真命题.121(4)全称量词命题,∀�∈�,�+�+1是有理数;真命题.32 练习方法技巧:判断全称量词命题还是存在量词命题的思路:判命题判断语句是否为命题看量词看命题中是否含有量词或隐含量词,判断量词或隐含量词是全称量词或存在量词下结论含有全称量词的命题称为全称量词命题,含有存在量词的命题称为存在量词命题 练习题型二:全称量词命题与存在量词命题真假的判断例2.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.(1)∀�∈�,2�+1是奇数;1(2)存在一个�∈�,使=0;�−1(3)对任意实数�,|�|>0;1(4)有一个角�,使????��=.2解:(1)全称量词命题,假命题;(2)存在量词命题,假命题;(3)全称量词命题,假命题;(4)存在量词命题,真命题. 练习变2.判断下列命题的真假.(1)任意两个面积相等的三角形一定相等;(2)∃�,�为正实数,使�2+�2=0;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(�,�)都对应一点�;(4)∀�∈�,�>0.解:(1)假命题;(2)假命题;(3)真命题;(4)假命题. 练习方法技巧:1.判断全称量词命题真假的思维过程全称经证明为真或与性质、定理等真命题相符真命题量词命题可举出反例假命题2.判断存在量词命题真假的思维过程存在可找到�,使�(�)成立真命题量词命题找不到�,使�(�)成立假命题 练习题型三:求参数的值或取值范围11例3.已知命题�:∀�∈{�|≤�≤1},−�≥0是真命题,求实数�的取值范围.2�11解:∵−�≥0,∴�≤.��11由题意知�≤()���,又�∈{�|≤�≤1},�21∴1≤≤2,∴�≤1.�故实数�的取值范围为{�|�≤1}. 练习12变3.已知命题�:∀�∈{�|≤�≤2},2�−�≥0,命题�:∃�∈�,�+2��+22=0.若�与�都是真命题,求实数�的取值范围.1解:若�为真命题,则�≤2�对于≤�≤2恒成立,∴�≤1.2若�为真命题,则关于�的方程�2+2��+2=0有实数根,所以∆=4�2−8≥0,即�≥2或�≤−2.综上,实数�的取值范围为{�|�≤−2}. 练习方法技巧:求解含有量词命题中参数范围的策略已知含量词命题的真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查,解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据合理量词命题的真假转化为相关数学知识,利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制. 课堂小结&作业课堂小结:(1)全称量词命题与存在量词命题;(2)全称量词命题与存在量词命题的真假判断.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P28的练习1~2题;(3)课本P31的习题1.5的1、2、3. 1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 问题导入一般地,对一个命题进行否定,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为原命题的否定.例如,“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”,“空集是集合A={1,2,3}的真子集”的否定为“空集不是集合A={1,2,3}的真子集”.下面,我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定,以及利用全称量词对存在量词命题进行否定.一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假. 新知探索思考1:写出下列命题的否定:(1)所有的矩形都是平行四边形;(2)每一个素数都是奇数;(3)∀�∈�,�+|�|≥0.上面三个命题都是全称量词命题,即具有“∀�∈�,�(�)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”,也就是说,存在一个矩形不是平行四边形;命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”,也就是说,存在一个素数不是奇数;命题(3)的否定是“并非所有的∀�∈�,�+|�|≥0”,也就是说,∃�∈�,�+|�|<0. 新知探索从命题形式看,这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词,变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说,假定全称量词命题为“∀�∈�,�(�)”,则它的否定为“并非∀�∈�,�(�)”,也就是“∃�∈�,�(�)不成立”.通常,用符号“¬�(�)”表示“�(�)不成立”.对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面结论:全称量词命题:∀�∈�,�(�),∀改为∃否定结论它的否定:∃�∈�,¬�(�).也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题. 例析例3.写出下列全称量词命题的否定:(1)所有能被3整除的整数都是奇数;(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上;(3)对任意�∈�,�2的个位数字不等于3.解:(1)该命题的否定:存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)该命题的否定:存在一个四边形的四个顶点不在同一个圆上.(3)该命题的否定:∃�∈�,�2的个位数字等于3. 新知探索思考2:写出下列命题的否定:(1)存在一个实数的绝对值是正数;(2)有些平行四边形是菱形;(3)∃�∈�,�2−2�+3=0.它们与原命题在形式上有什么变化?这三个命题都是存在量词命题,即具有“∃�∈�,�(�)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,所有实数的绝对值都不是正数;命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,也就是说,每一个平行四边形都不是菱形;命题(3)的否定是“不存在�∈�,�2−2�+3=0”,也就是说,∀�∈�,�2−2�+3≠0. 新知探索从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.一般来说,对含有一个量词的存在量词命题进行否定,我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词,变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.也就是说,假定存在量词命题为“∃�∈�,�(�)”,则它的否定为“不存在�∈�,使�(�)成立”,也就是“∀�∈�,�(�)不成立”.对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面结论:存在量词命题:∃�∈�,�(�),∃改为∀否定结论它的否定:∀�∈�,¬�(�).也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题. 例析例4.写出下列存在量词命题的否定:(1)∃�∈�,�+2≤0;(2)有的三角形是等边三角形;(3)有一个偶数是素数.解:(1)该命题的否定:∀�∈�,�+2>0.(2)该命题的否定:所有的三角形都不是等边三角形.(3)该命题的否定:任意一个偶数都不是素数. 例析例5.写出下列命题的否定,并判断真假:(1)任意两个等边三角形都相似;(2)∃�∈�,�2−�+1=0.解:(1)该命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例,所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.(2)该命题的否定:∀�∈�,�2−�+1≠0.2123因为对任意�∈�,�−�+1=(�−)+>0,所以这是一个真命题.24 练习题型一:全称量词命题的否定与真假判断例1.写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)�:对于任意的实数�,方程�2+�−�=0必有实数根;(2)�:任意一个实数乘以-1都等于它的相反数;(3)�:正方形的对角线相等.解:(1)¬�:存在实数�,使得方程�2+�−�=0没有实数根.12当∆=1+4�<0,即�<−时,方程�+�−�=0没有实数根,4∴¬�是真命题.(2)¬�:存在一个实数乘以-1不等于它的相反数.假命题.(3)¬�:有的正方形的对角线不相等.假命题. 练习变1.写出下列全称量词命题的否定,并判断其真假.(1)�:所有自然数的平方都是正数;(2)�:任意实数�都是方程5�−12=0的根;(3)�:对任意实数�:�2+1≥0.解:(1)¬�:有些自然数的平方不是正数.真命题.(2)¬�:存在实数�不是方程的根.真命题.(3)¬�:存在实数�,使得�2+1<0.假命题. 练习方法技巧:全称量词命题的否定形式与判断真假的方法(1)全称量词命题的形式是“∀�∈�,�(�)”,其否定形式为“∃�∈�,¬�(�)”,所以全称量词命题的否定是存在量词命题.(2)若全称量词命题为真命题,其否定命题就是假命题;若全称量词命题为假命题,其否定命题就是真命题. 练习题型二:存在量词命题的否定与真假判断例2.写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)�:有些三角形的三条边相等;(2)�:有的平行四边形是矩形;(3)�:∃�,�∈�,使得2�+�=3.解:(1)¬�:所有三角形的三条边不全相等.假命题.(2)¬�:没有一个平行四边形是矩形,即每一个平行四边形都不是矩形.由于矩形是平行四边形,因此该命题的否定是假命题.(3)¬�:∀�,�∈�,2�+�≠3.当�=0,�=3时,2�+�=3.因此该命题的否定是假命题. 练习变2.写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.(1)�:存在�∈�,2�+1≥0;21(2)�:存在�∈�,�−�+<0;4(3)�:有些分数不是有理数.解:(1)¬�:任意�∈�,2�+1<0.假命题.21(2)¬�:任意�∈�,�−�+≥0.42112∵�−�+=(�−)≥0,真命题.42(3)¬�:该命题的否定是一切分数都是有理数,真命题. 练习方法技巧:存在量词命题的否定形式与判断真假的方法(1)存在量词命题的形式是“∃�∈�,�(�)”,其否定形式为“∀�∈�,¬�(�)”,所以存在量词命题的否定是全称量词命题.(2)存在量词命题的否定真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可. 练习题型三:全称量词命题、存在量词命题为假时求参数问题例3.已知命题“∀�∈�,函数�=�2+�+�的图象和�轴至多有一个公共点”是假命题,求实数�的取值范围.解:全称量词命题“∀�∈�,函数�=�2+�+�的图象和�轴至多有一个公共点”的否定形式为“∃�∈�,函数�=�2+�+�的图象和�轴有两个公共点”.由“命题为真,其否定为假;命题为假,其否定为真”可知,这个否定形式的命题是真命题.由二次函数的图象易知∆=1−4�>0,11解得�<,所以实数�的取值范围是{�|�<}.44 练习变3.已知命题�:“∀�∈�,��2+2�+1≠0”为假命题,求实数�的取值范围.解:∵命题“∀�∈�,��2+2�+1≠0”为假命题,∴它的否定命题:“∃�∈�,��2+2�+1=0”为真命题.即关于�的方程��2+2�+1=0有实数根,当�=0时,方程化为2�+1=0,显然有解;当�≠0时,应满足∆=4−4�≥0,解得�≤1且�≠0;综上可知,实数�的取值范围是(−∞,1]. 练习方法技巧:已知命题�为假时,一般转化为¬�是真命题求参数,从而减少失误,运算过程中注意合理的选择方法. 课堂小结&作业课堂小结:(1)全称量词命题的否定形式与判断真假的方法;(2)存在量词命题的否定形式与判断真假的方法.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P31的练习1~2题;(3)课本P31的习题1.的4、5、6. 问题导入在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系,例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌,轻与重,不超过或不少于等.类似于这样的问题,反映在数量关系上,就是相等与不等.相等用等式表示,不等用不等式表示.问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?(1)某段路限速40????/ℎ;(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量�应不少于2.5%,蛋白质含量�应不少于2.3%;(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 新知探索对于(1),设在该路段行驶的汽车的速度为�????/ℎ,“限速40????/ℎ”就是�的大小不能超过40,于是0<�≤40.�≥2.5%,对于(2),由题意,得�≥2.3%.对于(3),设∆????�的三条边为�,�,�,则�+�>�,�−�<�.对于(4),如图,设�是线段????外的任意一点,????垂直于????,垂足为�,�是线段????上不同于�的任意一点,则????<��.以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式.接着,就可以用不等式研究相应的问题了. 新知探索问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?�−2.5设提价后每本杂志的单价为�元,则销售总收入为(8−×0.2)�万元.于是,0.1不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为�−2.5(8−×0.2)�≥20.①0.1求出不等式①的解集,就能知道满足条件的杂志的定价范围.如何解不等式①呢?与解方程要用等式的性质一样,解不等式要用不等式的性质.为此,我们需要先研究不等式的性质. 新知探索实际上,在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么,这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗?回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系:如图,设�,�是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是�,�.那么,当点�在点�的左边时,�<�;当点�在点�右边时,�>�. 新知探索关于实数�,�大小的比较,有下列基本事实:如果�−�是正数,那么�>�;如果�−�等于0,那么�=�;如果�−�是负数,那么�<�.反过来也对.这个基本事实可以表示为:�>b⇔�−�>0;�=b⇔�−�=0;�0,“标杆”.∴(�+2)(�+3)>(�+1)(�+4).这里,我们借助多项式减法运算,得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法. 新知探索图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗?将图中的“风车”抽象成图.在正方形????????中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为�,�(�≠�),那么正方形的边长为�2+�2.这样,4个直角三角形的面积和为2��,正方形的面积为�2+�2.由于正方形????????的面积大于4个直角三角形的面积和,我们就得到了一个不等式:�2+�2>2��. 新知探索当直角三角形变为等腰直角三角形,即�=�时,正方形????????缩为一个点,这时有:�2+�2=2��.于是就有�2+�2≥2��.一般地,∀�,�∈�,有�2+�2≥2��,当且仅当�=�时,等号成立.事实上,利用完全平方公式,得:�2+�2−2��=(�−�)2.因为∀�,�∈�,(�−�)2≥0,当且仅当�=�时,等号成立,所以�2+�2−2��≥0.因此,由两个实数大小关系的基本事实,得�2+�2≥2��,当且仅当�=�时,等号成立. 新知探索关于两个实数大小关系的基本事实为研究基本不等式的性质奠定了基础.那么,不等式到底有哪些性质呢?因为不等式与等式一样,都是对大小关系的刻画,所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发.思考1:请同学们先梳理等式的基本性质,在观察他们的共性,你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗?提示:运算中的不变性就是性质. 新知探索等式有下面的基本性质:性质1(对称性)如果�=�,那么�=�;性质2(传递性)如果�=�,�=�,那么�=�;性质3(可加性)如果�=�,那么�±�=�±�;性质4(可乘性)如果�=�,那么��=��;��性质5(可除性)如果�=�,�≠0,那么=.��可以发现,性质1,2反映了相等关系自身的性质,性质3,4,5是从运算的角度提出的,反映了等式在运算中保持的不变性. 新知探索思考2:类比等式的基本性质,你能猜想不等式的基本性质,并加以证明吗?类比等式的性质1,2,可以猜想不等式有如下性质:性质1(对称性)如果�>�,那么�<�;如果�<�,那么�<�.即�>�⇔�<�.性质2(传递性)如果�>�,�>�,那么�>�.即�>�,�>�⇔�>�.我们来证明性质2:由两个实数大小关系的基本事实知�>�⇒�−�>0⇒(�−�)+(�−�)>0⇒�−�>0⇒�>�.�>�⇒�−�>0 新知探索类比等式的性质3—5,可以猜想不等式还有如下性质:性质3(可加性)如果�>�,那么�+�>�+�.这就是说,不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向.如图,把数轴上的两个点�与�同时沿相同方向移动相等的距离,得到另两个点�1与�1,�与�和�1与�1的左右位置关系不会改变.用不等式的语言表示,就是上述性质3.由性质3可得,�+�>�⇒�+�+(−�)>�+(−�)⇒�>�−�.这表明,不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 新知探索性质4(可乘性)如果�>�,�>0,那么��>��;如果�>�,�<0,那么��<��.这就是说,不等式的两边同乘一个正数,所得不等式与原不等式同向;不等式的两边同乘一个负数,所得不等式与原不等式反向.利用这些基本性质,我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质.例如,利用性质2,3可以推出:性质5(同向可加性)如果�>�,�>�,那么�+�>�+�.事实上,由�>�和性质3,得�+�>�+�;由�>�和性质3,得�+�>�+�.再根据性质2,即得�+�>�+�.利用性质4和性质2可以推出:性质5(同向同正可乘性)如果�>�>0,�>�>0,那么��>��.性质5(同乘方性)如果�>�>0,那么��>��(�∈�∗,�≥2).实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据. 例析��例2.已知�>�>0,�<0,求证>.��证明:∵�>�>0,1∴��>0,>0.��11于是,�∙>�∙,����11即>.����由�<0,得>.�� 练习题型一:用不等式(组表示不等关系)例1.用一段长为30�的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园,墙长18�,要求菜园的面积不小于110�2,靠墙的一边长为????.试用不等式表示其中的不等关系.解:由于矩形菜园靠墙的一边长为????,而墙长为18�,∴0<�≤18,30−��这时菜园的另一条边长为=15−.22�因此菜园的面积�=�∙(5−),2�依题意有�≥110,即�∙(5−)≥110.20<�≤18,故该题中的不等式关系表示为��∙(5−)≥110.2 练习变1.用一段长为30�的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园,墙长18�,要求矩形菜园的长宽都不能超过11�,靠墙的一边长为????.试用不等式表示其中的不等关系.解:由于矩形菜园靠墙的一边长为????,30−��这时菜园的另一条边长为=15−.22而矩形的长宽都不能超过11�,0<�≤11,∴有�0<15−≤11.2即8≤�≤11. 练习方法技巧:1.用不等式(组)表示不等关系的步骤:(1)审清题意,明确条件中的不等关系的个数;(2)适当设未知数表示变量;(3)用不等式表示每一个不等关系,并写成不等式组的形式.2.用不等式表示不等关系的注意点(1)利用不等式表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.(2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一. 练习题型二:比较实数(式子)的大小例2.已知�≤1,比较3�3与3�2−�+1的大小.解:∵3�3−(3�2−�+1)=(3�3−3�2)+(�−1)=3�2(�−1)+(�−1)=(3�2+1)(�−1).由�≤1,得�−1≤0,而3�2+1>0,∴(3�2+1)(�−1)≤0.即3�3≤3�2−�+1. 练习变2.(1)已知�∈�,比较3�3与3�2−�+1的大小.解(1):∵3�3−(3�2−�+1)=(3�3−3�2)+(�−1)=3�2(�−1)+(�−1)=(3�2+1)(�−1).而3�2+1>0在�∈�上恒成立.∴当�−1>0,即�>1时,(3�2+1)(�−1)>0,此时,3�3>3�2−�+1.当�−1=0,即�=1时,(3�2+1)(�−1)=0,此时,3�3=3�2−�+1.当�−1>0,即�>1时,(3�2+1)(�−1)>0,此时,3�3>3�2−�+1. 练习变2.(2)比较2�2+5�+3与�2+4�+2的大小.222123解(2):∵(2�+5�+3)−(�+4�+2)=�+�+1=(�+)+.2412∵(�+)≥0,21233∴(�+)+≥>0.244∴(2�2+5�+3)−(�2+4�+2)>0即2�2+5�+3>�2+4�+2. 练习方法技巧:比较两个实数(代数式)大小的步骤:(1)作差.对要比较大小的两个实数(或式子)作差;(2)变形.对差进行变形;(3)判断差的符号.结合变形的结果及题设条件判断差的符号;(4)得出结论.上述步骤可概括为“三步一结论”,这里的“判断符号”是目的,“变形”是关键.在变形中,一般变得越彻底,越有利于下一步的判断.其中变形的技巧较多,常见的有因式分解法、配方法、有理化法等. 练习题型三:不等式性质的大小应用角度(一)判断命题的真假例3.已知�,�,�∈�,且�≠0,则下列命题中是真命题的是().��A.如果�>�,那么>��B.如果��<��,那么�<�11C.如果�>�,那么<����D.如果�>�,那么>�2�2答案:D.��解:A.如果�>�,�<0,那么<.故错误.��B.如果��<��,�<0,那么�>�.故错误.11C.如果0>�>�,那么>.故错误.��2��D.∵�≠0,∴�>0,∴如果�>�,那么>.即D正确.�2�2 练习角度(二)证明不等式3�3�例4.已知�>�>0,�<�<0,求证:<.��证明:∵�<�<0,∴−�>−�>0.11∴0<−<−.����又∵�>�>0,∴−>−>0.��3−�3−�3�3�∴>,即−>−.����3�3�两边同时乘以−1,得<.�� 练习角度(三)求取值范围�例5.已知1<�<4,2<�<8,试求�−�与的取值范围.�解:∵1<�<4,2<�<8,∴−8<−�<−2,∴1−8<�−�<4−2,即−7<�−�<2,1�4又∵<<=2,8�21�即<<2.8� 练习方法技巧:利用不等式判断正误的2种方法:(1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质证明;对于说法错误的,只需举出一个反例即可.(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性. 练习方法技巧:(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式,一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质及其推论,并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)利用不等式的性质进行证明时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步证明,更不能随意构造性质与法则.方法一(性质法)简单快捷,但思路不易发现;方法二(作差法)思路简单,但通分较麻烦;方法三(作商法)首先需要判断两个式子的符号,然后再判断其比值与1的大小关系,证明步骤较复杂. 课堂小结&作业课堂小结:(1)等式和不等式的基本性质;(2)比较大小的方法(作差法).作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P39的练习1~3题;(3)课本P42的练习1~2题;(4)课本习题2.1的3、4、5、6、7、8题. 复习导入我们知道,乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么,是否也有一些不等式,它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢?下面就来研究这个问题.前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式:∀�,�∈�,有�2+�2≥2��,当且仅当�=�时,等号成立.特别地,如果�>0,�>0,我们用�,�分别代替上式中的�,�,可得�+���≤(1)2当且仅当�=�时,等号成立.�+�通常称不等式(1)为基本不等式.其中,叫做正数�,�的算术平均数.��叫做正2数�,�的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 新知探索上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢?下面我们来分析一下.�+�要证��≤,①2只要证2��≤�+�,②要证②,只要证2��−�−�≤0.③要证③,只要证−(�−�)2≤0.④要证④,只要证(�−�)2≥0.⑤显然,⑤成立,当且仅当�=�时,⑤中的等号成立.只要把上述过程倒过来,就能直接推出基本不等式了. 新知探索在图中,????是圆的直径,点�是????上一点,��=�,��=�.过点�作垂直于????的弦????,连接��,��.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?如图,可证∆���~∆�????,因而��=��.由于��小于或等于圆的半径,用不等式表示为�+���≤.2显然,当且仅当点�与圆心重合,即当�=�时,上述不等式的等号成立. 例析1例1.已知�>0,求�+的最小值.�11解:∵�>0,∴�+≥2�∙=2,��12当且仅当�=,即�=1,�=1时,等号成立,因此所求的最小值为2.�1在本题的解答中,我们不仅明确了∀�>0,有�+≥2,而且给出了“当且仅当�121�=,即�=1,�=1时,等号成立”,这是为了说明2是�+(�>0)的一个��11取值.想一想,当�0<2时,�+≥�0成立吗?这时能说�0是�+(�>0)的最小��值吗? 例析例2.已知�,�都是正数,求证:(1)如果积��等于定值�,那么当�=�时,和�+�有最小值2�;积定和最小,(2)如果和�+�等于定值�,那么当�=�时,积��有最大值1�2.和定积最大.4�+�证明:∵�,�都是正数,∴≥��.2�+�(1)当积��等于定值�时,≥�,∴�+�≥2�,2当且仅当�=�时,上式等号成立.于是,当�=�时,和�+�有最小值2�.�(2)当和�+�等于定值�时,��≤,212∴��≤�,412当且仅当�=�,上式等号成立.于是,当�=�时,积��有最大值�.4 例析例3.(1)用篱笆围一个面积为100�2的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少?解:设矩形菜园的相邻两条边的长分别为��,��,篱笆的长度为2(�+�)�.(1)由已知得��=100.�+�由≥��,可得�+�≥2��=20,2∴2(�+�)≥40,当且仅当�=�=10时,上式等号成立.因此,当这个矩形菜园是边长为10�的正方形时,所用篱笆最短,最短篱笆的长度为40�. 例析例3.(2)用一段长为36�的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?解:(2)由已知得2(�+�)=36,矩形菜园的面积为���2.�+�18由��≤==9,22可得��≤81,当且仅当�=�=9时,上式等号成立.因此,当这个矩形菜园是边长为9�的正方形时,菜园面积最大,最大面积是81�2. 例析例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800�3,深为3�.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?解:设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为��,��,水池的总造价为�元.4800根据题意,有�=150×+120(2×3�+2×3�)=240000+720(�+�).3由容积为4800�3,可得3��=4800,��=1600.∴�≥240000+720×2��,当�=�=40时,上式等号成立,此时�=297600.所以,将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低,最低总造价是297600元. 练习题型一:利用基本不等式比较大小例1.若0<�<1,0<�<1,且�≠�,则�+�,2��,2��,�2+�2中最大的是().A.�2+�2B.2��C.2��D.�+�答案:D.解:∵0<�<1,0<�<1,且�≠��,∴�+�>2��,�2+�2>2��.∴四个数中最大的应从�+�,�2+�2中选择.而�2+�2−(�+�)=�(�−1)+�(�−1).又∵0<�<1,0<�<1,∴�(�−1)<0,�(�−1)<0,∴�2+�2−(�+�)<0,即�2+�2<(�+�).∴�+�最大,故选D. 练习12变1.已知�=�+(�>2),�=4−�(�≠0),则�,�之间的大小关系是().�−2A.�>�B.�<�C.�=�D.不确定答案:A.11解:∵�=�+=(�−2)++2�−2�−21≥2(�−2)∙+2=4(�>2),�−2�=4−�2<4.∴�>�. 练习方法技巧:在利用基本不等式比较大小时,应创设应用基本不等式的条件,合理拆项或配凑,在拆项与配凑的过程中,首先要考虑基本不等式使用的条件,其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能. 练习题型二:利用基本不等式求最值4例2.(1)已知�>2,求�+的最小值.�−2解:(1)∵�>2,∴�−2>0,444∴�+=(�−2)++2≥2(�−2)∙+2=6.�−2�−2�−24当且仅当�−2=,即�=4时,“=”成立.�−24∴�+的最小值为6.�−2 练习1例2.(2)已知0<�<,求�(1−2�)的最大值.21解:(2)∵0<�<,2∴1−2�>0,112�+1−2�21∴�(1−2�)=∙2�∙(1−2�)≤()=,22281当且仅当2�=1−2�,即�=时,“=”成立.41∴�(1−2�)的最大值为.8 练习81例2.(3)已知�>0,�>0,且+=1,求�+2�的最小值.��81解:(3)∵�>0,�>0,且+=1,��81∴�+2�=(�+2�)∙(+)��16��16��=10++≥10+2∙=18.����16��=,���=12,当且仅当即时,“=”成立.81�=3,+=1,��∴�+2�的最小值为18. 练习4变2.(1)已知�<2,求�+的最大值.�−2解:(1)∵�<2,∴�−2<0,2−�>0.44∴��+=−[(2−�)+]+2�−22−�4≤−2(2−�)()+2=−2,2−�4当且仅当2−�=,得�=0或�=4(舍去),即�=0,“=”成立.2−�4∴�+的最大值为−2.�−2 练习81变2.(2)已知�>0,�>0,且+=3,求�+2�的最小值.��81解:(3)∵�>0,�>0,且+=3,��181∴(+)=13��811∴�+2�=(�+2�)∙(+)∙��316��116��11=(10++)∙≥[10+2∙]∙=18×=6.��3��3316��=,���=4,当且仅当即时,“=”成立.81�=1,+=3,��∴�+2�的最小值为6. 练习方法技巧:通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的简化以及等式中常数的调整,做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.(4)注意“1”的妙用. 练习题型三:利用基本不等式证明不等式111例3.已知�,�,�均为正数且�+�+�=1.求证:++≥9.���111�+�+��+�+��+�+�证明:据题意,得:++=++������������=3+(+)+(+)+(+)������������∴+≥2,+≥2,+≥2.������当且仅当�=�=�时,“=”成立.111∴++≥9.��� 练习�2�2�2变3.已知�,�,�>0,求证:++≥�+�+�.���证明:∵�,�,�>0,�2�2�2∴利用基本不等式有:+�≥2�,+�≥2�,+�≥2�.����2�2�2∴(+�)+(+�)+(+�)����2�2�2=(++)+(�+�+�)≥2�+2�+2�.����2�2�2∴++≥�+�+�.��� 练习方法技巧:1.可利用基本不等式证明题目的类型所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明.2.用基本不等式证明不等式的注意点(1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立.(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用.(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组基本不等式模型,再使用. 课堂小结&作业课堂小结:(1)重要不等式;(2)基本不等式.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P46的练习1~5题;(3)课本P48的练习1~4题;(4)课本P48的习题2.2的1~6题. 第1课时 问题导入在初中,我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式,发现了三者之间的内在联系,利用这种关系可以更好地解决相关问题.对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式,是否也有这样的联系呢?先来看一个问题.问题:园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度为24�,围成的矩形区域的面积要大于20�2,则这个矩形的边长为多少米?设这个矩形的一条边长为��,则另一条边为(12−�)�.由题意,得:(12−�)�>20,其中�∈{�|0<�<12}.整理得:�2−12�+20<0,�∈{�|0<�<12}.①求得不等式①的解集,就得到了问题的答案. 新知探索一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是��2+��+�>0或��2+��+�<0,其中�,�,�均为常数,�≠0.思考1:在初中,我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地,能否从二次函数的观点看一元二次不等式,进而得到一元二次不等式的求解方法呢? 新知探索下面,我们先考察一元二次不等式�2−12�+20<0与二次函数�=�2−12�+20之间的关系.如图,在平面直角坐标系中画出二次函数�=�2−12�+20的图象,图象与�轴有两个交点.我们知道,这两个交点的横坐标就是方程�2−12�+20=0的两个实数根�=2,�=10,因此二次函数�=�2−1212�+20与�轴的两个交点是(2,0)和(10,0).一般地,对于二次函数�=��2+��+�,我们把使��2+��+�=0的实数�叫做二次函数的零点.于是,二次函数�=�2−12�+20的两个零点是�=2,�=10.12 新知探索从图可以看出,二次函数�=�2−12�+20的两个零�=2,1�2=10将�轴分成三段.相应地,当�<2或�>10时,函数图象位于�轴上方,此时�>0,即�2−12�+20>0;当2<�<10时,函数图象位于�轴下方,此时�<0,即�2−12�+20<0.所以,一元二次不等式的解集是{�|2<�<10}.因为{�|2<�<10}⊆{�|0<�<12},因此当围成的矩形的一条边长�满足2<�<10时,围成的矩形区域的面积大于20�2. 新知探索上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式��2+��+�>0(�>0)和��2+��+�<0(�>0)的解集.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点,所以先求出一元二次方程的根,再根据二次函数图象与�轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.我们知道,对于一元二次方程��2+��+�=0(�>0),设∆=�2−4��,它的根按照∆>0,∆=0,∆<0可分为三种情况.相应地,二次函数�=��2+��+�(�>0)的图象与�轴的位置关系也分为三种情况.因此,我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式��2+��+�>0(�>0)和��2+��+�<0(�>0)的解集. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系∆>�∆=�∆<��=��2+��+�(�>0)的图象��2+��+�=0(�>0)有两个不相等的实有两个不相等的根数根�1,�2(�1<�2)的实数根�1=没有实数根��2=−2���2+��+�>0(�>0)�{�|�≠−}的解集{�|�<�1,或�>�2}2����2+��+�<0(�>0)的解集{�|�1<�<�2}∅∅ 例析例1.求不等式�2−5�+6>0的解集.解:对于方程�2−5�+6=0,∵∆>0,∴它有两个实数根.解得�1=2,�2=3.画出二次函数�=�2−5�+6的图象,结合图象得不等式�2−5�+6>0的解集为{�|�<2或�>3}. 例析例2.求不等式9�2−6�+1>0的解集.解:对于方程9�2−6�+1=0,1∵∆=0,∴它有两个实数根.解得�1=�2=.3画出二次函数�=9�2−6�+1的图象,21结合图象得不等式9�−6�+1>0的解集为{�|�≠}.3 例析例3.求不等式−�2+2�−3>0的解集.解:不等式可化为�2−2�+3<0.对于二次项系数是负数2(即�<0)的不等式,∵∆=−8<0,∴方程�−2�+3=0无实数根.可以先把二次项系数化画出二次函数�=�2−2�+3的图象,成正数,再求解.结合图象得不等式−�2+2�−3>0的解集为∅.因此,原不等式的解集为∅. 新知探索现在,你能解决第2.1节的“问题2”了吗?利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程.这里,我们以求解可化成形式的不等式为例,用框图表示其求解过程. 练习题型一:不含参一元二次不等式的解法例1.解下列不等式:2281(1)2�+7�+3>0;(2)−4�+18�−≥0.4解:(1)∵∆=72−4×2×3=25>0,∴方程有两个不等实根.又二次函数的图象开口向上,1∴原不等式的解集为{�|�<−3或�>−}.2(2)原不等式可化为:2�2−3�+2>0,∵∆=9−4×2×2=−7<0,∴方程2�2−3�+2=0无实根.又二次函数�=2�2−3�+2的图象开口向上,∴原不等式的解集为R. 练习变1.解下列不等式:212(1)−�+8�−3>0;(2)−�+3�−5>0.2解:(1)∵−�2+8�−3=−(�2−8�+3)>0,∴�2−8�+3<0,令�2−8�+3=0,解得两根为�1=4−13,�2=4+13,原不等式解集为{�|4−13<�<4+13}.1212(2)∵−�+3�−5=−(�−6�+10)>0,22∴�2−6�+10<0,∵∆=36−4×10=−4<0,∴方程无实根,即原不等式解集为∅. 练习方法技巧:解不含参一元二次不等式的步骤:通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数变形为正且不等式的右边为0)求出相应的一元二次方程的根,有三种情况:∆=0(两根相同,求根�1=�2),∆>0(两根不同,�1,�2),∆<0(无实数根).画图画出对应二次函数的草图,方程有根的将根标在图中观察图象中位于�轴上方或下方的部分,对比不等式中不等号求解的方向,写出解集 练习题型二:含参一元二次不等式的解法例2.解关于�的不等式��2−(�+1)�+1<0.解:当�=0时,原不等式可化为�>1.当�≠0时,原不等式可化为(��−1)(�−1)<0.1当�<0时,原不等式可化为(�−)(�−1)>0,�11∵<1,∴�<或�>1.��1当�>0时,原不等式可化为(�−)(�−1)<0,�11若<1,即�>1,则<�<1;��1若=1,即�=1,则�∈∅;�11若>1,即0<�<1,则1<�<.�� 练习题型二:含参一元二次不等式的解法例2.解关于�的不等式��2−(�+1)�+1<0.1综上所述,当�<0时,原不等式的解集为{�|�<或�>1};�当�=0时,原不等式的解集为{�|�>1};1当0<�<1时,原不等式的解集为{�|1<�<};�当�=1时,原不等式的解集为∅;1当�>1时,原不等式的解集为{�|<�<1}.� 练习变2.解下列不等式的解集:121(1)当�=时,求关于�的不等式�−(�+)�+1≤0的解集;2�125解:(1)当�=时,原不等式化为:�−�+1≤0,221即(�−)(�−2)≤0,21∴不等式的解集为{�|≤�≤2}.2 练习变2.解下列不等式的解集:21(2)若�>0,求关于�的不等式�−(�+)�+1≤0的解集.�211解:(2)∵�−(�+)�+1≤0⇔(�−�)(�−)≤0,��1当>�时,有0<�<1,�1∴不等式的解集为{�|�≤�≤}.�1当<�时,有�>1,�1∴不等式的解集为{�|≤�≤�}.�1当=�时,有�=1,�∴不等式的解集为{1}. 练习方法技巧:解含参一元二次不等式的步骤:讨论二次二次项若含有参数应讨论它是等于0,小于0,还是大于0,然项系数后将不等式转化为二次项系数为正的形式判断方程讨论判别式∆与0的关系,判断方程的根的个数根的个数确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,需讨论写出解集两根的大小关系,从而确定解集形式 练习题型三:三个“二次”之间对应关系的应用例3.已知关于�的不等式��2+��+�>0的解集为{�|−2<�<3},求关于�的不等式��2+��+�<0的解集.解:∵关于�的不等式��2+��+�>0的解集为{�|−2<�<3},∴�<0,且−2,3是一元二次方程��2+��+�=0的两个实数根,��∴=−(−2+3)=−1,=−6,�<0.��∴不等式��2+��+�<0化为−6�2−�+1>0,211即6�+�−1<0,解得{�|−<�<}.2311因此不等式的解集为{�|−<�<}.23 练习变3.不等式�2+��+�<0的解集为(2,3),则�+�=().A.−5B.1C.−2D.2答案:B.解:∵�2+��+�<0,开口向上,而解集为(2,3),∴�1=2,�2=3.由韦达定理可得,2+3=−�,2×3=�.解得�=−5,�=6.∴�+�=1.故选B. 练习方法技巧:三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题,关系如下:��2+��+�>0(或<0)(�≠0)的解集观点方程��2+��+�=0(�≠0)的根函数�=��2+��+�(�≠0)的零点 课堂小结&作业课堂小结:(1)一元二次不等式的解法;(2)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P53的练习1~2题;(3)课本P55的习题2.3的1~4题. 第2课时 例析利用一元二次不等式可以解决一些实际问题,下面看两个例子.例4.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量�(单位:辆)与创造的价值�(单位:元)之间有如下的关系:�=−20�2+2200�.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上,则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车?解:设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产�辆摩托车,根据题意,得:−20�2+2200�>60000.移项整理,得:�2−110�+3000<0.对于方程�2−110�+3000<0,∆=100>0,方程有两个实数根�1=50,�2=60. 例析例4.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量�(单位:辆)与创造的价值�(单位:元)之间有如下的关系:�=−20�2+2200�.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上,则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车?画出二次函数�=�2−110�+3000的图象,结合图象得不等式�2−110�+3000<0的解集为{�|50<�<60},从而不等式的解集为{�|50<�<60}.因为只能取整数值,所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时,这家工厂能获得60000元以上的收益. 例析例5.某种汽车在水泥路面上的刹车距离�(单位:�)和汽车刹车前刹车距离是指汽车112的车速�(单位:��/ℎ)之间有如下关系:�=�+�.在一次刹车后由于惯性往20180前滑行的距离.交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5�,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到1��/ℎ)?112解:根据题意,得:�+�>39.5.20180移项整理,得:�2+9�−7110>0.对于方程�2+9�−7110=0,∆>0,−9−28521−9+28521方程有两个实数根�1=,�2=.22 例析例5.某种汽车在水泥路面上的刹车距离�(单位:�)和汽车刹车前刹车距离是指汽车112的车速�(单位:��/ℎ)之间有如下关系:�=�+�.在一次刹车后由于惯性往20180前滑行的距离.交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5�,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到1��/ℎ)?画出二次函数�=�2+9�−7110的图象,结合图象得不等式�2+9�−7110>0的解集为{�|�<�1,或�>�2},从而不等式的解集为{�|�<�1,或�>�2}.因为车速�>0,所以�>�2.而79.9<�2<80,所以这辆汽车刹车前的车速至少为80��/ℎ. 练习题型一:简单方式不等式的解法例1.解下列不等式:2�−5�+1(1)<0;(2)≤1.�+42�−32�−55解:(1)<0⇔(2�−5)(�+4)<0⇔−4<�<,�+425∴原不等式的解集为{�|−4<�<}.2�+1�+1−�+4(2)∵≤1,∴−1≤0,即≤0.2�−32�−32�−33⇔(−�+4)(2�−3)≤0⇔�≤或�≥4.23而2�−3≠0,即�≠.23∴原不等式的解集为{�|�<或�≥4}.2 练,习变1.解下列不等式:2−��2+5�+1(1)>1;(2)≥1.�+3−�2+2�−32−�2−�−2�−1解:(1)∵>1,∴−1>0,即>0.�+3�+3�+31⇔(−2�−1)(�+3)>0⇔−3<�<−.23∴原不等式的解集为{�|�<或�≥4}.22�2+3�−2(�+2)(2�−1)(2)原不等式可化为≤0,即≤0.−�2+2�−3(�+1)(�−3)(�+2)(2�−1)(�+1)(�−3)≤0,即由“穿针引线”法可得:(�+1)(�−3)≠0,1原不等式的解集为{�|−2≤�<−1或≤�<3}.2 练习方法技巧:(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较为复杂的方式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零的形式,然后再用上述方法求解. 练习题型二:一元二次不等式的实际应用例2.某小区有一个矩形花坛ABCD,现将这一矩形花坛拆建成一个更NP大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点CDC,如图所示.已知AB=3�,AD=2�.要使矩形AMPN的面积大于32�2,则DN的长应在什么范围内?AMB解:设DN的长为�(�>0)�,则????=(�+2)�.????????3(�+2)∵=,∴????=,????????�3(�+2)2∴�����=????∙????=.�3(�+2)2由������>32,得>32,又�>0�22得:3�−20�+12>0,解得:0<�<或�>6.32即DN的长取值的取值范围是(0,)∪(6,+∞).3 练习变2.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销量将减少2盏,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,应怎样制定这批台灯的销售价格?解:设这批台灯的售价为元,则�≥15,由题意得,[30−2(�−15)]�>400,即�2−30�+200<0,即(�−10)(�−20)<0,故10<�<20.又∵�≥15,∴15≤�<20.即这批台灯的售价应在15~20元之间.(20元取不到) 练习方法技巧:解不等式应用题的步骤解决一元二次不等式应用题的关键在于一元二次不等式模型,即分析题目中哪些是未知量,然后选择关键量并设出此关键量,再概括题目中的不等关系列不等式. 练习题型三:不等式恒成立问题例3.(1)若对∀�∈�不等式�2+��>4�+�−4恒成立,求实数�的取值范围.(2)若�2>4�+�−4在�上恒成立,求�的取值范围.解(1):原不等式可化为�2+(�−4)�+4−�>0,∴∆=(�−4)2−4(4−�)=�2−4�<0,∴0<�<4.∴实数�的取值范围为{�|0<�<4}.(2)原不等式可化为�2−4�+4=(�−2)2>�恒成立,∴�<0.∴实数�的取值范围为{�|�<0}. 练习变3.若关于�的不等式(�2−2�−3)�2−(�−3)�−1<0在�上恒成立,求�的取值范围.解:当�2−2�−3=0,即�=−1或�=3时,若要使原不等式解集为�,则�=3.当�2−2�−3≠0,若要使原不等式解集为�,�2−2�−3<0,则有22(�−3)+4(�−2�−3)<0.−1<�<3,1解之,得1⇒−<�<3.−<�<3.551综上,�的取值范围为−<�≤3.5 课堂小结&作业课堂小结:(1)用一元二次不等式解决实际问题的思路;(2)实际问题中一元二次不等式解集的选取.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P54的练习1~3题;(3)课本P55的习题2.3的5~6题. 3.1.1函数的概念 复习导入 探索新知?思考S=350t 探索新知?思考不正确.没有关注到t的变化范围. 探索新知?思考列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是S=350t.其中,t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5},S变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}.对于数集A1中任一时刻t,按照对应关系,在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应. 探索新知?思考w=350d是 探索新知?思考 探索新知?思考A={t|0≤t≤24}3图1 探索新知?思考A={t|0≤t≤24}3CB={I|0<I<150}33图1 探索新知?思考t的变化范围是数集A3={t|0≤t≤24},AQI的值I都在数集B3={I|0<I<150}.对于数集A3中任一时刻t,按照图中曲线所给定的对应关系,在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I和它对应. 探索新知?思考 探索新知 探索新知?思考 探索新知函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称fAB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=(fx),xA其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域. 探索新知?思考 探索新知?思考 探索新知 探索新知 探索新知?思考 探索新知?思考 探索新知?思考虽然表示它们的字母不同,但因为它们的对应关系和定义域相同,所以它们是同一个函数. 典例分析 例析 例析 例析 例析 练习 练习 练习 练习 课堂小结&作业课堂小结:1.函数的概念;2.函数的三要素;3.函数相等的判断方法.作业:1.课本P67的练习;2.课本P72的习题3.1的1、2、3题 第1课时 复习引入析1.什么是函数?其三要素是什么?一般地,设A、B是非空的实数集,如果按照某种确定的对应关系ƒ,对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称ƒ:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=ƒ(x),xA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{ƒ(x)|x∈A}叫做函数的值域。值域是集合B的子集。 复习引入析2.怎样理解“对应关系ƒ”?对应关系”ƒ”是将A中的任意一个数x,对应到B中唯一确定的数y的方法和途径,是联系变量x和y的纽带。由于在现实中,将变量数x,对应到y的方法和途径是多种多样的,这就导致了函数的表示方法也是多种多样的。本节课我们就来研究一下函数常见的几种表示方法。 探究新知析Q1:由我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法,你还记得是哪三种方法吗?请结合教材P60--61的问题1,2,3,4来说明?(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.例如:问题1中的S=350t,t∈{t|0≤t≤0.5}问题2中的w=350d,d∈{1,2,3,4,5}(2)图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系.例如:问题3中的图象 探究新知析(3)列表法:用列出的表格来表示两个变量之间的对应关系.例如:问题4中的表格 例析例4.某种笔记本的单价是5元,x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=ƒ(x).解:此函数的定义域为{1,2,3,4,5}用解析法可将函数y=ƒ(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}用列表法可将函数y=ƒ(x)表示为笔记本数x(个)12345510152025总价y(元)用图象法可将函数y=ƒ(x)表示为思考1:通过本例,请你比较一下,函数的这三种表示方法各有什么特点? 例析函数常见三种表示方法的各自特点(1)解析法:①两个变量间的关系简明、全面、精确;②能比较方便地通过自变量的任意一个值求出其对应的函数值。解析法是中学研究函数的主要表达方法.(2)图象法:①能直观形象地表示出函数的变化趋势;②有利于研究函数的某些性质。图象法数形结合思想方法的基础.(3)列表法:①不必通过运算就能得到与自变量值对应的函数值;②当自变量的取值较多时不便于操作。列表法在实际生产和生活中有广泛的应用. 例析思考3:你能否举例说明是不是所有的函数都能用解析法来表示?对于图象法、列表法呢?思考4:用解析法表示函数时,是否一定要标出自变量的取值范围? 例析例5.画出函数y=|x|的图象.解:由绝对值的意义得:x,x0,y|x|x,x≥0.其图象如图:y|x| 概念生成析分段函数:对于函数y=ƒ(x),若自变量在定义域内的在不同范围取值时,函数的对应关系也不相同,则称函数y=ƒ(x)叫分段函数.注:(1)分段函数是一个函数,只是自变量在不同范围取值时,函数的对应关系不相同;(2)在书写时要指明各段函数自变量的取值范围;(3)分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集。 例析解:(1)用描点法分别画出f(x),g(x)的图象,如图2g(x)(x1)f(x)x1 例析22解:(2)由x1(x1)得xx0x1或x0结合(1)中的图象可得2当x-1时,M(x)g(x)(x1)g(x)(x1)22g(x)(x1)当-1x0时,M(x)f(x)x1f(x)fx(x)1x2当x0时,M(x)g(x)(x1)函数M(x)的图象如右函数M(x)的解析式为2(x1),x1,M(x)x1,-1x0,(x1)2,x0. 例析 练习练1.画出函数y=|x-2|的图象.解:由绝对值的意义得x2,x2,y|x2|x2,x2.其图象如图:y|x2| 练习解:当x<-1时,由ƒ(x)=-7得:2x+3=-7,解得x=-5当-1≤x<1时,由ƒ(x)=-7得:x2=-7,无解当x≥1时,由ƒ(x)=-7得:x-1=-7,解得x=-6(舍去)综上,x=-5 练习解:当a≤0时,由ƒ(a)>1得:a2>1,解得a<-1或a>1(舍去)当a>0时,由ƒ(a)>1得:a-8>1,解得a>9综上,a∈(-∞,-1)∪(9,+∞) 课堂小结&作业小结:1.函数常见的表示方法有哪几种上,各有什么特点?2.如何理解分段函数,处理分段函数问题的一般思路是怎样的?作业:1.课本P691、2题;2.优佳:P49全做&P50的两个对点练清 复习引入析1.如何理解分段函数,处理分段函数问题的一般思路是怎样的?分段函数:对于函数y=ƒ(x),若自变量在定义域内的在不同范围取值时,函数的对应关系也不相同,则称函数y=ƒ(x)叫分段函数.注:分段函数是一个函数,只是自变量在不同范围取值时,函数的对应关系不相同.2.函数常见的表示方法有哪几种?各有什么特点各是什么?(1)解析法;(2)图象法;(3)列表法. 探究新知析例7.下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.请你对这三人作一个学习情况像分析.思考1:上表反映的是什么样的函数关系,有几个?这些函数的自变量是什么?定义域是什么? 探究新知析上表反映的是3名同学的数学成绩及班级平均成绩于测试序号的函数关系,每个函数的自变量都是{1,2,3,4,5,6}. 探究新知析思考2:上述4个函数能用解析法表示吗?表格能否直观地分析出三位同学成绩高低?你能用图象法表示吗? 探究新知解析:为了直观地反映每位同学和班级平均成绩的变化情况,我们用图象法将表格中的4个函数表示出来,如图:可以看出:王伟同学的数学成绩始终高于平均水平,学习情况稳定且成绩优秀。张城同学的数学成绩不大稳定,总在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大。赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平,但他成绩在稳步提高。 例8.依法纳税是每个公民应尽的义务,个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起,个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定,计算公式为:个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为:应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附扣除-依法确定的其他扣除.税率及速算扣除表为级全年应纳税所得额税率速算扣数所在区间(0/0)除数1[0,36000]30(1)设全年应纳税所得额为t,应缴2(36000,144000]1025203(144000,300000]2016920纳个税税额为y,求y=f(t),并画出4(300000,420000]2531920图象;5(420000,660000]30529206(660000,960000]35859207(960000,+∞)45181920 0.03t,0t36000,0.1t2520,36000t144000,0.2t16920,144000t300000,函数y0.25t31920,3000000t420000,的图象为0.3t52920,4200000t660000,0.35t85920,6600000t960000,0.45t181920,t960000. (2)小王全年综合所得收入额为189600元,假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%,2%,1%,9%,专项附加扣除是52800元,依法确定其他扣除是4560元,那么他全年应缴纳多少综合所得个税?级全年应纳税所得额税率速算扣数所在区间(0/0)除数(2)解:由公式②得小王全年应纳税所得额为:1[0,36000]302(36000,144000]102520t=189600-60000-189600(8%+2%+1%+9%)3(144000,300000]2016920=343204(300000,420000]25319205(420000,660000]3052920当0t36000时,yf(t)0.03t6(660000,960000]3585920∴y=34320×0.03=1029.67(960000,+∞)45181920∴小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元 练习练1:某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)5公里以内(含5公里),票价2元;(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函数解析式,并画出函数的图象.解:设票价为y元,里程为x公里.由题意可知,自变量的取值范围是(0,20],由票价制定规则,可得到函数解析式:2,0x≤5,3,5x≤10,y4,10x≤15,5,15x≤20. 新知探究问题1:解析法是中学阶段函数的主要表达方法,它是用数学表达式即解析式来表示两个变量之间的对应关系,在这以前我们已学过求解析式的一些方法,你还能记起这些方法吗?(1)直接法(适用于实际问题):根据函数问题的实际背景直接列出函数的解析式。(2)待定系数法(含图象法)(适用于已知函数模型的情况):其一般步骤为:设出函数的解析式→列方程(组)→解出参数→代回解析式。 新知探究题型:求函数解析式例1.已知函数f(x)是一次函数,且其图象经过点(1,2)和(2,5).求f(4)的值.(待定系数法)解:设f(x)axb(a0)2aba3由题意得,解得52abb1f(x)3x1f(4)34111 新知探究例2.已知函数f(x)=-2x2-x+1.求函数下列函数的解析式:(1)f(-x+1);(2)f(x2-1).解:∵f(x)=-2x2-x+1∴f(-x+1)=-2(-x+1)2-(-x+1)+1=-2x2+5x-2∴f(x2-1)=-2(x2-1)2+5(x2-1)-2=-2x4+3x2例3:若函数f(x+1)=x2+2x+2(x<0),求函数f(x)?思考(1):对应关系f是如何把”x+1”对应到“x2+2x+2”的?∵x2+2x+2=(x+1)2+1∴f(x+1)=(x+1)2+1 新知探究例3:若函数f(x+1)=x2+2x+2(x<0),求函数f(x)?思考(2):由此你能写出f(x)吗?并能标出x的范围吗?(配凑法)∵在f(x+1)=(x+1)2+1中,x+1<1∴在f(x)=x2+1中,x<1∴f(x)=x2+1(x<1)思考(3):这种方法叫“配凑法”,请说说用“配凑法”由f(g(x))求f(x)的一般步骤? 新知探究例3:若函数f(x+1)=x2+2x+2(x<0),求函数f(x)?思考(4):如果把x+1换成变量t,如何将“x2+2x+2”用t表示出来?(换元法)解:设t=x+1,则t<1,x=t-1∴x2+2x+2=(t-1)2+2(t-1)+2=t2+1思考(5):你说说对应关系f是怎样的吗?并能由此写出函数f(x)吗?f(x+1)=f(t)=x2+2x+2=t2+1∴f(t)=t2+1(t<1)∴f(x)=x2+1(x<1)思考(6):这种方法叫“换元法”,请说说用“换元法”由f(g(x))求f(x)的一般步骤? 新知探究(方程组法)1解:由fx2f()3x(1)得x111f()2f()3x1xx13即f()2fx(2)xx由(1)(2)得2fxxx 课堂小结1.2.求函数解析式的方法 作业21.已知f(x1)x4x1(x2),求f(x)2.(1)已知f(x1)x2x,求f(x)和f(x1);(2)已知3f(x)2f(-x)x3,求f(x).3.课本P72习题3.1的1--6题 3.2.1单调性与最大(小)值第1课时 引入前面我们学习了函数的定义及表示方法,知道函数�=�(�)(�∈�)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.这样我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律.因此,研究函数的性质,如随着自变量的增大函数值是增大还是减小,有没有最大值或最小值,函数图象有什么特征等,是认识客观规律的重要方法.我们知道,先画出函数图象,通过观察和分析图象的特征,可以得到函数的一些特性.因此我们可以从函数图象入手,来研究函数的性质. 引入活动1:观察下列各个函数图象,你能发现它们可以反映出函数的哪些性质吗? 探索新知在初中,我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质,这一性质叫做函数的单调性.下面进一步用符号语言来刻画这种性质.活动2:我们以函数f(x)=x2为例,研究其单调性.y�(�)=��5在y轴左侧,f(x)=x2图象下降的;即当4x≤0时,即f(x)随着x的增大而减小;32在y轴右侧,f(x)=x2图象上升的;即当1x>0时,即f(x)随着x的增大而增大.-4-3-2-101234x-1 探究新知析y�(�)=��5图象特征:在y轴左侧,f(x)=x2图象是4下降的;即当�≤�时,�(�)随着�的3增大而减小.符号语言:任意取��,��∈(−∞,�],当2��<��时,有�(��)>�(��).1-4-3-2-101234x�这时我们就说函数�(�)=�在区间(−-1∞,�]上是单调递减的. 探究新知析y�(�)=��5图象特征:在y轴右侧,f(x)=x2图象是4上升的;即当�≥�时,�(�)随着�的增3大而增大.2符号语言:任意取��,��∈[�,+∞),当��<��时,有�(��)<�(��).1-4-3-2-101234x�这时我们就说函数�(�)=�在区间-1[�,+∞)上是单调递增的. 探究新知活动析3:仿照f(x)=x2,用符号语言刻画函数f(x)=|x|和f(x)=-x2各有怎样的单调性?y�(�)=|�|符号语言:54(1)任意取��,��∈[�,+∞),当��<3��时,有�(��)<�(��).这时我们就说函数�(�)=|�|在区2间[�,+∞)上是单调递增的.1-4-3-2-101234x(2)任意取��,��∈(−∞,�],当��<-1��时,有�(��)>�(��).这时我们就说函数�(�)=|�|在区间(−∞,�]上是单调递减的. 探究新知活动析3:仿照f(x)=x2,用符号语言刻画函数f(x)=|x|和f(x)=-x2各有怎样的单调性?y�(�)=−��符号语言:1(1)任意取��,��∈[�,+∞),当��<-4-3-2-101234x-1��时,有�(��)>�(��).这时我们就说函数�(�)=|�|在区-2间[�,+∞)上是单调递减的.-3-4(2)任意取��,��∈(−∞,�],当��<��时,有�(��)<�(��).这时我们就说函数�(�)=|�|在区间(−∞,�]上是单调递增的. 探究新知析yy�(�1)�(�2)�(�2)�(�1)0�x0��x1�212一般地,设函数�(�)的定义域为�,区间为�⊆�:如果∀�1,�2∈�,当�1<�2时,如果∀�1,�2∈�,当�1<�2时,都有�(�1)<�(�2),那么就称都有�(�1)>�(�2),那么就称函数�(�)在区间�上单调递增.函数�(�)在区间�上单调递减.�就叫做函数�(�)的单调递增区�就叫做函数�(�)的单调递增区间,简称增区间.间,简称减区间. 探究新知析特别地,当函数�(�)在它的定义域上单调递减增时,我们就称它为增函数.如:�(�)=�就是在R上的增函数.特别地,当函数�(�)在它的定义域上单调递减减时,我们就称它为减函数.如:�(�)=−�就是在R上的减函数.�思考1:反比例函数�(�)=是减函数吗?�注意:增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域,是函数的整体性质,而·函数的单调性是对定义域下的某个区间,是函数的局部性质。一个函数在定义域·下的某个区间具有单调性,但在整个定义上不一定具有单调性。 探究新知析思考2:(1)设A是区间D上的自变量的某些值组成的集合,而且∀x1,x2∈A,当x1�,��>�.所以,����>�,����−�>�.又由��<��,得��−��<�.��−��于是(����−�)<�,即��<��.�����所以,函数�=�+在区间(�,+∞)上单调递增.� 练习题型一:判断(证明)函数的单调性)1例1.证明函数�(�)=�+在区间(0,1)上是减函数.�证明:∀�1,�2∈(0,1),且�1<�2,有1111�(�1)−�(�2)=(�1+)−(�2+)=(�1−�2)+(−)�1�2�1�2��−����−��=(��−��)+=(����−�).��������由�1,�2∈(0,1),得0<�1<1,0<�2<1.所以,�1�2>0,�1�2−1<0.又由�1<�2,得�1−�2<0.�1−�2于是(�1�2−1)>0,即�(�1)>�(�2).�1�21所以,函数�=�+在区间(0,1)上单调递增.� 练习变1.(1)(多选)下列四个函数在区间(−∞,0)上是增函数的是().|�|�2��.�=|�|+1�.�=�.�=−�.�=�+��|�|答案:CD.2��变2:试用函数单调性的定义证明:�(�)=在(1,+∞)上是减函数.�−1(解答思路同例1) 练习题型二:图象法求函数的单调区间)例2.画出函数�(�)=−�2+2|�|+3的图象,并指出函数的单调区间.解:函数图象如图所示:由图知,函数的增区间为:(−∞,−1],[0,1]函数的减区间为:[−1,0],[−1,+∞) 练习变2.将例2中的�(�)=−�2+2|�|+3改为�(�)=|−�2+2�+3|,则如何求解.(解答思路同例2)图象法求函数单调区间的步骤:(1)作图;(2)结论:上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减区间. 练习题型三:函数单调性的应用)例3.函数�(�)是R上的增函数且�(�)+�(�)>�(−�)+�(−�),则().A.�>�>0B.�−�>0C.�+�>0D.�>0,�>0解:据题意,暂不能得出�与�的正负.现假设:�+�>0,则有:�>−�,�>−�.而�(�)是R上的增函数∴�(�)>�(−�),�(�)>�(−�)∴�(�)+�(�)>�(−�)+�(−�).故选C. 练习变3.已知函数�(�)=−�2−2(�+1)�+3.(1)若�(�)在(−∞,3]上是增函数,求�的范围.(2)若�(�)的单调区间是(−∞,3],求�的范围.[答案](1)(−∞,−�](2)-4 课堂小结&作业小结:1.函数单调性的定义;2.函数单调性的判断(定义法、图象法);3.单调性的应用.作业:1.整理复习课上例题;2.课本85--86,习题3.2第1,2,3,8题. 3.2.1单调性与最大(小)值第2课时 复习引入1.函数的单调性是怎样叙述的?单调递增,单调递减,增函数、减函数呢?一般地,设函数�(�)的定义域为�,区间为�⊆�:如果∀�1,�2∈�,当�1<�2时,如果∀�1,�2∈�,当�1<�2时,都有�(�1)<�(�2),那么就称都有�(�1)>�(�2),那么就称函数�(�)在区间�上单调递增.函数�(�)在区间�上单调递减.�就叫做函数�(�)的单调递增区�就叫做函数�(�)的单调递增区间,简称增区间.间,简称减区间.2.如何判定函数的单调性?(1)图象法(形象直观);(2)定义法(推导证明)。 探索新知观察上节课的图,可以发现,二次函数�(�)=−�2的图象上有一个最高点(0,0),即∀�∈�,都有�(�)≤�(0).当一个函数�(�)的图象有最高点时,我们就说函数�(�)有最大值.y1-4-3-2-101234x-1-2-3-4 探索新知活动1:你能以�(�)=−�2的为例说明函数�(�)最大值的含义吗?y1图象特征:函数�(�)=−�2有最高点(0,0),即-4-3-2-101234x最大的函数值为0.-1-2数学含义:-3(1)0是�(�)=−�2的函数值,即0=f(0);-4(2)0是�(�)=−�2函数值中最大的一个,即∀x∈R,都有�(�)≤�(0). 探索新知一般地,设函数�=�(�)的定义域为�,如果存在实数�满足:(1)∀�∈�,都有�(�)≤�;(2)∃�0∈�,使得�(�0)=�.那么,我们则称�是函数�=�(�)的最大值.函数�=�(�)的最大值可用“����”或“�(�)���”来表示.y�(�)=��54321-4-3-2-101234x-1 探索新知活动2:你能仿照函数最大值的定义,给出函数�=�(�)的最小值的定义吗?一般地,设函数�=�(�)的定义域为�,如果存在实数�满足:(1)∀�∈�,都有�(�)≥�;(2)∃�0∈�,使得�(�0)=�.那么,我们则称�是函数�=�(�)的最小值.函数�=�(�)的最大值可用“����”或“�(�)���”来表示.y21-4-3-2-101234x-1�(�)=−��-2-3-4 探索新知思考:一个函数一定有最大值或最小值吗?为什么?不一定.比如:一次函数�(�)=��+�(�∈�)时,无最大值和最小值;二次函数�(�)=��2+��+�(�≠0)(开口向上时有最小值无最大值;开口向下时有最大值无最小值);常函数�(�)=�(既有最大值又有最小值,且最大值和最小值相等).给定区间的函数,看区间端点能否取到,具体情况具体分析. 例析例4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t单位:s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?解:画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识可知,对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18有:14.7当t1.5时,2(4.9)2h(t)4(4.9)1814.7max29.4(4.9)∴烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m. 例析�例5.已知函数�(�)=(�∈[�,�]),求函数的最大值和最小值.�−�解:∀�1,�2∈[2,6],且�1<�2,则222[(�2−1)−(�1−1)]2(�2−�1)�(�1)−�(�2)=−==�1−1�2−1(�1−1)(�2−1)(�1−1)(�2−1)由2≤�1<�2≤6,得�2−�1>0,(�1−1)(�2−1)>0,于是,�(�1)−�(�2)>0,即�(�1)>�(�2).2所以,函数�(�)=在区间[2,6]上单调递减.�−12因此,函数�(�)=在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.�−1在�=2时取得最大值,最大值是2;在�=6时取得最小值,最小值是0.4. 练习题型一:图象法求函数的最值)3−�2,�∈[−1,2],例1.已知函数�(�)=�−3,�∈(2,5].(1)在直角坐标系中画出�(�)的图象;(2)根据函数图象写出函数的单调区间和值域.解(1):�(�)的图象如图所示:(2):由�(�)的图象知:函数的单调增区间为:[−1,0],[2,5];单调减区间为:(0,2).值域为:[−1,3]. 练习1变1.函数�(�)=,�∈[1,2],则�(�)的最大值和最小值分别是_____________.�1答案:1和.(画出草图即可根据图象求解)2变2.设函数�(�)=3�−1,�<0,则�(�)().A.有最大值�.有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值答案:D 练习利用图象求函数最值的方法:(1)画出函数�(�)的图象;(2)观察图象,找出图象的最高点和最低点;(3)写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值. 练习题型二:利用单调性求函数的最值1例2.已知函数�(�)=�+.�(1)判断函数在区间(1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;证明:∀�1,�2∈(1,+∞),且�1<�2,有1111�(�1)−�(�2)=(�1+)−(�2+)=(�1−�2)+(−)�1�2�1�2��−����−��=(��−��)+=(����−�).��������由�1,�2∈(1,+∞),得1<�1<�2.所以,�1�2>0,�1�2−1>0.又由�1<�2,得�1−�2<0.�1−�2于是(�1�2−1)<0,即�(�1)<�(�2).�1�21所以,函数�=�+在区间(1,+∞)上单调递增.� 练习1例2.已知函数�(�)=�+.�(2)求该函数在[2,4]上的最值.�解:由(1)知:函数�(�)=�+在区间[�,�]上单调递增.��因此,函数�(�)=�+在区间[�,�]的两个端点上分别取得最小值与最大值.��????在�=�时取得最小值,最小值是;在�=�时取得最大值,最大值是.�� 练习6变2.已知函数�(�)=3+.(�∈[2,4]),求函数�(�)的最大值和最小值.1−�答案:1和-3.(解答过程同例2和课本例5)利用单调性求函数最值的步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性求出最大(小)值.注:(1)求最值勿忘定义域;(2)闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入最容易出现错误,求解时需注意. 练习题型三:二次函数在区间上的最值例3.求定义在下列区间的函数y=x2-2x-1在的最大值和最小值.(1)x∈[0,3];(2)x∈(2,4];(3)x∈[-2,-1].y5解:由二次的知识可知,函数y=x2-2x-1的图象4开口向上,其对称轴为x=1.∴y=x2-2x-1的大致3�(�)=��2图象如图所示.1(1)∵x∈[0,3]-4-3-2-101234x-1∴当x=1时,y=12-2-1=-2.min当x=3时,ymax=32-2×3-1=2.x1 练习例3.求定义在下列区间的函数y=x2-2x-1在的最大值和最小值.(1)x∈[0,3];(2)x∈(2,4];(3)x∈[-2,-1].解(2):∵x∈[2,4]y5∴当x=1时,ymin=12-2-1=-2.42当x=3时,ymax=3-2×3-1=2.3�(�)=��2解(3):∵x∈[-2,-1]12-4-3-2-101234x∴当x=-1时,ymin=(-1)-2×(-1)-1=2.-1当x=3时,ymax=(-2)2-2×(-2)-1=7.x1 练习变3.已知函数�(�)=�2−��+1.(1)求�(�)在[0,1]上的最大值;(2)当�=1时,求�(�)在闭区间[�,�+1](�∈�)上的最小值.答案:(1)当�≤1时,最大值是2−�;当�>1时,最大值是1.12(2)当�≥时,最小值是�−�+1;212当�≤−时,最小值是�+�+1;2113当−<�<时,最小值是.224 练习1.含参数的二次函数最值问题的解法:解决含参的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为�=�(�+ℎ)2+�的形式,再依�的符号确定抛物线的开口方向,依对称轴�=−ℎ得出顶点的位置,再根据�的定义区间结合大致图象确定最大值或最小值.2.含参数的二次函数最值问题的三种类型:(1)区间固定,对称轴变动(含参),求最值;(2)对称轴固定,最值也固定,对称轴变动,求参数;(3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数.通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论. 课堂小结1.函数的最大(小)值的应满足的条件?其几何意义?2.求一个函数的最大(小)值的方法?(1)图象法:先画出函数的图象,再直接函数最值的几何意义利求函数的最大(小)值;(2)单调性法:先研究函数的单调性,再利用单调性的意义求函数的最大(小)值.注:在实际运用中,我们更多的是将这两种方法结合起来,即采用“单调性+图象”的方法。(3)不等式法:对于一些特殊的函数,也可以运用不等式的知识(如不等式的性质和基本不等式)来求其最值。 课堂小结&作业小结:1.函数最大(小)值的概念;2.求最值的几种方法和一般处理过程.作业:1.整理题型中的例题&变式;2.课本86,习题3.2第6,7,8题. 3.2.2奇偶性 情境导入 探索新知活动1:请同学们画出并观察函数�(�)=�2和�(�)=2−|�|的图象。�y�(�)=�5432可以发现,这两个函数的图象都关于�轴对称1-4-3-2-101234x-1�(�)=�−|�| 探索新知类比函数单调性,你能用符号语言精确地描述“函数图象关于�轴对称”这一特征吗?不妨取自变量的一些特殊值,观察相应函数值的情况,如下表:�(�)=�2�(�)=2−|�|�…-3-2-10123…�(�)…9410149…�(�)…-101210-1… 探索新知y�(�)=��432�…-3-2-10123…1�(�)…9410149…-4-3-2-101234x�(�)…-101210-1…-1�(�)=�−|�|可以发现,当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等。 探索新知观察图象可知:(1)两个函数的图象都关于y轴对称。(2)f(1)f(1),f(2)f(2),f(3)f(3)f(x)f(x)g(1)g(1),g(2)g(2),g(3)g(3)g(x)g(x)以�(�)为例,对定义域内任意的�都有�(�)=�(−�),这时称函数�(�)=�2为偶函数.关于对定义域内任意的�都有�(�)=�(−�)这个结论,我们就利用几何画板一起看一下吧。 探索新知一般地,设函数�(�)的定义域为�,如果∀�∈�,都有−�∈�,且�(−�)=�(�),那么函数�(�)就叫做偶函数。(图象关于�轴对称) 探索新知活动2:观察函数和的图象,讨论这两个函数图象有何共同特征?并尝试用符号语言精确地描述这一特征.�(�)=�1�(�)=� 探索新知可以发现,这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.�…-3-2-10123…�(�)…-3-2-10123…�(�)…��-1无1��…−−�(�)=���意��义可以发现,当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值�(�)也是一对相反数.1�(�)=� 探索新知观察图象可知:(1)两个函数的图象都关于原点对称。(2)�(−3)=−�(3);�(−2)=−�(2);�(−1)=−�(1)…�(−�)=−�(�)�(−3)=−�(3);�(−2)=−�(2);�(−1)=−�(1)…�(−�)=−�(�)一般地,设函数�(�)的定义域为�,如果∀�∈�,都有−�∈�,且�(−�)=−�(�),那么函数�(�)就叫做奇函数。(图象关于原点对称) 探索新知若函数�(�)的定义域为�,如果∀�∈�,都有−�∈�,且�(−�)=±�(�),那么函数�(�)既是奇函数又是偶函数;(如�(�)=0)若函数�(�)的定义域为�,如果∀�∈�,都有−�∈�,且�(−�)≠±�(�),那么函数�(�)既不是奇函数也不是偶函数,简称非奇非偶函数. 探索新知思考1:f(x)|x|(3x4)是否是偶函数?y4••3也就是说明偶函数的定2义域一定要关于原点对1称。(奇函数也是)-4-3-2-101234x-1-2不是,因为对于函数f(x)|x|(3x4)的定义域内任意一个�,不满足�(−�)=−�(�)都成立. 例析例6.判断下列函数的奇偶性.题型一:函数奇偶性的判断)4511(1)�(�)=�;(2)�(�)=�;(3)�(�)=�+;(4)�(�)=.��2解:(1)函数�(�)=�4的定义域为�.∵∀�∈�,都有−�∈�,且�(−�)=(−�)4=�4=�(�),∴函数�(�)=�4为偶函数.(2)函数�(�)=�6的定义域为�.∵∀�∈�,都有−�∈�,且�(−�)=(−�)5=−�5=−�(�),∴函数�(�)=�5为奇函数. 例析例6.判断下列函数的奇偶性.(题型一:函数奇偶性的判断)11(3)�(�)=�+;(4)�(�)=.��21解:(3)函数�(�)=�+的定义域为{�|�≠0}.求定义域并判断是否关于原点对称�∵∀�∈{�|�≠0},都有−�∈{�|�≠0},11且�(−�)=−�+=−(�+)=−�(�),判断�(−�)和−�(�)的关系−��1∴函数�(�)=�+为奇函数.下结论�1(4)函数�(�)=的定义域为{�|�≠0}.�2∵∀�∈{�|�≠0},都有−�∈{�|�≠0},11且�(−�)===�(�),(−�)2�21∴函数�(�)=为偶函数.�2 探索新知思考2:判断函数�(�)=�3+�的奇偶性.思考3:已知函数�(�)=�3+�图象的一部分,你能根据�(�)的奇偶性画出它在轴左边的图象吗? 练习题型二:利用函数奇偶性求参数例1.若函数�(�)=��2+��+3�+�是偶函数,定义域为[�−1,2�],求�,�的值.解:∵偶函数的定义域关于原点对称.1∴�−1+2�=0,�=.312又∵�(�)=�+��+1+�为偶函数31212∴�(−�)=(−�)−��+1−�=�(�)=�+��+1+�.33∴−��−�=��+�,即�=0. 练习变1.(1)若函数�(�)=(�+�)(�−4)是偶函数,求�的值;(�+�)(�+1)(2)若函数�(�)=是奇函数,求�的值.�答案:(1)4;(2)-1. 练习题型三:利用函数奇偶性求分段函数的解析式例2.已知函数�(�)为�上的偶函数,且当�<0时,�(�)=�(�−1),则当�>0时,求此时�(�)的解析式.解:当�>0时,−�<0,则�(−�)=−�(−�−1)=�(�+1)∵�(�)为�上的偶函数∴当�>0时,�(�)=�(−�)=�(�+1). 练习变2.已知函数�(�)是�上的奇函数,且当�∈(0,+∞)时,�(�)=�(�+1),求�(�)在�上的解析式.答案:�(�)=�(�+1),�≥0,−�(�−1),�<0 练习题型四:比较大小(奇偶性与单调性的综合)例3.若对于任意实数�总有�(−�)=�(�),且�(�)在区间(−∞,−1]上是增函数,则()3333�.�(−)<�(−1)<�(2)�.�(2)<�(−)<�(−1)�.�(2)<�(−1)<�(−)�.�(−1)<�(−)<�(2)2222解:据题意得:�(�)为偶函数,且在区间(−∞,−1]上是增函数.∴�(2)=�(−2).3又∵−2<−<−1233∴�(−2)<�(−)<�(−1),即�(2)<�(−)<�(−1).22故选B. 练习题型四:比较大小(奇偶性与单调性的综合)例3.若对于任意实数�总有�(−�)=�(�),且�(�)在区间(−∞,−1]上是增函数,则()3333�.�(−)<�(−1)<�(2)�.�(2)<�(−)<�(−1)�.�(2)<�(−1)<�(−)�.�(−1)<�(−)<�(2)2222解题技巧:(1)若自变量在同一区间内,直接利用函数的单调性比较大小;(2)若自变量不在同一区间内,需利用函数的奇偶性把自变量转化的同一区间内,再利用单调性比较大小. 练习题型五:解不等式问题(奇偶性与单调性的综合)例4.已知定义在[−2,2]的奇函数�(�)在区间[−2,2]上是减函数,若�(1−�)<�(�),求实数�的取值范围.解:∵�(�)是定义在[−2,2]上的奇函数,且在区间[−2,2]上是减函数∴函数�(�)在区间[0,2]上为减函数.若�(1−�)<�(�),则有−2≤�≤21−2≤1−�≤2解得:−1≤�≤.21−�>�1即实数�的取值范围是:[−1,].2 练习题型五:解不等式问题(奇偶性与单调性的综合)变4.(1)已知函数�(�)在定义域[−1,1]上既奇函数又是减函数,若�(1−�2)+�(1−�)<0,求实数�的取值范围;(2)定义在[−2,2]上的偶函数�(�)在区间[0,2]上单调递减,若�(1−�)<�(�),求实数�的取值范围.1答案:(1)[0,1);(2)[−1,].2 练习变4.(1)已知函数�(�)在定义域[−1,1]上既奇函数又是减函数,若�(1−�2)+�(1−�)<0,求实数�的取值范围;(2)定义在[−2,2]上的偶函数�(�)在区间[0,2]上单调递减,若�(1−�)<�(�),求实数�的取值范围.解题技巧:(1)奇函数:�(�)+�(�)<0变形为�(�)<−�(�)=�(�).再利用单调性去掉�,化为关于�,�的不等式.(2)偶函数:�(�)=�(|�|)=�(−|�|),在化到同一区间建立不等式即可. 课堂小结&作业小结:1.偶函数、奇函数的定义及其几何意义;2.判断奇偶函数的思路;3.各题型的注意事项.作业:1.课本P851、2、3题;2.课本习题3.2的5、11、12题 情境导入前面学习了函数的概念,利用函数概念和对函数的观察,研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例.(1)如果张红以1元/????的价格购买了某种蔬菜�????,那么她需要支付�=�元,这里�是�的函数;(2)如果正方形的边长为�,那么正方形的面积�=�2,这里�是�的函数;(3)如果立方体的棱长为�,那么立方体的体积�=�3,这里�是�的函数;(4)如果一个正方形场地的面积为�,那么这个正方形场地的边长�=�,这里�是�的函数;1(5)如果某人��内骑车行进了1????,那么他骑车的平均速度�=????/�,即��=�−1,这里�是�的函数. 探索新知活动1:请观察(1)—(5)中的函数解析式,讨论它们有何共同特征.(1)�=�;(2)�=�2;(3)�=�3;11−1(4)�=�,即�=�2;(5)�=,即�=�.�实际上,这些函数的解析式都有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量;��幂的指数都是常数,分别是1,2,3,,-1;它们都是形如�=�的函数.� 探索新知一般地,函数�=��叫做幂函数,其中是自变量,是常数.注:幂函数中�的系数为“1”.123辨析1:在函数�=,�=2�,�=�+�,�=1中,幂函数的个数为().�2�.0�.1�.2�.3答案:B.其中�=1的定义域为R,而�=�0中,�≠0.所以�=1不是幂函数. 探索新知1活动2:对于幂函数,我们只研究α=1,2,3,,−1时的图象与性质.2现请同学们尝试在同一坐标系中画出这五个函数的大致图象.(取点要具有代表性)活动3:观察现场利用软件作图. 探索新知思考1:我们已经学习过函数的哪些性质?思考2:根据以往学习函数的经验,结合着函数图象,来找一找这5个函数的“异同”点. 探索新知活动2:结合函数图象并结合解析式,将你发现的结论填写在下表.�=��=���=����=�−��=��定义域���[0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)值域�[0,+∞)�[0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在�上单调在(−∞,0]上在�上单调在[0,+∞)上在(−∞,0)上单调递递增单调递减,递增单调递增减,在(0,+∞)上单单调性在(0,+∞)调递减上单调递增定点(1,1) 探索新知思考3:观察5个函数图象,哪个象限一定有幂函数的图象,哪个象限一定没有幂函数的图象. 探索新知幂函数�=��的性质:(1)过定点(1,1);(2)幂函数的图象一定会在第一象限,一定不在第四象限;(3)当�>0时,函数在区间[0,+∞)上是增函数;(4)当�<0时,函数在区间[0,+∞)上是减函数;(5)在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近�轴(指大图低);(6)在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离�轴(指大图高); 新知探索辨析2:判断正误.(1)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).()(2)幂函数的图象都不过第二、四象限.()��(3)当幂指数�取1,3,时,幂函数�=�是增函数.()�(4)若幂函数�=��的图象关于原点对称,则�=��在定义域内�随�的增大而增大.()答案:×,×,√,×. 例析例.证明幂函数�(�)=�是增函数.证明:函数的定义域是[0,+∞).∀�1,�2∈[0,+∞),且�1<�2,有(�1−�2)(�1+�2)�1−�2�(�1)−�(�2)=�1−�2==�1+�2�1+�2∵�1−�2<0,�1+�2>0,∴�(�1)<�(�2),即幂函数�(�)=�是增函数. 练习题型一:幂函数的概念例1.已知�(�)=(�2−4�−4)��是幂函数,则�=________.解:∵�(�)=(�2−4�−4)��是幂函数∴�2−4�−4=1,解之得:�=5或-1. 例析变1.已知幂函数�(�)=(�2−3)��在(0,+∞)上为减函数,则�(3)等于().11�.�.9�.�.393解:∵�(�)=(�2−3)��为幂函数∴�2−3=1,�=±2.又∵幂函数在(0,+∞)上为减函数∴�=−2.即�(�)=�−2.−21∴�(3)=3=.9 练习题型二:幂函数的图象及应用1例2.若点(2,2)在幂函数�(�)的图象上,点(−2,)在幂函数�(�)的图象上,问4当�为何值时,(1)�(�)>�(�);(2)�(�)=�(�);(3)�(�)<�(�).�解:∵设�(�)=��,则2=2∴�=2.即�(�)=�2.同理可得,�(�)=�−2.画出�(�)=�2和�(�)=�−2的函数图象,则由图象可知:当�<−1或�>1时,�(�)>�(�);当�=±1时,�(�)=�(�);当−1<�<1时,�(�)<�(�). 练习变2:若四个幂函数图象�=��,�=��,�=��,�=��在同一坐标系中的图象如图所示,则�,�,�,�的大小关系是().�.�>�>�>��.�>�>�>��.�>�>�>��.�>�>�>��=���=���=��答案:B.在(1,+∞)上,指大图高. 练习解决幂函数图象问题的原则:(1)根据图象的高低判断幂指数的大小:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近�轴(指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离�轴(指大图高).(2)当�>0时,幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点. 练习题型三:利用幂函数的单调性比较大小例3.比较下列各组数中两个数的大小.3320.510.52−13−133(1)()与();(2)(−)与(−);(3)()4与()2.533524解:(1)∵幂函数�=�0.5在(0,+∞)上是单调递增的,2120.510.5又>,∴()>().5353(2)∵幂函数�=�−1在(−∞,0)上是单调递减的,232−13−1又−<−,∴(−)>(−).3535 练习例3.比较下列各组数中两个数的大小.3320.510.52−13−133(1)()与();(2)(−)与(−);(3)()4与()2.5335243解:(1)∵幂函数�1=�4在(0,+∞)上是单调递增的,3333又>1,∴()4>14=1.223又∵�2=�2在(0,+∞)上是单调递增的,3333且<1,∴()2<12=1.443333∴()4>()224 练习变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.1133−−−1(1)1.12与0.92;(2)34与()4.21−解:(1)∵幂函数�=�2在(0,+∞)上是单调递减的,11−−又1.1>0.9,∴1.12<0.92.333−1(2)∵34=()4,幂函数�=�4在(0,+∞)上是单调递增的,333331111−1且<,∴()4<()4,即34<()4.32322 练习比较幂的大小的3种基本方法:直接法当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较转化法当幂指数不同时,可以先转化为相同的幂指数,再利用单调性来比较大小中间量法当底数不同且幂指数也不同时,不能运用单调性比较大小,可选取适当的中间值,从而达到比较大小的目的 练习题型四:幂函数性质的综合应用12∗例4.已知函数�(�)=��+�(�∈�).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在定义域上的单调性;解:(1)∵�2+�=�(�+1),�∈�∗,∴�与�+1中有一个必为偶数,∴该函数的定义域为[0,+∞),由幂函数的性质知,该函数在定义域上单调递增. 练习12∗例4.已知函数�(�)=��+�(�∈�).(2)若该函数图象经过点(2,2),试确定�的值,并求满足条件�(2−�)>�(�−1)的实数�的取值范围.1解:(2)∵该函数图象经过点(2,2),∴2�2+�=2,112∗∴=,即�+�=2,∴�=1(�∈�)�2+�2�−�≥�,3由�(2−�)>�(�−1),得�−�≥�,解之得1≤�<.2�−�>�−�.3故�的值为1,满足条件的实数�的取值范围为[1,).2 练习变4.已知幂函数�(�)=(�2−5�+7)�−�−1(�∈�)为偶函数.1(1)求�()的值;2(2)若�(2�+1)=�(�),求实数�的值.解:(1)∵幂函数�(�)=(�2−5�+7)�−�−1(�∈�)为偶函数,∴�2−5�+7=1,解得�=2(舍去)或�=3.−411−411∴�(�)=�,∴�()=()=1=.22()4162(2)由�(2�+1)=�(�),可得(2�+1)−4=�−4.即��+�=±�,1解之得�=−1或�=−.��+�≠�,3�≠�. 练习解决幂函数的综合问题,要注意以下几点:(1)充分利用幂函数的图象、性质解题,如图象过定点、单调性、奇偶性等;(2)注意运用常见的思想方法解题,如分类讨论、数形结合等. 课堂小结&作业小结:(1)幂函数的概念;(2)5个常见幂函数的图象及其性质;(3)幂函数的性质;(4)幂函数比较大小的方法.作业:(1)整理课件题型;(2)课本P91的练习1、2、3题和习题3.3的第1题. 引入我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系.下面通过一些实例感受它们的广泛应用,体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法. 例析例1.设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同,全年综合所得收入额为�(单位:元),应缴纳综合所得个税税额为�(单位:元).(1)求�关于�的函数解析式;(2)如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元,那么他全年应缴纳多少综合所得个税?级全年应纳税所得额税率速算扣数所在区间(0/0)除数1[0,36000]302(36000,144000]1025203(144000,300000]20169204(300000,420000]25319205(420000,660000]30529206(660000,960000]35859207(960000,+∞)45181920 例析例1.设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同,全年综合所得收入额为�(单位:元),应缴纳综合所得级全年应纳税所得额税率速算扣个税税额为�(单位:元).数所在区间(0/0)除数(1)求�关于�的函数解析式;1[0,36000]302(36000,144000]102520解:由个人应缴纳所得额计算公式,可得:3(144000,300000]2016920�=�−60000−�(8%+2%+1%+9%)−4(300000,420000]253192052800−4560=0.8�−1173605(420000,660000]30529206(660000,960000]3585920令�=0,得�=146700.7(960000,+∞)45181920根据个人应纳税所得额的规定可知,当0≤�≤146700时,�=0.所以,个人应纳税所得额�关于综合所得额�的函数解析式为�=0,0≤�≤146700,0.8�−117360,�>146700. 例析结合3.1.2例8的解析式③,可得:当0≤�≤146700时,�=0,所以�=0;当146700<�≤191700时,0<�≤36000,所以�=�×3%=0.024�−3520.8;当191700<�≤326700时,36000<�≤144000,所以�=�×10%−2520=0.08�−14256;当326700<�≤521700时,144000<�≤300000,所以�=�×20%−16920=0.16�−40392;当521700<�≤671700时,300000<�≤420000,所以�=�×25%−31920=0.2�−61260;当671700<�≤971700时,420000<�≤660000,所以�=�×30%−52920=0.24�−88128; 例析当91700<�≤1346700时,660000<��≤960000,所以�=�×35%−85920=0.28�−126996;当�>1346700时,�>960000,所以�=�×45%−182920=0.36�−234732.所以,函数解析式为�=0,0≤�≤146700,④0.024�−3520.8,146700<�≤191700,0.08�−14256,191700<�≤326700,0.16�−40392,326700<�≤521700,0.2�−61260,521700<�≤671700,0.24�−88128,671700<�≤971700,0.28�−126996,971700<�≤1346700,0.36�−234732,�>1346700, 例析(2)如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元,那么他全年应缴纳多少综合所得个税?解:根据④,当�=249600时,�=0.08�−14256=5721.所以,小王全年应缴纳5721元的综合所得个税. 例析例2.一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率�(单位:????/ℎ)与时间�(单位:ℎ)的关系如图所示,(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;解:阴影部分的面积为:50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 例析例2.一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率�(单位:????/ℎ)与时间�(单位:ℎ)的关系如图所示,(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004????,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数�(单位:????)与时间�的函数解析式,并画出相应的图象.解:根据图,有�=50�+2004,0≤�<1,80(�−1)+2054,1≤�<2,90(�−2)+2134,2≤�<3,75(�−3)+2224,3≤�<4,65(�−4)+2299,4≤�≤5, 练习题型一:一次函数模型例1.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费一次0.3元.(1)若设自行车停放的辆次为�,总的保管费收入为�元,试写出�与�的函数关系式.(2)若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中,电动车的辆次数不小于25%,但不大于40%,试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围.答案:(1)�=0.3�+0.5(3500−�)=−0.2�+1750(�∈�∗且0≤�≤3500)(2)�=−0.2�+1750(2100≤�≤2625)的值域是[1225,1330].即收入在1225元至1330元之间. 练习题型二:二次函数模型例2.牧场中羊群的最大蓄养量为�只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲率.已知羊群的年增长量�只和实际蓄养量�只与空闲率的乘积成正比,正比系数为�(�>0).(1)写出�关于�的函数关系式,并指出这个函数的定义域;(2)求羊群年增长量的最大值;(3)当羊群的年增长量达到最大值时,求�的取值范围.�答案:(1)�=��(1−)(0<�<�)��????(2)当�=时,�取得最大值.24(3)(0,2). 练习题型三:幂函数模型例3.众所周知,大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干。其100克装的售价为1.6元,其400克装的售价为4.8元,假定该商品的售价由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为�,包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为�,利润率为20%,试写出该种饼干900克装的合理售价.��答案:�=+.当�=900时3�=9.6.12512.5即这种饼干900克装的售价为9.6元. 练习题型四:分段函数模型例4.已知某商品在近30天内每件的销售价格�(元)与时间�(天)的函数关系是�=�+20,0<�<25,�∈�,该商品的日销量�(件)与时间�(天)的函数80,25≤�≤30,�∈�,关系是�=−�+40(0<�≤30,�∈�).(1)写出该种商品的日销售额�(元)与时间�(天)的函数关系式;(2)求日销量额�的最大值.−�2+20�+800,0<�<25,�∈�,答案:(1)�=−80�+3200,25≤�≤30,�∈�,(2)第25天时,日销售额最大,是1200元. 课堂小结数学建模解模的过程:提炼收集分析建立函求模、问题数据数据数模型检验还原 4.1.1�次方根与分数指数幂 情境导入为了研究指数函数,我们需要把指数的范围拓展到全体实数.初中已经学习过整数指数幂.在学习幂函数时,我们把正方形的边长�关于面积�1的函数�=�记作�=�2.像这样以分数为指数的幂,其意义是什么呢?下面从已知的平方根、立方根的意义展开研究. 情境导入我们知道:如果�2=�,那么�叫做�的平方根.例如,±2就是4的平方根.如果�3=�,那么�叫做�的立方根.例如,2就是8的立方根.类似地,由于(±2)4=16,我们把±2叫做16的四次方根;由于25=32,2叫做32的五次方根. 探索新知一般地,如果��=�,那么�叫做�的�次方根,其中�>1,且�∈�∗.当�是奇数时,正数的�次方根是一个正数,负数的�次方根是一个负数.这�时,�的�次方根用符号表示�.55362例如,32=2,−32=−2,�=�.当�是偶数时,正数的�次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数���的正的�次方根用符号表示�表示,负的�次方根用符号表示−�表示.正�的�次方根与负的�次方根可以合并写成±�(�>0).444例如,16=2,−16=2,±16=±2. 探索新知负数没有偶次方根.�0的任何次方根都是0,记作0=0.�式子�叫做根式,这里�叫做根指数,�叫做被开方数.��根据�次方根的意义,可得:(�)=�.255例如,(5)=5,(−3)=−3. 探索新知思考1:���表示什么意思呢?���=�一定成立吗?如果不一定成立,那么���等于什么呢?可以得到:��当�是奇数时,�=�;�,�≥0,��当�是偶数时,�=|�|=−�,�<0. 例析例1.求下列各式的值:(1)3(−8)3;(2)(−10)2;(3)4(3−�)4;(4)(�−�)2.33解:(1)(−8)=−8;(2)(−10)2=|−10|=10;44(3)(3−�)=|3−�|=�−3;�−�,�≥�,(4)(�−�)2=|�−�|=�−�,�<�.��当�是奇数时,�=�;��当�是偶数时,�=|�|=�,�≥0,−�,�<0. 探索新知根据�次方根的定义和数的运算,试着思考:510412思考2:�=?�=?(�>0)55104412�10=(�2)5=�2=�5;�12=(�3)4=�3=�4.这就是说,当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式. 探索新知思考3:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?3245把根式表示为分数指数幂的形式时,例如,把�,�,�等写成下列形式:2153245�=�3(�>0),�=�2(�>0),�=�4(�>0),我们希望整数指数幂的性质,如(��)�=���,对分数指数幂仍然适用.由此,我们规定,正数的正分数指数幂的意义是���∗��=�(�>0,�,�∈�,�>1).于是,在条件�>0,�,�∈�∗,�>1下,根式都可以写成分数指数幂的形式. 探索新知正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定,�−11∗��=�=��(�>0,�,�∈�,�>1).���42−11−11例如,53=4=3,�3=2=3.3543�25�与0的整数指数幂的意义相仿,我们规定,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.规定了分数指数幂的意义后,幂��中指数�的取值范围就从整数拓展到了有理数. 探索新知整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用,即对于任意有理数�,�,均有下面的运算性质.(1)����=��+�(�>0,�,�∈�);(2)(��)�=���(�>0,�,�∈�);(3)(��)�=����(�>0,�>0,�∈�). 探索新知辨析1:判断正误.(1)(−�4�2)∙(−��2)3=�7�8.()(2)(−�2�3)3÷(−��2)3=�3�3.()(3)(−�3)2∙(−�2)3=�6�6.()(4)[(�3)2∙(−�2)3]�=−�18�18.()答案:√,√,×,√,√.�2−辨析2:[(−3)]�=__________.�答案:.� 例析例2.求值:2316−(1)83;(2)()4.8122233×2解:(1)83=(2)3=23=2=4;16381334333327−4×3(2)()4=()4=()4=()4=()=.811624228例3.用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中�>0)232(1)�∙�;(2)�3��.22823222+解:(1)�∙�=��3=�3=�3;114123(2)��=(��3)2=(�3)2=�3. 例析例4.计算下列各式(式中字母均是正数):211115(1)(2�3�2)(−6�2�3)÷(−3�6�6);13−8(2)(�4�8);2111151313解:(1)(2�3�2)(−6�2�3)÷(−3�6�6)(2)(�4�−8)8=(�4)8(�−8)82+1−11+1−5=�2�−3=[2×(−6)÷(−3)]�326�236�2=4��0=�3=4� 例析例4.计算下列各式(式中字母均是正数):3242(3)(�−�3)÷�.3242(3)(�−�3)÷�231=(�3−�2)÷�22131=�3÷�2−�2÷�216=�6−�=�−�. 4.1.2无理数指数幂及其运算性质 探索新知上面我们将��(�>0)中指数�的范围从整数拓展到了有理数.那么,当指数�是无理数时,��的意义是什么?它是确定的一个数吗?如果是,那么它有什么运算性质?在初中的学习中,我们通过有理数认识了一些无理数.类似地,也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂. 探索新知 探索新知一般地,无理数指数幂��(�>0,�为无理数)是一个确定的实数.这样,我们就将指数幂��(�>0)中指数�的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适应于实数指数幂,即对于任意实数�,�,均有下面的运算性质.(1)����=��+�(�>0,�,�∈�);(2)(��)�=���(�>0,�,�∈�);(3)(��)�=����(�>0,�>0,�∈�).辨析1:化简(�+�)�−�∙(�−�)�−�=________.答案:1. 练习题型一:根式的化简与求值例1.化简:44(1)(3−�);(2)(�−1)2+(1−�)2+3(1−�)3;(3)3+22+3−22.答案:(1)�−3;(2)�−1;(3)22. 练习42�42�+15445变1.①①(−4),②(−4),③�,④�(�∈�,�∈�)各式中,一定有意义的是().�.①②�.①③�.①②③④�.①③④变2.设−3<�<3,求�2−2�+1−�2+6�+9的值.变1答案:�变2答案:原式=−2�−2,−3<�<1,−4,1≤�<3. 练习题型二:根式与分数指数幂的互化例2.将下列根式化成分数指数幂形式.3(1)3�∙4�;(2)���;(3)�2∙�3;(4)(3�)2∙��3.71373答案:(1)�12;(2)�6;(3)�6�2. 练习变2.用分数指数幂表示下列各式:422136(1)�∙−�(�<0);(2)(�3)3(�<0);(3)(�≠0).35�(�2)2113−答案:(1)−(−�)2;(2)(−�)9;(3)�5. 练习题型三:指数幂的化简与求值例3.计算下列各式(式中字母都是正数).2271712(1)(0.027)3+()−3−(2)0.5;(2)[()−2∙22]2;1259211−700.25436(3)()3×(−)+8×2+(2×3).86答案:(1)0.09;(2)22;(3)112. 练习变3.化简或计算下列各式:4111111(1)(2�3�4)(−6�2�3)÷(−3�6�6);(2)3�×()�+(222)2+15.355答案:(1)4�3�12;(2)18. 练习题型四:含条件的求值问题例4.化简或计算下列各式:33−�2−�2(1)�2+�−2;(2).11−�2−�2答案:(1)23;(2)6. 练习12133变4.若�+�=�2,��=�3(�>0),则�+�等于().6��3�A.0B.C.−D.222答案:�. 课堂小结&作业小结:��1.�等于?2.指数幂的运算性质?作业:1.P107练习1.2.3题;2.P109练习1题&习题4.11--5题. 4.2.1指数函数的概念 情境导入上一章我们学习了函数的概念和基本性质,并通过对幂函数的研究,进一步了解了研究一类函数的过程和方法。今天,我们继续来研究另一类很重要的基本初等函数——指数函数。首先我们来看几个情境实例。 情境情境导入1分裂·0次1次2次3次4次�次·次数·············细胞1个2个4个8个16个�2总数2021222324Q1:请同学们观察细胞分裂示意图,完成两个空格的填写。 情境导入分裂·0次1次2次3次4次�次·次数·············细胞1个2个4个8个16个�22021222324总数Q2:若细胞总数记为�,细胞分裂次数记为�,那么试写出细胞总数与分裂次数�=��(�∈�∗)间的关系式。 情境导入分裂·0次1次2次3次4次�次·次数········细胞分裂的时候每次的增长率···都是2,是一个常数。像这样,·增长率为常数的变化方式,我·们称之为指数增长。细胞1个2个4个8个16个�2总数2021222324 情新知探索境2当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减(称为衰减率),大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”。Q1:该情境中有何变量关系?Q2:将衰减率设为�,把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位,完成表格。死亡1年2年3年······5730年�年年数碳14�(�−�)�(�−�)�(�−�)????????(�−�)�(�−�)······含量 新知探索死亡1年2年3年······5730年�年年数碳14���(�−�)????????(�−�)�(�−�)(�−�)(�−�)······含量Q3:若死亡生物体内碳14含量记为�,死亡年数记为�,那么试写出死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式。�=(�−�)�(�∈[�,+∞)) 新知探索当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减(称为衰减率),大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”。�=(�−�)�(�∈[0,+∞))我们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位,经过5730年衰减为原来的115730157301��一半,即(1−�)=,那么1−�==()5730,�=1−()5730,22��11���1�则(1−�)=[1−(1−()5730)]=(()5730)(�∈[0,+∞)).�2���=(()????????)�(�∈[0,+∞))� 新知探索死亡1年2年3年······5730年�年年数碳14���(�−�)????????(�−�)�(�−�)(�−�)(�−�)······含量1�生物体内碳14的含量每年都以1−()5730的衰减率衰减。像这样,衰减率为�常数的变化方式,我们称之为指数衰减。 概念生成���=��(�∈�∗)�=(()????????)�(�∈[0,+∞))�思考1:请同学类比于幂函数概念,说出这两个式子有什么特征?你能否用一个式子反映这些特征?�=��(指数�为自变量,底数�为常数) 概念生成�=��(指数�为自变量,底数�为常数)Q1:在�=��中,对�有要求吗?�∈�Q2:那对�有要求吗?�11�若�=0,则�≤0时,�无意义;若�<0,则�=,等时,�无意义;24若�=1,则��=1无研究的必要.因此我们规定:�>0且�≠1. 概念生成一般地,函数�=��(�>0且�≠1)叫做指数函数,其中指数�是自变量,定义域是�.注:(1)指数函数的定义域是实数集�;(2)自变量是指数�,且指数位置只能有�这一项;(3)底数�只能有一项,且其系数必须为1;(4)底数�的范围是�>0且�≠1. 例析&练习题型一:指数函数的概念例1.给出下列函数:①�=2∙3�;②�=31+�;③�=3�;④�=�3;⑤�=(−2)�.其中,指数函数的个数是().A.0B.1C.2D.4答案:B.变1.若函数�=(�2−3�+3)��是指数函数,则�=___________.答案:2. 例析&练习题型二:指数函数的解析式及应用例2.已知指数函数�(�)=��(�>0且�≠1),且�(3)=�,求�(0),�(1),�(−3)的值.解:∵�(�)=��且�(3)=�∴�(3)=�3=�.11��∴�=�3,即�(�)=(�3)=�3.01−33−11∴�(0)=�3=1;�(1)=�3=�;�(−3)=�3=�=.� 例析&练习题型三:指数函数的实际应用例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人,甲城市人口的年增长率为1.2%,乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题:(1)写出两城市的人口总数�(万人)与年份�(年)的函数解析式;解(1):�年后甲城市人口总数为�=????�×(�+�.�%)�.�年后乙城市人口总数为�=????�+�.��. 例析&练习例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人,甲城市人口的年增长率为1.2%,乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题:(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人);解(2):10年后20年后30年后甲112.7126.9143.0乙113126139 例析&练习例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人,甲城市人口的年增长率为1.2%,乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题:(3)试对两城市人口增长情况做出分析。解(3):甲乙两城市人口都逐年增长,其中甲城市人口增长的速度快些,呈指数增长型;乙城市人口增长缓慢,呈线性增长.从中可以体会到,不同的函数增长模型,增长变化存在很大差异. 例析&练习实际应用问题中指数函数模型的类型(1)指数增长模型设原有量为�,每次的增长率为�,则经过�次增长,该量增长到�,则:�=�(1+�)�(�∈�).(2)指数减少模型设原有量为�,每次的减少率为�,则经过�次减少,该量减少到�,则:�=�(1−�)�(�∈�). 例析&练习(3)指数型函数把形如�=���(�≠0,�>0,且�≠1)的函数称为指数型函数,这是非常有用的函数模型.活动:请同学们尝试说出几个生活中的指数函数模型的例子. 课堂小结小结:(1)指数函数的概念:一般地,函数�=��(�>0且�≠1)叫做指数函数,其中指数�是自变量,定义域是�.(2)指数函数需要注意的几个点:①指数函数的定义域是实数集�;②自变量是指数�,且指数位置只能有�这一项;③底数�只能有一项,且其系数必须为1;④底数�的范围是�>0且�≠1.(3)幂函数与指数函数的区别 作业作业:(1)复习本节课的内容并预习好下一节内容;(2)课本P115的练习1、2、3题(第3题写出函数解析式即可). 4.2.1指数函数的图象和性质 复习导入活动1:请同学们回顾一下指数函数的概念?下面我们类比研究幂函数性质的过程与方法,进一步研究指数函数.华罗庚曾说过,“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,下面我们尝试画出指数函数的图象,然后借助图象研究指数函数的性质. 新知探索我们先从简单的函数�=2�开始.活动2:请同学们完成�,�的对应值表,并用描点法画出函数�=2�的图象.��……-214-112011224…… 新知探索为了得到指数函数�=��(�>0,且�≠1)的性质,我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.1�活动3:请同学们画出函数�=()的图象.2 新知探索�1�活动4:请同学们比较函数�=2,�=()的图象,观察两个函数图象有何关系?2 新知探索1�−�因为�=()=2,点(�,�)与点(−�,�)2关于�轴对称,所以函数�=2�图象上任意�‘(−�,�)�(�,�)一点�(�,�)关于�轴的对称点�‘(−�,�)都在1�函数�=()上,反之亦然.2 新知探索由此可知,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于�轴对称.根据这种对�‘(−�,�)�(�,�)称性,就可以利用一个函数的图象,画出另一个函数的图象,比如利用函�1�数�=2的图象,画出�=()的图象.2 新知探索活动4:选取底数�(�>0,且�≠1)的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.(�=2�,�=3�,�=4�;�=(1)�,�=(1)�,�=(1)�)234 新知探索活动5:请同学们观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性?由此尝试概括出指数函数�=��(�>0,且�≠1)的值域和性质.选取底数�的若干值,用信息技术画图,发现指数函数�=��的图象按照底数�的取值,可分为0<�<1和�>1两种类型.因此,指数函数的性质也可以分为0<�<1和�>1两种情况进行研究. 新知探索活动5:请同学们观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性?由此尝试概括出指数函数�=��(�>0,且�≠1)的值域和性质.不难看出:这些图象都经过点(0,1);其定义域都是�;值域是(0,+∞);当0<�<1时,�=��在�上单调递减,当�>1时,�=��在�上单调递增. 新知探索1.指数函数图象的其它特征:在�轴的右侧,底数越大,图象越高,简称“底大图高”. 新知探索2.指数图象的变换:�=��的图象(上移�个单位)�=��+�的图象�=��的图象(下移�个单位)�=��−�的图象 新知探索2.指数图象的变换:�=��的图象(左移�个单位)�=��+�的图象�=��的图象(右移�个单位)�=��−�的图象 新知探索活动6:下面请同学们观察Geogebra作图的动画展示,来观察对于任意底数�(�>0,且�≠1),我们刚刚的发现是否成立. 新知探索一般地,指数函数的图象和性质如下表所示: 例析例3.比较下列各题中两个值的大小:(1)1.72.5,1.73;(2)0.8−2,0.8−3;(3)1.70.3,0.93.1.解:(1)∵�=1.7�在定义域上单调递增而2.5<3,∴1.72.5<1.73.(2)∵�=0.8�在定义域上单调递减而−2>−3,∴0.8−2<0.8−3.(3)∵�=1.7�在定义域上单调递增而0.3>0,∴1.70.3>1.70=1又∵�=0.9�在定义域上单调递减而3.1>0,∴0.93.1<0.90=1综上,1.70.3>0.93.1. 例析例4.如图,某城市人口呈指数增长.(1)根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期);解:(1)观察图象,发现该城市人口经过20年约为10万人,经过40年约为20万人,即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年,所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年. 例析例4.如图,某城市人口呈指数增长.(2)该城市人口从80万人开始,经过20年会增长到多少万人?解:(2)因为倍增期为20年,所以每经过20年,人口将翻一番.因此,从80万人开始,经过20年,该城市人口大约会增长到160万人. 练习题型一:指数函数的定义域和值域例1.求下列函数的定义域和值域:12−|�|1�(1)�=2�−4;(2)();(3)�=1−().32解:(1)定义域:(−∞,4)∪(4,+∞).值域:(0,1)∪(1,+∞).(2)定义域:�.值域:[1,+∞).(3)定义域:[0,+∞).值域:[0,1). 练习变1.求下列函数的定义域和值域:�(1)�=3;(2)22�−�2;(3)�=4�−2�+1.1+3�解:(1)定义域:�.值域:(0,1).(2)定义域:�.值域:(0,2].3(3)定义域:�.值域:[,+∞).4 练习题型二:指数函数的图象及应用例2.函数�=��−�(�>0,且�≠1)的图象可能是:().答案:C.当�=1时,�=�1−�=0,故函数�=��−�的图象过定点(1,0). 练习变2.已知0<�<1,�<−1,则函数�=��+�图象必定不经过().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:A.图象恒过点(0,1+�),∵�<−1,∴点(0,1+�)在�轴负半轴上.故图象不经过第一象限. 练习指数函数图象问题的处理技巧:(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象恒过定点.(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性决定函数图象的走势. 练习题型三:指数函数的简单应用[比较大小]例3.比较下列各题中两个值的大小:(1)1.70.3,0.93.1;(2)(5)−1.8,(5)−2.5;(3)0.20.3,0.30.2.77解:(1)1.70.3>0.93.1.(2)(5)−1.8<(5)−2.5.77(3)0.20.3<0.30.2. 练习1133−3−3−变3.已知�=()3,�=()4,�=()4则�,�,�的大小关系是().552A.�<�<�B.�<�<�C.�<�<�D.�<�<�答案:D.333−2∵�=()4=()4<1,23113−3−又�=()3,�=()455∴�>�>1.故�<�<�. 练习比较指数式大小的类型及处理方法:(1)底数相同,指数不同:利用指数函数的单调性来判断.(2)底数不同,指数相同:利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断.(3)底数不同,指数不同:通过中间量来比较. 练习[解指数不等式]例4.求满足下列条件的�的取值范围:(1)3�−1>9�;(2)0.2�<25;(3)�−5�>��+7(�>0,且�≠1).解:(1)�的取值范围是:(−∞,−1).(2)�的取值范围是:(−2,+∞).7(3)�的取值范围是:(−,+∞).6 练习13�−1变4.(1)解不等式()≤2;2(2)已知��2−3�+1<��+6(�>0,且�≠1),求�的取值范围.解:(1)�的取值范围是:[0,+∞).(2)当0<�<1时,�的取值范围是:(−∞,−1)∪(5,+∞).当�>1时,�的取值范围是:(−1,5). 练习指数不等式的三种求解方法:(1)性质法:解形如��>��的不等式,可借助函数�=��的单调性求解,如果�的取值不确定,需分0<�<1与�>1两种情况讨论.(2)隐含性质法:解形如��>�的不等式,可先将�转化为以�为底数的指数幂的形式,再借助函数�=��的单调性求解.(3)图象法:解形如��>��的不等式,可利用对应的函数图象求解. 课堂小结&作业课堂小结:(1)指数函数的图象性质;(2)求指数型函数的定义域和值域的一般方法;(3)比较指数式大小的类型及处理方法;(4)指数不等式的三种求解方法.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P118的习题4.21—4题&6题、10题 4.3.1对数的概念 情境导入在4.2.1的问题1中,我们假设经过�年后的游客人次为2001年的�倍,那么�=1.11�(�∈[0,+∞)).通过指数幂运算,我们能从�=1.11�中求出�年后B地景区的游客人次约为2001年的倍数�.反之,如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍,3倍,4倍,…,那么该如何解决呢?上述问题实际上就是从2=1.11�,3=1.11�,4=1.11�,…中分别求出�,即已知底数和幂的值,求指数.这就是本节要学习的对数. 新知探索一般地,如果��=�(�>0且�≠1),那么数�叫做以�为底�的对数,记作:�=????���,其中�叫做对数的底数,�叫做真数.注:真数�>0.例如,由于2=1.11�,所以�就是以1.11为底2的对数,记作�=????�2;再1.1如,由于42=16,所以以4为底16的对数是2,记作????�16=2.4��=�⇔�=????��� 新知探索通常,我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把????�10�为底记为���.另外,在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数�=2.71820…为底数的对数,以�为底的对数称为自然对数,并把????���为底记为????�.辨析1.判断正误.(1)因为(−2)2=4,所以2=????�4.(−2)(2)????���是????��与�的乘积.�(3)使对数????�2(−2�+1)有意义的�的取值范围是(−∞,).�(4)对数的运算实质是求幂指数.答案:×,×,√,√. 新知探索根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当�>0,�≠1时,��=�⇔�=????���由指数与对数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:负数和零没有对数;????��1=0,????���=1.你能利用对数与指数间的关系证明????��1=0,????���=1这两个结论吗?∵�0=1,∴????�1=0.�又∵�1=�,∴????��=1.� 例析例1.把下列的指数式化为对数式,对数式化为指数式:4−611�(1)5=625;(2)2=;(3)()=5.73;643(4)????�116=−4;(5)��0.01=−2;(6)????10=2.303.2��=�⇔�=????���1解:(1)????�5625=4;(2)log2=−6;(3)log15.73=m;643(4)(1)−4=16;(5)10−2=0.01;(6)�2.303=10.2 例析例2.求下列各式中�的值:2(1)????�64�=−;(2)????��8=6;��=�⇔�=????��3�(3)��100=�;(4)−????�2=�.22−−21解:(1)∵????�64�=−,∴�=643=4=.3161113(2)∵????��8=6,∴�=86=(2)6=22=2.(3)∵��100=�,∴10�=100=102,�=2.(4)∵−????�2=�,∴�2=�−�,∴�=−2. 练习题型一:对数的概念例1.在对数式�=????��−2(5−�)中,实数�的取值范围是().A.(−∞,2)∪(5,+∞)B.(2,5)C.(2,3)∪(3,5)D.(3,4)解:在对数式�=????��−2(5−�)中,底数为�−2,真数为5−�∴�−2>0�−2≠15−�>0∴2<�<3或3<�<5.故选C. 练习变1.将下列指数式、对数式互化.①53=125;②????�16=4;③10−2=0.01;④????�125=6.25��=�⇔�=????���解:①∵53=125,∴????�125=3.5②∵????�16=4,∴24=16.2③∵10−2=0.01,∴��0.01=−2.④∵????�125=6,∴(5)6=125.5 练习题型二:利用指数式与对数式的互化求变量例2.求下列各式中的�的值.9(1)��0.01=�.(2)????�7(�+2)=2.(3)????�2=�.(4)????�132=�.432解:①∵��0.01=�,∴10�=0.01=10−2,�=−2.②∵????�(�+2)=2,∴72=�+2=49,�=47.792�92−2③∵????�2=�,∴()==(),�=−2.434331�1−5④∵????�132=�,∴()=32=(),�=−5.222 练习变2.利用指数式、对数式的互化求下列各式中�的值.1(1)????�2�=−;(2)????��25=2;2(3)????��2=2;(4)2????��=4.5311−2解:(1)∵????�2�=−,∴22=�=.22(2)∵????�25=2,∴�2=25,�=±5.而�>0且�≠1.即�=5.�(3)∵????��2=2,∴52=�2,�=±5.5(4)∵2????��=4,∴????��=2,32=�=9.33 练习补充:对数恒等式如果把��=�中的�写成????��,则有�????���=�.�题型三:对数的性质及对数恒等式例3.求下列各式的值.①2−���23;②�3��7;③��0.0012.解:①2−���23=(2���23)−1=3−1=1.3②�3��7=(���7)3=73=343.③��0.0012=��10−6=−6. 练习变3.求下列各式中�的值.①????�3(���)=1;②????�3(????�4(????�5�))=0.解:①∵????�(���)=1,∴���=3,∴�=103=1000.3②由????�3(????�4(????�5�))=0可得,????�4(????�5�)=1,故????�5�=4,∴�=54=625. 课堂小结&作业小结:1.对数的概念;2.指对互换.作业:课本P123练习1--3题 4.3.2对数的运算 情境导入在引入对数后,自然应研究对数的运算性质.你认为可以怎样研究?我们知道了对数与指数间的关系,能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢?指数幂运算(1)����=��+�(�>0,�,�∈�);(2)(��)�=���(�>0,�,�∈�);(3)(????)�=�????�(�>0,�>0,�∈�). 新知探索设�=��,�=��∵����=��+�,∴��=��+�.根据对数与指数间的关系可得:????��=�,????��=�,????�(��)=????���+�=�+�.����这样,就得到了对数的一个运算性质:①????��(????)=????���+????�????. 新知探索活动1:同样地,同学们可以仿照上述过程,由��÷��=��−�,自己推出对数运算的其他性质.设�=��,�=��∵��÷��=��−�,∴�=��−�.�根据对数与指数间的关系可得:�????��=�,????��=�,????�=????���−�=????��−????��.�������因此得到对数运算性质:�②????��=????���−????�????.� 新知探索活动2:同样地,同学们可以仿照上述过程,由(��)�=���,自己推出对数运算的其他性质.设�=��,�=��∵(��)�=���,∴��=���.根据对数与指数间的关系可得:????���=????����=��=�????��.���因此得到对数运算性质:③????���=�????��(�∈�).�� 新知探索于是,我们得到如下的对数运算性质.如果�>�,且�≠�,�>�,�>�,那么①????��(????)=????���+????�????;�②????��=????���−????�????;�③????���=�????��(�∈�).�� 新知探索辨析1:判断正误.(1)????��2=2????��.22(2)????��[(−2)×(−3)]=????��(−2)+????��(−3).(3)????��(????)=????���∙????�????.(4)????�(−5)2=2????�(−5).��答案:×,×,×,×.辨析2:计算????�84+????�82等于______.解:????�84+????�82=????�8(4×2)=1. 例析例3.求下列各式的值:575(1)��100;(2)????�2(4×2).1512解:(1)��100=��1005=��100=.55①????��(????)=????���+????�????;7575�(2)????�2(4×2)=????�24+????�22②????�????=????���−????�????;=7????�4+5????�2③????���=�????��(�∈�).22��=7×2+5×1=19. 例析�2�例4.用���,�????,���表示��3.��2�3解:��=��(�2�)−���3�①????��(????)=????���+????�????;�=���2+�????−��3�②????��=????���−????�????;�③????���=�????��(�∈�).11��=2���+�????−���.23 新知探索数学史上,人们经过大量努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过查表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.现在,利用计算工具,也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样,如果能将其他底的对数转换为以10或�为底的对数,就能方便地求出这些对数.活动3:(1)利用计算工具求��2,��3的近似值;(2)根据对数的定义,你能利用��2,��3的值求????�23的值吗?(3)根据对数的定义,你能用????���,????�????表示????�????(�>0,且�≠1;�>0;�>0,且�≠1)吗? 新知探索设????????=�,则��=�,于是????���=????????.���根据性质③得�????���=????�????,即????���????���=(�>�,且�≠�;�>�;�>�,且�≠�).????���我们把上式叫做对数换底公式.在4.2.1的问题1中,求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍,就是计算��2�=????�1.112的值.由换底公式,可得�=????�1.112=.��1.11��2利用计算工具,可得,�=≈6.64≈7.由此可得,大约经过7年,B地景区的��1.11游客人次就达到了2001年的2倍.类似地,可以求出游客人次是2001年的3倍,4倍,…所需要的年数. 新知探索辨析3:判断正误.���(−2)�(1)由换底公式可得????�????=.���(−2)�(2)????�2�+????�3�=????�6(��).(3)????�23∙????�32=1.答案:×,×,√.辨析4:????�23∙????�34∙????�42等于______.���24���22解:原式=????�23∙.=1.���23���24 例析例5.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为���=4.8+1.5.2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)?解:设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为�1和�2.由���=4.8+1.5�,可得���1=4.8+1.5×9.0,���2=4.8+1.5×8.0.�1于是,��=���1−���2=(4.8+1.5×9.0)−(4.8+1.5×8.0)=1.5.�2�11.5利用计算工具可得,=10≈32.�2虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍. 新知探索补充:(1)对数运算性质①的推广:????��(�1∙�2∙�3∙…∙��)=????���1+????���2+????���3+…+????����(�>0,且�≠1,��>0,�=1,2,…,�).(2)由换底公式得到的常用结论:�①????�????∙????���∙????���=1;②????��????=????�????;��③????��????=????�????;④????�1�=−????�????.�� 练习题型一:对数运算性质的应用��12例1.(1)若��2=�,��3=�,则等于().��152+�2+��+2��+2�A.B.C.D.1−+�1+�+�1−�+�1+�+���12��(3×4)��3+2��2��3+2��22�+�①????��(????)=????���+????�????;解:====.��15��(3×5)��3+��5��3+1−�21−�+��②????��=????���−????�????;�故选A.③????���=�????��(�∈�).�� 练习23��3+��9+��27−�32255例1.(2)①(��5)+2�2−(��2);②;��81−�277③????�535−2????�5+????�57−????�51.8.3解:①原式=(��5)2+(2−�2)��2=(��5)2+(1+��5)��2=(��5)2+��2∙��5+��2=(��5+��2)��5+��2=lg5+lg2=1.491491��3+��3+��3−��3(1++−)��31151025102②原式===.4��3−3��3(4−3)��359③原式=????�5(5×7)−2(????�57−????�53)+????�57−????�55=????�55+????�57−2????�57+2????�53+????�57−2????�53+????�55=2????�55=2. 练习变1.(1)(2020年全国卷1)设�????�4=2,则4−�=().31111A.B.C.D.16986��−�11解:因为�????�34=2,所以????�34=2,则有4=9.所以4=�=.故选B.49变1.(2)计算下列各式:32①????�5625;②????�2(32×4).1144解:①原式=????�5625=????�55=.333②原式=????�32+????�42=5+4=9.22 练习题型二:换底公式例2.(1)计算(????�2125+????�425+????�85)(????�52+????�254+????�1258)的值.3���225���25���54���58解:(1)原式=(????�25++)∙(????�52++)���24���28���525���51252���25���252���523���52=(3????�25++)(????�52++)2���223���222���553���551????�22=(3+1+)????�25∙(3????�52)=13????�25∙=13.3????�25 练习例2.(2)已知????�9=�,18�=5,用�,�表示????�45的值.1836解:(2)∵????�9=�,18�=518∴????�185=�.���18(9×5)���189+���185于是????�3645==���18(18×2)���1818+���182????�189+????�185�+��+�===.1+????�1821+????�182−189 练习变式2.(1)若????�????∙????���∙????��3=2,则�的值为_______.�????�����3��3解:(1)由已知可得∙∙=2,即=2,����????������∴��3=2���,即�2=3,�=3.变式2.(2)计算(????�43+????�83)(????�32+????�92).��3��3��2��2解:(2)原式=(+)(+)��4��8��3��9��3��3��2��25��33��25=(+)∙(+)=×=.2��23��2��32��36��22��34 练习对数式化简与求值的基本原则和方法:基本原则:正用或逆用公式,对真数进行处理,一般本着便于真数化简的原则进行常用方法:(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).利用换底公式进行化简的原则和技巧:原则:化异底为同底技巧:(1)先进行部分运算,最后再换成同底;(2)借助换底公式一次性统一换为常用对数(自然对数),再化简、通分、求值;(3)利用对数恒等式或常用结论,有时可熟记一些常用结论. 练习题型三:对数运算的综合应用例3.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度�(单位:�/�)和燃料的质量���2000(单位:kg),火箭(除燃料外)的质量�(单位:kg)满足�=(1+)(�为�自然对数的底数).当燃料质量�为火箭(除燃料外)质量�的两倍时,求火箭的最大速度(单位:�/�).(��3≈1.099)�2000�解:∵�=��(1+)=2000��(1+),��∴�=2000��3≈2000×1.099=2198(�/�).故当燃料质量�为火箭(除燃料外)质量�的两倍时,火箭的最大速度为2198�/�.变3.同课本例5. 课堂小结&作业小结:(1)对数的运算性质;(2)换底公式.作业:(1)整理并复习课件题型;(2)课本P126-127习题4.31—7题做作业本. 4.4.1对数函数的概念 复习导入在4.2节中,我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题.对这样的问题,在引入对数后,我们还可以从另外的角度,对其蕴含的规律作进一步的研究.思考:在4.2.1的问题2中,我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量�随死亡时间�的变化而衰减的规律.反过来,已知死亡生物体内碳14的含量,如何得知它死亡了多长时间呢?进一步地,死亡时间�是碳14的含量�的函数吗? 新知探索�1根据指数与对数的关系,由�=()5730(��≥0)得到�=????��(�<�≤2????????���).如图,过�轴正半轴上任意一点(0,�0)(0<�0≤1)作�轴的平行线,与�=�1()5730(�≥0)的图象有且只有一个交点(�0,�0).2 新知探索这就说明,对于任意一个�∈(0,1],通过对应关系�=????���,在[0,+573012∞)上都有唯一确定的数�和它对应,所以�也是�的函数.也就是说,函数�=????��,�∈(0,1]刻画了时间�随碳14含量�的衰减而变化的规律.573012 新知探索同样地,根据指数与对数的关系,由�=��(�>0,且�≠1)可以得到�=????���(�>0,且�≠1),�也是�的函数.通常,我们用�表示自变量,�表示函数.为此,将�=????���(�>0,且�≠1)中的字母�和�对调,写出�=????���(�>0,且��≠1).一般地,函数�=????���(�>0,且�≠1)叫做对数函数,其中�是自变量,定义域是(0,+∞).注:“????�”前面的系数必须为1;真数部分必须为�;底数必须要满足�>0,且�≠1. 新知探索辨析1:判断正误.(1)对数函数的定义域为�.1(2)函数�=????��是对数函数.2(3)�=????��2与�=????�3都不是对数函数.2�答案:×,×,√.辨析2:若对数函数的图象经过�(9,2),则此对数函数的解析式为__________.答案:�=????�3�. 例析例1.求下列函数的定义域:(1)�=????��2;3(2)�=????��(4−�)(�>0,且�≠1).解:(1)∵�2>0,即�≠0,∴函数�=????��2的定义域是{�|�≠0}.3(2)∵4−�>0,即�<4,∴�=????��(4−�)的定义域是{�|�<4}. 例析例2.假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增,经过�年后的物价为�.(1)该地的物价经过几年后会翻一番?解:(1)由题意可知,经过�年后物价�为�=(1+5%)�,即�=1.05�(�∈[0,+∞)).由对数与指数间的关系,可得�=????�1.05�,�∈[1,+∞).由计算工具可得,当�=2时,�≈14.所以,该地区的物价大约经过14年后会翻一番. 例析例2.假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增,经过�年后的物价为�.(2)填写下表,并根据表中的数据,说明该地物价的变化规律.物价�12345678910年数�0解:(2)根据函数�=????�1.05�,�∈[1,+∞),利用计算工具,可得下表:物价�12345678910年数�0142328333740434547由表中的数据可以发现,该地区的物价随时间的增长而增长,但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小. 练习题型一:对数函数的概念例1.下列函数表达式中,是对数函数的有().①�=????��2;②�=????���(�∈�);③�=????�8�;④�=????�;⑤�=????��(�+2);⑥�=2????�4�;⑦�=????�2(�+1).A.1个B.2个C.3个D.4个答案:B. 练习变1.(1)函数�(�)=(�2−�+1)????��是对数函数,则实数�=_________.(�+1)21(2)函数�(�)=(�+�−5)????���是对数函数,则函数�()=_________.8答案:(1)1;(2)-3.(1)∵�2−�+1=1,解得�=0或1.而�+1>0且�+1≠1,∴�>−1且�≠0.即�=1.(2)∵�2+�−5=1,解得�=2或-3.而�>0且�≠1.∴�=2.即�(�)=????�2�.11∴�()=????�2=−3.88 练习判断一个函数是对数的依据:(1)形式:形如�=????���(�>0,且�≠1);(2)系数:对数符号前面的系数为1;(3)底数:底数为大于0且不等于1的常数;(4)对数的真数仅有自变量�. 练习题型二:对数型函数的定义域例2.求下列函数的定义域.(1)�=????�(3−�)+????�(3+�);(2)�=????�(16−4�);(3)�=????�5.��2(1−�)答案:(1)由3−�>0得−3<�<3.3+�>0∴定义域为(−3,3).(2)由16−4�>0,得4�<16=42.由指数函数的单调性知,�<2.∴定义域为(−∞,2).(3)据题意得:1−�>0且1−�≠1,得�<1且�≠0.∴定义域为(−∞,0)∪(0,1). 练习变2.求下列函数的定义域.1(1)�=;(2)��(�−3);(3)�=????�(�−1)(3−�).���2(�−1)答案:(1)由�−1>0得�>1且�≠2.�−1≠1∴定义域为(1,2)∪(2,+∞).(2)由��(�−3)≥0,得�−3≥1.即�≥4.∴定义域为[4,+∞).(3)据题意得:�−1>0且�−1≠1,得�>1且�≠2.而3−�>0,即�<3.∴定义域为(1,2)∪(2,3). 练习求对数型函数定义域的原则:(1)分母不能为0;(2)根指数为偶数时,被开方数非负;(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1;(4)若需对函数进行变形,则需先求出定义域,再对函数进行恒等变形. 练习题型三:对数函数的实际应用例3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可1�以表示为函数�=????�3,单位是�/�,�是表示鱼的耗氧量的单位数.2100(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是多少?1�解:(1)由�=????�3可知,21001900当�=900时,�=????�3=1(�/�).2100所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是1m/s. 练习题型三:对数函数的实际应用例3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可1�以表示为函数�=????�3,单位是�/�,�是表示鱼的耗氧量的单位数.2100(2)某条鲑鱼想把游速提高1�/�,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍?解:(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量为�1,�1,提速后的游速、耗氧量为�2,�2.1�11�2�1由�2−�1=1,即????�3−????�3=1,得=9.21002100�2所以耗氧量的单位数是原来的9倍. 练习变3.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2????�5(�+1)进行奖励.记奖金为�(单位:万元).(1)写出奖金�关于销售利润�的关系式;解:(1)由题意知�=0.15�,0≤�≤10,1.5+2????�5(�−9),�>10. 练习变3.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2????�5(�+1)进行奖励.记奖金为�(单位:万元).(1)写出奖金�关于销售利润�的关系式;(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?解:(2)由题意知1.5+2????�5(�−9)=5.5,即????�5(�−9)=2,所以�−9=25,�=34.所以老江的销售利润是34万元. 课堂小结小结:1.对数函数的概念:一般地,函数�=????���(�>0,且�≠1)叫做对数函数,其中�是自变量,定义域是(0,+∞).2.对数函数需要注意的几个点:(1)形式:形如�=????���(�>0,且�≠1);(2)系数:对数符号前面的系数为1;(3)底数:底数为大于0且不等于1的常数;(4)对数的真数仅有自变量�. 作业作业:1.P131页练习1——3题;2.整理课堂题型并温习. 4.4.2对数函数的图象和性质 复习导入活动1:请同学们回顾一下对数函数的概念?下面我们类比研究指数函数性质的过程与方法,进一步研究对数函数.与研究指数函数一样,我们首先画出其图象,然后借助图象研究其性质.因为指数和对数是可以互换的,因此可以猜想底数�对对数函数的图象也会有影响.现在我们不妨先画出函数�=????���、�=????���的图象.� 新知探索活动2:请同学们完成�,�的对应值表,并用描点法画出函数�=????���、�=????����的图象.��=????����=????�����………0.5-1110021-142-283-3……… 新知探索为了得到指数函数�=????���(�>0,且�≠1)的性质,我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.活动3:请同学们画出函数�=????���、�=????���的图象.� 新知探索我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于�轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如�=????��2�、�=????�1�,它们的图象是否也有某种对称2关系呢?可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象? 新知探索�(�,�)利用换底公式,可以得到�=????�1�=−????�2�.2因为点(�,�)与点(�,−�)关于�轴对称,所以函数�=????�2�图象上任意一点�(�,�)关于�轴的�‘(�,−�)对称点�‘(�,−�)都在函数�=????�1�上,反之亦2然. 新知探索由此可知,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于�轴对称.根据这种对称性,就可以利用一个函数的图象,画出另一个函数的图象,比如利用函数�=????�2�的图象,画出�=????�1�的2图象. 新知探索活动4:选取底数�(�>0,且�≠1)的若干值,在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.(�=????�2�,�=????�3�,�=????�4�;�=????�1�,�=????�1�,�=23????�1�)4 新知探索活动5:请同学们观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性?由此尝试概括出指数函数�=��(�>0,且�≠1)的值域和性质.选取底数�的若干值,用信息技术画图,发现指数函数�=��的图象按照底数�的取值,可分为0<�<1和�>1两种类型.因此,指数函数的性质也可以分为0<�<1和�>1两种情况进行研究. 新知探索活动5:请同学们观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性?由此尝试概括出指数函数�=????���(�>0,且�≠1)的值域和性质.不难看出:这些图象都经过点(1,0);其定义域都是(0,+∞);值域是�;当0<�<1时,�=????���在(0,+∞)上单调递减,当�>1时,�=????���在(0,+∞)上单调递增. 新知探索指数函数图象的其它特征:在直线�=1的右侧,�>1时,�越大,图象越低,简称“底大图低”;0<�<1时,�越大,图象越低,简称“底大图低”. 新知探索活动6:下面请同学们观察Geogebra作图的动画展示,来观察对于任意底数�(�>0,且�≠1),我们刚刚的发现是否成立. 新知探索一般地,对数函数的图象和性质如下表所示: 例析例3.比较下列各题中两个值的大小:(1)????�23.4,????�28.5;(2)????�0.31.8,????�0.32.7;(3)????��5.1,????��5.9.解:(1)∵�=????�2�在定义域上单调递增而3.4<8.5,∴????�23.4????�0.32.7.(3)∵�=????���∴当�>1时,�=????���在定义域上单调递增而5.1>5.9,∴????��5.1????��5.9. 例析例4.溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过????计算的.????的计算公式为????=−��[�+],其中[�+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述????的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;解(1):根据对数的运算性质,有1????=−��[�+]=��[�+]−1=��.[�+]+11在(0,+∞)上,随着[�]的增大,减小,相应地,��也减小,即????减小.[�+][�+]所以,随着[�+]的增大,????减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸性就越强. 例析例4.溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过????计算的.????的计算公式为????=−��[�+],其中[�+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[�+]=10−7摩尔/升,计算纯净水的????.解(2):当[�+]=10−7时,????=−��10−7=7.所以纯净水的????是7. 新知探索�1前面根据指数与对数的关系,由�=()5730(�≥0)得到�=????��(�<�≤2????????���).由函数定义知�=????��,�∈(0,1].573012�1这样,由指数函数�=()5730,�∈(0,+∞)可得到对数函数�=????��,�∈2573012(0,1].�1这个对数函数的定义域(0,1]、值域[0,+∞)分别是指数函数�=()5730,�∈(0,+2�1∞)的值域和定义域.这时就说函数�=????��,�∈(0,1]是函数�=()5730(�≥57301220)的反函数. 新知探索通常,我们用�表示自变量,�表示函数.为此,把�=????��写成�=????��,573015730122�1这样,对数函数�=????��,�∈(0,1]是指数函数�=()5730,�∈(0,+∞)的反5730122�1函数.同时,指数函数�=()5730,�∈[0,+∞)也是对数函数�=????��,�∈2573012(0,1]的反函数.�1因此,指数函数�=()5730,�∈[0,+∞)与对数函数�=????��,�∈(0,1]互为2573012反函数,它们的定义域与值域正好互换. 新知探索一般地,指数函数�=��(�>0,且�≠1)与对数函数�=????��(�>0,且�≠1)互�为反函数,它们的定义域与值域正好互换. 新知探索由指数函数和对数函数的图象,我们可以大胆猜想互为反函数的两个函数图象关于直线�=�对称.活动7:下面请同学们观察Geogebra作图的动画展示,来观察对于任意底数�(�>0,且�≠1),我们刚刚的发现是否成立. 练习题型一:对数函数的图象问题例1.(1)函数�(�)=��(|�|−1)的大致图象是().解:由�(−�)=��(|−�|−1)=��(|�|−1)=�(�),得�(�)为偶函数,由此排除C,D两个选项.又因为当�>1时,�(�)单调递增,故选B. 练习例1.(2)如图,若�1,�2分别为函数�=????���和�=????���的图象,则().A.0<�<�<1B.0<�<�<1C.�>�>1D.�>�>1解:由图知,对数函数在定义域内单调递减,所以0<�<1,0<�<1.再根据“底大图低”,可知�>�.故选B. 练习变1.画出函数�=|????�2(�+1)|的图象,并写出函数的值域和单调区间.解:由图可知,其值域为[0,+∞),单调递增区间为[0,+∞),单调递减区间为(−1,0). 练习题型二:比较对数值的大小例2.比较下列各组数的大小.34(1)????�5,????�5;(2)????�12,????�12;4335解:(1)对数函数�=????�5�在(0,+∞)上单调递增,3434而<,∴????�5????�22=1,????�54????�54. 练习变2.(2019年全国卷1)已知�=????�0.2,�=20.2,�=0.20.3则().2A.�<�<�B.�<�<�C.c<�<�D.�<�<�解:∵�=????�0.220=1,22�=0.20.3<0.20=1且�>0,即0<�<1.∴�<�<�.故选B. 练习比较对数值大小的策略:1.同底时,根据单调性比较两真数的大小;2.同底但底数是字母时,需对字母进行分类讨论,再根据单调性比较两真数的大小;3.同真数但不同底时,可利用“底大图低”的口诀来直接判断大小;4.不同底且不同真时,常借助中间值,如-1,0,1等进行比较. 练习题型三:解对数不等式例3.解下列不等式:(1)????�1�>????�1(4−�);77解:(1)据题意得:�>04−�>0�<4−�解得0<�<2.即不等式的解集为{�|0<�<2}.1(2)????��>1;211解:(2)当�>1时,????��>1=????���,解得�<.此时,�无解.22111当0<�<1时,????��>1=????���,解得�>.此时,<�<1.2221即不等式的解集为{�|<�<1}.2 练习例3.解下列不等式:(3)????��(2�−5)>????��(�−1).解:(3)当�>1时,2�−5>0�−1>02�−5>�−1解得�>4.即不等式的解集为{�|�>4}.当0<�<1时,2�−5>0�−1>02�−5<�−1��解得<�<4.即不等式的解集为{�|<�<4}.���综上,当�>1时,解集为{�|�>4};当0<�<1时,解集为{�|<�<4}.� 练习变3.(1)若????�1(5+�)01−�>05+�>1−�解得−2<�<1.即不等式的解集为{�|−2<�<1}. 练习变3.(2)若????�(�2+1)0,且�≠1,所以有�2+1>2�.又????�(�2+1)1,即�>.21综上,�∈(,1).2 练习对数不等式的三种考查类型:1.形如????���>????���的不等式,借助对数函数�=????���的单调性求解.2.形如????��>�的不等式,应将�化为以�为底的对数式的形式(�=????���),��再借助�=????���的单调性求解.3.形如????���>????���的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.注:底数中若含有参数,一定要注意底数的范围,并进行分类讨论. 课堂小结&作业课堂小结:(1)对数函数的图象性质;(2)比较对数式大小的类型及处理方法.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P135的1--3题,P160的2题&P161的11题. 4.4.3不同函数增长的差异 复习导入在前面的学习中我们看到,一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上,这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此,如果把握了不同函数增长方式的差异,那么就可以根据现实问题的增长情况,选择合适的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异. 新知探索活动1:请同学们选取适当的指数函数与一次函数,探索它们在区间[0,+∞)上的增长差异,你能描述一下指数函数的特点吗?不妨以函数�=2�和�=2�为例.(学生做草图)为了更好地研究它们的增长差异,我们利用信息技术,列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表,并在同一个直角坐标系中画出它们的图象. 新知探索可以看到,函数�=2�和�=2�的图象有两个交点(1,2),(2,4).��=2��=2�0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386……… 新知探索在区间[0,1)上,函数�=2�的图象位于�=2�的图象之上,2�>2�;在区间(1,2)上,函数�=2�的图象位于�=2�的图象之下,2�<2�;在区间(2,3)上,函数�=2�的图象位于�=2�的图象之上,2�>2�.这表明,虽然这两个函数在[0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同,函数�=2�的增长速度保持不变,而函数�=2�的增长速度在变化. 新知探索下面在更大的范围内,观察�=2�和�=2�的增长情况.从表中可以看到,当自变量�越来越大时,�=2�的图象就像与�轴垂直一样,2�的值快速增长;而函数�=2�的增长速度依然保持不变,与函数�=2�的增长速度相比几乎微不足道.��=2��=2�0102444168664128256161010242012409624……… 新知探索综上所述,虽然函数�=2�和�=2�在区间[0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着�的增大,�=2�的增长速度越来越快,会超过并远远大于�=2�的增长速度.尽管在�的一定变化范围内,2�会小于2�,但由于�=2�的增长最终会快于�=2�的增长,因此,总会存在一个�,当�>�时,00恒有2�>2�.一般地,指数函数�=��(�>1)与一次函数�=��(�>0)的增长差异都与上述情况类似.即使�的值远远大于�的值,�=��(�>1)的增长速度最终都会大大超过�=��(�>0)的增长速度.注:指数函数不像一次函数那样按同一速度增长,而是越来越快,呈爆炸性增长. 新知探索活动2:请同学们选取适当的对数函数与一次函数,探索它们在区间(0,+∞)上的增长差异,你能描述一下对数函数的特点吗?不妨以函数�=????�和�=1�为例.(学生做草图)10为了更好地研究它们的增长差异,我们利用信息技术,列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表,并在同一个直角坐标系中画出它们的图象. 新知探索可以看到,虽然它们在(0,+∞)上都单调递增,但增长速度存在明显的差异.��=????�1�=�100不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786……… 新知探索1函数�=�的增长速度保持不变,而函数�=????�的增长速度在变化.随着�的最大,101函数�=�的图象离�轴越来越远,而函数�=????�的图象越来越平缓,就像与�10轴平行一样. 新知探索11例如????10=1,????100=2,????1000=3,????10000=4;而×10=1,×100=10101110,×1000=100,×10000=1000.这说明,当�>10,即�=????�>1时,10101�=????�与�=�相比增长就很慢了.10 新知探索1活动3:如果将????�放大1000倍,再对函数�=1000????�和�=�的增长情况10进行比较,那么仍有上述规律吗?因为函数值较大不便于手动画图,我们利用信息技术在同一个直角坐标系中画出它们的图象并研究其增长情况. 新知探索一般地,虽然对数函数�=????���(�>1)与一次函数�=��(�>0)在区间(0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同.随着�的增大,一次函数�=��(�>0)保持固定的增长速度,而对数函数�=????���(�>1)的增长速度越来越慢.不论�的值比�的值大多少,在一定范围内,????���可能会大于��,但由于????���的增长最终会慢于��的增长,因此总会存在一个�0,当�>�0时,恒有????���<��. 新知探索活动4:类比上述过程,(1)画出一次函数�=2�,对数函数�=????�和指数函数�=2�的图象,并比较它们的增长差异;(2)试着概况一次函数,对数函数和指数函数的增长差异;(3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义. 新知探索 练习题型一:三类函数模型增长差异的比较例1.下列函数中,增长速度最快的是().�.�=2021��.�=�2021�.�=????�2021��.�=2021�答案:A.一次函数、指数函数和对数函数三类函数模型中,指数增长最快. 新知探索变1.“红豆生南国,春来发几枝”给出了红豆生长时间�(月)与枝数�的关系图,那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是().�.指数函数�=2��.对数函数�=????��2�.幂函数�=�3�.二次函数�=2�2答案:A.由图中数据可知,A选项的指数函数模型的拟合效果最好. 新知探索题型二:函数模型的选择例2.学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金�(单位:万元)随生源利润�(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:�=0.2�,�=????��,�=1.02�,其中哪个模型符合该校的要5求? 新知探索例2.学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金�(单位:万元)随生源利润�(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:�=0.2�,�=????��,�=1.02�,其中哪个模型符合该校的要求?5解:作出函数�=0.2�,�=????��,�=1.02�的图象,观察图象可知,在区间[5,60]5上,�=0.2�,�=1.02�的图象都有一部分在直线�=3的上方,只有�=????��的图5象始终在�=3和�=0.2�的下方,这说明只有按模型�=????�5�进行奖励才符合学校的要求. 练习变2.某人对东北一种松树的生长进行了研究,搜集了其高度ℎ(米)与生长时间�(年)的相关数据,选择ℎ=��+�与ℎ=????��(�+1)来拟合ℎ与�的关系,你认为哪个符合?并预测第8年的松树高度.�(年)123456ℎ(米)0.611.31.51.61.7解:由图表可画出图象,因此用ℎ=????��(�+1)来拟合更符合.不妨将点(2,1)代入ℎ=????��(�+1)中,得:1=????��3,解得�=3.∴ℎ=????�3(�+1),当�=8时,求得ℎ=????�3(8+1)=2.即第8年的松树高度为2米. 课堂小结&作业课堂小结:三种函数模型的增长情况.作业:(1)温故本节课的三种函数模型的增长情况;(2)课本P139的练习1--4题. 4.5.1函数的零点与方程的解 问题导入在“函数的应用(一)”中,通过一些实例,我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程,学习了用函数描述客观事物变化规律的方法.本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法),再结合实例,更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程,学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法. 问题导入活动1:观察下表,求出一元二次方程的实数根,画出相应二次函数的简图,并写出函数图象与�轴交点的坐标.�2−2�−3=0�2−2�+1=0�2−2�+3=0方程�=�2−2�−3�=�2−2�+1�=�2−2�+3函数函数图象(简图)方程的实数根�1=−1,�1=3.�1=�2=1.无实数根图象与�轴的(−1,0),(3,0)(1,0)无交点交点 问题导入Q1:方程的根与函数图象与��轴交点的横坐标之间有什么关系?Q2:若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应二次函数的图象与交点的关系,上述结论是否仍然成立?活动2:我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程,知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.像????�+2�−6=0这样不能用公式求解的方程,是否也能采用类似的方法,用相应的函数研究它的解的情况呢? 新知探索对于一般函数�=�(�),我们把使�(�)=0的实数�叫做函数�=�(�)的零点.注:零点不是点,是一个实数.这样,函数�=�(�)的零点就是方程�(�)=0的实数解,也就是函数�=�(�)的图象与�轴的公共点的横坐标.所以方程�(�)=0有实数解⇔函数�=�(�)有零点⇔函数�=�(�)的图象与�轴有公共点 新知探索辨析1:判断正误.(1)函数的零点是一个点.()(2)任何函数都有零点.()(3)函数�=�的零点是�(0,0).()(4)若函数�(�)满足�(�)�(�)<0,则函数在区间[�,�]上至少有一个零点.()(5)函数的零点不是点,它是函数�=�(�)的图象与�轴交点的横坐标,是方程�(�)=0的根.()答案:×,×,×,×,√. 新知探索由此可知,求方程�(�)=0的实数解,就是确定函数�=�(�)的零点.一般地,对于不能用公式求解的方程�(�)=0,我们可以把它与相应的函数�=�(�)联系起来,利用函数的图象和性质找出零点,从而得到方程的解.下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征,以及零点附近函数值的变化规律入手. 新知探索活动3:对于二次函数�(�)=�2−2�−3,观察它的图象,发现它在区间[2,4]上有零点.这时,函数图象与�轴有什么关系?在区间[−2,0]上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数�(�)的取值来刻画这种关系? 新知探索活动4:再任意画几个函数的图象,观察函数零点所在区间,以及这一区间内函数图象与�轴的关系,并探究用�(�)的取值来刻画这种关系的方法. 新知探索可以发现,在零点附近,函数图象是连续不断的,并且“穿过”�轴.函数在端点�=2和�=4的取值异号,即�(2)�(4)<0,函数�(�)=�2−2�−3在区间(2,4)内有零点�=3,它是方程�2−2�−3=0的一个根.同样地,�(−2)�(0)<0,函数�(�)=�2−2�−3在(−2,0)内有零点�=−1,它是方程�2−2�−3=0的一个根. 新知探索一般地,我们有:函数零点存在定理如果函数�=�(�)在区间[�,�]上的图象是一条连续不断的曲线,且有�(�)�(�)<0,那么,函数�=�(�)在区间(�,�)内至少有一个零点,即存在�∈(�,�),使得�(�)=0,这个�就是方程�(�)=0的解. 例析例1.求方程????�+2�−6=0的实数解的个数.(法一)解:设函数�(�)=????�+2�−6,利用计算工具,列出函数�=�(�)的对应值表,并画出图象.��……1-42-1.306931.098643.386355.609467.791879.9459812.0794914.1972 例析由表和图可知,�(2)<0,�(3)>0,则�(2)�(3)<0.由函数的零点存在定理可知,函数�(�)=????�+2�−6在区间(2,3)内至少有一个零点.容易证明,函数�(�)=????�+2�−6,�∈(0,+∞)是增函数,所以它只有一个零点,即相应方程????�+2�−6=0只有一个实数解.��……1-42-1.306931.098643.386355.609467.791879.9459812.0794914.1972 例析例1.求方程????�+2�−6=0的实数解的个数.(法二)解:∵????�+2�−6=0,∴????�=−2�+6.即当????�=−2�+6的解就是方程????�+2�−6=0的解.令�(�1)=????�,�(�2)=−2�+6.而要求????�=−2�+6的解就是要看�(�1)=????�,�(�2)=−2�+6的图象有几个交点.由图知,两函数图象有一个交点,即原方程有一个解. 练习题型一:求函数的零点例1.函数�(�)=????�2�的零点是().�.1�.2�.3�.4答案:因为????�2�=0时,�=1.所以函数�(�)=????�2�的零点是1.故选A.变1.函数�(�)=(�−1)(�2+3�−10)的零点有______个.答案:因为�(�)=0时,(�−1)=0或(�2+3�−10)=0.所以�=1或�=−5或�=2.即函数�(�)=(�−1)(�2+3�−10)的零点有3个. 练习题型二:判断零点所在的区间�1例2.函数�(�)=2−的零点所在的区间是().�11111�.(1,+∞)�.(,1)�.(,)�.(,)232431111答案:∵�()=22−1=23−2<0,2211�(1)=2−=2−1=1>0,11∴�(�)在(,1)内有零点.2故选B. 练习变2.二次函数�(�)=��2+��+�的部分对应值如下表:�-3-2-101234�6�-4-6-6-4�6不求�,�,�的值,判断方程��2+��+�=0的两根所在区间是().A.(−3,−1)和(2,4)B.(−3,−1)和(−1,1)C.(−1,1)和(1,2)D.(−∞,−3)和(4,+∞)解:易知�(�)=��2+��+�的图象是一条连续不断的曲线,又�(−3)�(−1)=6×(−4)=−24<0,所以�(�)在(−3,−1)内有零点,即方程��2+��+�=0在(−3,−1)内有根,同理,方程��2+��+�=0在(2,4)内有根,故选A. 练习题型二:判断零点所在的区间�2+2�−3,�≤0,例3.�(�)=的零点个数为().−2�+????�,�>0.�.3�.2�.1�.0答案:当�≤0时,由�(�)=�2+2�−3得�=−3,�=1(舍去);12当�>0时,由�(�)=−2�+????�得�=�2.所以函数的零点个数为2.故选B. 练习变3.已知函数�(�)=|�2−4�|−�的零点个数为3,则�=_______.解:令函数�(�)=|�2−4�|−�=0,可得|�2−4�|=�,由于函数�(�)=|�2−4�|−�的零点个数为3,故函数�=|�2−4�|的图象和直线�=�有三个交点,如图所示.由图可知�=4. 课堂小结&作业课堂小结:(1)函数零点的概念;(2)函数零点存在定理.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P144的1--2题. 4.5.2用二分法求方程的近似解 复习导入我们已经知道,函数�(�)=????�+2�−6在区间(2,3)内存在一个零点.进一步的问题是,如何求出这个零点呢?一个直观的想法是:如果能将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定的精确度的要求下,就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便,可以通过取区间中点的方法,逐步缩小零点所在的范围. 新知探索取(2,3)的中点2.5,用计算工具算得�(2.5)≈−0.084.因为�(2.5)�(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算工具算得�(2.75)≈0.512.因为�(2.5)�(2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内.由于(2,3)⊋(2.5,3)⊋(2.5,2.75),所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤,那么零点所在的范围会越来越小.这样,我们就可以通过有限次重复相同的步骤,将零点所在的范围缩小到满足一定精确度的区间,区间内任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便,我们把区间的一个端点作为零点的近似值. 新知探索零点所在区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.5−0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125-0.009(2.53125,2.5625)2.5468750.029(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.001 新知探索零点所在区间中点的值中点函数近似例如,当精确度为0.01时,因为值(2,3)2.5−0.084|2.5390625−2.53125|0.0078125<0.01,(2.5,3)2.750.512所以区间(2.53125,2.5390625)内任意一点(2.5,2.75)2.6250.215都可以作为零点的近似值,也可以将�=(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125-0.0092.53125作为函数�(�)=????�+2�−6零点(2.53125,2.5625)2.5468750.029的近似值,也即方程????�+2�−6=0的(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.001近似值. 新知探索对于区间[�,�]上图象连续不断且�(�)�(�)<0的函数�=�(�),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.注:判断一个函数能否用二分法的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用. 新知探索给定精确度�,用二分法求函数�=�(�)零点�0的近似值的一般步骤如下:1.确定零点�0初始区间[�,�],验证�(�)�(�)<0.2.求区间(�,�)的中点�.3.计算�(�),并进一步确定零点所在的区间:(1)若�(�)=0(此时�0=�),则�就是函数的零点;(2)若�(�)�(�)<0(此时�0∈(�,�)),则令�=�;(3)若�(�)�(�)<0(此时�0∈(�,�)),则令�=�.4.判断是否达到精确度�:若|�−�|<�,则得到零点近似值�(或�);否则重复步骤2~4.由函数零点与相应方程解的关系,我们可用二分法来求方程的近似解. 新知探索辨析1:判断正误.(1)所有函数的零点都可以用二分法来求.()(2)函数�(�)=|�|可以用二分法求其零点.()(3)精确度�就是近似值.()答案:×,×,×.辨析2:用二分法研究函数�(�)=�3+3�−1的零点时,第一次经计算�(0)<0,�(0.5)>0,可得其中一个零点�0∈________,第二次计算________,以上横线上应填的内容为().A.(0,0.5),�(0.25)B.(0,1),�(0.25)C.(0.5,1),�(0.75)D.(0,0.5),�(0.125)答案:A. 例析例2.借助信息技术,用二分法求方程2�+3�=7的近似解(精确度为0.1).解:原方程即2�+3�−7=0,令�(�)=2�+3�−7,用信息技术画出函数�=�(�)的图象,并列出它的对应值表.�012345678�-6-2310214075142273观察图或表,可知�(1)�(2)<0,说明该函数在区间(1,2)内存在零点�0. 例析例2.借助信息技术,用二分法求方程2�+3�=7的近似解(精确度为0.1).�012345678�-6-2310214075142273取区间(1,2)的中点�1=1.5,用信息技术算得�(1.5)≈0.33.因为�(1)�(1.5)<0,所以�0∈(1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点�2=1.25,用信息技术算得�(1.25)≈−0.87.因为�(1.25)�(1.5)<0,所以�0∈(1.25,1.5).同理可得,�0∈(1.375,1.5),�0∈(1.375,1.4375).由于|1.375−1.4375|=0.0625<0.1,所以,原方程的近似解可取为1.375. 例析由例2可见,用二分法求方程的近似解,计算量较大,而且是重复相同的步骤.因此,可以通过设计一定的计算程序,借助信息技术完成计算.下图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图.有兴趣的同学,可以在此基础上用有关算法语言编写程序,利用信息技术求方程的近似解. 练习题型一:二分法的概念例1.下列函数中不能用二分法求零点的是().�.�.�.�.答案:用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.故选B. 练习变1.关于“二分法”求方程的近似解,下列说法正确的是().�.“二分法”求方程的近似解一定可将�=�(�)在区间[�,�]内的所有零点得到�.“二分法”求方程的近似解有可能得不到�=�(�)在[�,�]内的零点�.应用“二分法”求方程的近似解,�=�(�)在区间[�,�]内有可能无零点D.“二分法”求方程的近似解也可能得到�(�)=0在[�,�]内的精确解答案:如果函数在某区间满足二分法,且在区间内存在两个及以上的实根,二分法只可能求出其中的一个,∴A错误.二分法的实施满足零点存在定理,在区间一定存在零点,∴B错误.只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解,∴C错误.“二分法”求方程的近似解,甚至有可能得到函数的精确零点,∴D正确.故选D. 练习题型二:用二分法求方程的近似解例2.用二分法求方程2�2+3�−3=0的一个正实数近似解(精确度0.1).解:令�(�)=2�2+3�−3,经计算,�(0)=−3<0,�(1)=2>0,�(0)�(1)<0.∴函数�(�)在(0,1)内有零点,即方程2�2+3�=3在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5,经计算�(0.5)<0,又�(1)>0,∴方程2�2+3�−3=0在(0.5,1)内有解.如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表. 练习例2.用二分法求方程2�2+3�−3=0的一个正实数近似解(精确度0.1).(�,�)中点��(�)�(�)�+��()2(0,1)0.5�(0)<0�(1)>0�(0.5)<0(0.5,1)0.75�(0.5)<0�(1)>0�(0.75)>0(0.5,0.75)0.625�(0.5)<0�(0.75)>0�(0.625)<0(0.625,0.75)0.6875�(0.625)<0�(0.75)>0�(0.6875)<0(0.6875,0.75)|0.6875−0.75|=00625<0.1由于|0.6875−0.75|=00625<0.1,∴0.75可作为方程的一个正实数近似解. 课堂小结&作业课堂小结:(1)二分法的概念;(2)用二分法求函数零点近似值的步骤.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P146的1--2题. 5.1.1任意角 情境导入圆周运动是一种常见的周期性变化现象.如图,⊙�上的点�以�为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点�的位置变化呢?我们知道,角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.在图中,射线的端点是圆心�,它从起始位置��按逆时针方向旋转到终止位置��,形成一个角�,射线��,��分别就是角�的始边和终边.当角�确定时,终边��的位置就确定了.这时,射线��与⊙�的交点�也就确定了.由此想到,可以借助角�的大小变化刻画点�的位置变化.���� 新知探索由初中知识可知,射线��绕端点�按逆时针方向旋转一周回到起始位置,在这个过程中可以得到0°~360°范围内的角.如果继续旋转,那么所得到的角就超出这个范围了.所以,为了借助角的大小变化刻画圆周运动,需要先扩大角的范围.现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角.例如,体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称,这里不仅有超出0°~360°范围的角,而且旋转的方向也不相同;又如,下图是两个齿轮旋转的示意图,被动轮随着主动轮的旋转而旋转,而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向. 新知探索这样,��绕点�旋转所成的角与�’�绕点�’旋转所成的角就会有不同的方向.因此,要准确地描述这些现象,不仅要知道旋转的度数,还要知道旋转的方向,这就需要对角的概念进行推广. 概念生成我们规定,一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角.这样,零角的始边与终边重合.如果�是零角,那么�=0°.该图中,正角�=210°,负角�=−150°,�=−660°.正常情况下,如果以零时为起始位置,那么钟表该图中的角是一个正角,的时针或分针在旋转时所形成的的它等于750°.角总是负角. 概念生成这样,我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.设角�由射线��绕端点�旋转而成,角�由射线�’�’绕端点�’旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=�.正角(逆时针)负角(顺时针)零角(没有做任何旋转) 概念生成设α、�是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角�,这时终边所对应的角是α+�.类似于实数�的相反数是−�,我们引入任意角α的相反角的概念.如图,我们把射线��绕端点�按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为−α.于是,像实数减法的“减去一个数对于加上这个数的相反数”一样,我们有�−�=�+(−�).这样,角的减法可以转化为角的加法. 概念生成辨析1:判断正误.(1)大于90°的角都是钝角.()(2)零角的终边与始边重合.()(3)从13:00到13:10,分针转过的角度为60°.()(4)一条射线绕端点旋转,旋转的圈数越多,则这个角越大.()答案:×,√,×,×.辨析2:将射线????绕端点�按逆时针方向旋转120°所得的角为().A.120°B.-120°C.240°D.-240°答案:A. 概念生成我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便,使角的顶点与原点重合,角的始边与�轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.例如,下图中的30°角、-120°角分别是第一象限角和第三象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. 概念生成象限角的集合表示:象限角角的集合表示第一象限角{�|�∙????�°<�<��°+�∙????�°,�∈�}第二象限角{�|��°+�∙????�°<�0.()(2)若????��>0,则�是第一或第二象限角.()(3)对于任意角�,????��,????��,????��都有意义.()答案:√,×,×.辨析2:若????��<0,????��>0,则�在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:C. 例析????��<0,①例3.求证:角�为第三象限角的充要条件是????��>0.②证明:先证充分性,即如果①②式都成立,那么�为第三象限角.因为①式????��<0成立,所以�角的终边可能位于第三或第四象限,也可能与�轴的负半轴重合;又因为②式????��>0成立,所以�角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立,所以�角的终边只能位于第三象限.于是�角为第三象限角.必要性,即若�为第三象限角,则有????��<0且????��>0成立. 新知探索活动3:现在我们尝试从三角函数的定义出发,讨论一下什么时候三角函数取值相等?由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此,我们可以得到一组公式:公式一????�(�+�∙��)=????��,????�(�+�∙��)=????��,????�(�+�∙��)=????��,其中�∈�. 新知探索公式一????�(�+�∙��)=????��,由公式一可知,三角函数值拥????�(�+�∙��)=????��,有“周而复始”的变化规律,????�(�+�∙��)=????��,即角�的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现.其中�∈�.利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0~2�(或0°~360°)角的三角函数值. 新知探索辨析3:判断正误.(1)若�=�+720°,则????��=????��.()(2)若????��=????��,则�=�.()答案:√,×.辨析4:(1)????�(−315°)的值是________.25�(2)????�=________.32答案:(1);(2)3.2 例析例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算工具验证:�(1)????�250°;(2)????�(−);(3)????�(−672°);(4)????�3�.4解:(1)因为250°是第三象限角,所以????�250°<0;��(2)因为−是第四象限角,所以????�(−)<0;�4(3)因为????�(−672°)=????�(48°−2×360°)=????�48°,而48°是第一象限角,所以????�(−672°)>0.(4)因为????�3�=????�(�+2�)=????��,而�的终边在�轴上,所以????��=0. 例析例5.求下列三角函数值:9�11�(1)????�1480°10’(精确到0.001);(2)????�;(3)????�(−).46解:(1)????�1480°10’=????�(40°10’+4×360°)=????�40°10’≈0.645;9����(2)????�=????�(+2�)=????�=;444�11���3(3)????�(−)=????�(−2�)=????�=.6663 练习题型一:三角函数的定义与应用10例1.已知角�的终边上有一点�(�,3)(�≠0),且????��=�,求????��+????��的值.10�10�解:∵�=�2+9,????��=,∴�=.�10�2+9又�≠0,∴�=±1,∴�=10.又�=3>0,∴�是第一或第二象限角.310310+30当�是第一象限角时,????��=,????�=3,则????��+????��=.1010310310−30当�是第二象限角时,????��=,????�=−3,则????��+????��=.1010 练习变1.已知角�的终边落在直线3�+�=0上,求????��、????��,????��的值.解:直线3�+�=0,即y=−3�经过第二、四象限.在第二象限取直线上的点(−1,3),则�=12+(3)2=2,31∴????��=,�����=−,????��=−3;22在第四象限取直线上的点(1,−3),则�=12+(3)2=2,31∴????��=−,????��=,????��=−3.22 练习利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型:(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值;(2)若已知角�终边上一点�(�,�)(�≠0)为单位圆上的点,则????��=�,????��=��,????��=.���(3)若已知角�终边上一点�(�,�)(�≠0)不是单位圆上一点,则????��=,????��=���,????��=(�=�2+�2).�(4)若已知角�终边上点的坐标含参数,则需对其所在象限进行分类讨论. 练习题型二:三角函数值符号的运用例2.已知点�(????��,????��????��)位于第二象限,那么角�所在的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:C.由点�(????��,????��????��)位于第二象限,可得????��<0,????��????��>0,可得????��<0,????��<0.所以角�所在的象限是第三象限. 练习变2.(1)若三角形的两内角�,�满足????��∙????��<0,则此三角形必为().A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都有可能答案:B.三角形的两内角�,�的终边一定落在第一、第二象限或�轴正半轴上,????��∙????��<0,所以????��>0,????��<0,所以角�为钝角,此三角形为钝角三角形.23�变2.(2)????�4∙????�2∙????�(−)的符号为_______(填“正”或“负”).4�3�23��23�答案:负.∵<2<�<4<,−=−6�+,∴4,2,,−分别为第三、第二、2244423�23�第一象限角,∴????�4>0,????�2<0,????�(−)>0,∴????�4∙????�2∙????�(−)的44符号为负. 练习有关三角函数值符号问题的解题策略:(1)若已知角�的三角函数值(????��,????��,????��)中任意两个的符号,可分别确定出角�终边所在的可能位置,二者的公共部分即角�的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.(2)对于多个三角函数值符号的判断问题,需进行分类讨论.(3)对于确定角�是第几象限角的问题,应先确定题目中所有三角函数值的符号,然后依据上述三角函数值的符号来确定角�是第几象限角,它们的公共部分即为所求;对于已知角�的终边所在的象限来判断角�的三角函数值的符号问题,则常依据三角函数的定义,或利用口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来解决. 练习题型三:诱导公式一的应用例3.求值:7�23�15�13�(1)????�405°−????�450°+????�750°;(2)????�????�(−)+????�(−)????�.3643解:(1)原式=????�(360°+45°)−????�(360°+90°)+????�(720°+30°)33=????�45°−????�90°+????�30°=1−1+=.22����(2)原式=????�(2�+)????�(−4�+)+????�(−4�+)????�(4�+)3643����3315=????�????�+????�????�=×+1×=.36432224 练习变3.求下列各式的值:25�15�(1)????�810°+????�1125°+????�420°;(2)????�+????�(−).34解:(1)原式=????�(2×360°+90°)+????�(3×360°+45°)+15????�(360°+60°)=????�90°+????�45°+????�60°=1+1+=.22����13(2)原式=????�(8�+)+????�(−4�+)=????�+????�=+1=.343422 练习利用诱导公式一进行求值化简的步骤:定形将已知的任意角写成2��+�的形式,其中�∈[0,2�],�∈�转化根据诱导公式,转化为角�的某个三角函数值求值若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值 课堂小结&作业课堂小结:(1)任意角的三角函数的定义;(2)三角函数值的符号;(3)诱导公式一.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P182的练习1~5题. 5.2.2同角三角函数的基本关系 复习导入上节课的学习中,我们得到了公式一,即终边相同的角的同一三角函数值相等.公式一????�(�+�∙��)=????��,????�(�+�∙��)=????��,????�(�+�∙��)=????��,其中�∈�.思考1:那么,终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢?因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的,所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.由公式一可知,我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系. 新知探索如图,设点�(�,�)是角�的终边与单位圆的交点.过�作�轴的垂线,交�轴于�,则∆���是直角三角形,而且��=1.由勾股定理有:��2+��2=1.因此,�2+�2=1,即????���+????���=�.显然,当�的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.�根据三角函数的定义,当�≠��+(�∈�)时,有:2????��=????��.????��这就是说,同一个角�的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角�的正切. 新知探索辨析1:判断正误.(1)对任意角�,????�23�+????�23�=1都成立.()�????��2(2)对任意角�,�=????�都成立.()????�22(3)因为????�29�+????�29�=1,所以????�2�+????�2�=1成立,其中�、�为任意角.()44(4)对任意角�,????��=????��∙????��都成立.()答案:√,×,×,×. 新知探索�3辨析2:(1)已知�∈(0,),????��=,则????��等于().25����A.B.−C.−D.����(2)已知3????��+????��=0,则????��=_________.�答案:(1)A;(2)−.� 例析3例6.已知????��=−,求????��,????��的值.5解:因为????��<0,????��≠−1,所以�是第三象限角或第四象限角.22223216由????��+????��=1得:????��=1−????��=1−(−)=.525164如果�是第三象限角,那么????��<0.于是????��=−=−,255????��35�从而????��==(−)×(−)=.????��54�164如果�是第四象限角,那么????��>0.于是????��==,255????��35�从而????��==(−)×=−.????��54� 例析????���+????��例7.求证:=.�−????��????��证法1:由????��≠0,知????��≠−1,所以1+????��≠0,今后,除特殊注明外,于是左边=????��(1+????��)=????��(1+????��)我们假定三角恒等式是(1−????��)(1+????��)1−���2�在使两边都有意义的情=????��(1+????��)=1+????��=右边.况下的恒等式.���2�????��所以,原式成立. 例析????���+????��例7.求证:=.�−????��????��证法2:因为(1+????��)(1−????��)=1−????�2�=????�2�=????��????��,且1−????��≠0,????��≠0,????���+????��所以=.�−????��????�� 练习题型一:利用同角三角函数的基本关系求值4例1.若????��=−,且�是第三象限角,求????��,????��的值.54解:∵????��=−,�是第三象限角,53∴????��=−1−????��2=−.5????��454????��==−×−=.????��533 练习15变1.若????��=−,求????��的值.815解:∵????��=−<0,∴�是第二、四象限角.8????��15????��==−2152由????��8可得????��=().2217????��+????��=1.15当�是第二象限角时,????��=;1715当�是第四象限角时,????��=−.17 练习求同角三角函数值的一般步骤:1.根据已知三角函数值的符号,确定角所在象限;2.对角所在象限进行分类讨论;3.利用两个基本关系式求出其他三角函数值;4.根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号,进而求出其三角函数值. 练习题型二:应用同角三角函数关系式化简与证明�−�????����°∙????����°例2.(1)化简:.????����°+�−????�����°解:(1)∵????�130°>0,????�130°<0,????�����°−�????����°∙????����°+????�����°∴原式=????����°+�−????�����°|????����°−????����°|????����°−????����°===1.????����°+|????����°|????����°−????����° 练习�−�????���????����−�????���例2.(2)求证:=.????����−????�����+????���????����+????����−�????���????���(????���−????���)�证明:(2)∵左边==????����−????����????����−????����????���−????����−�????���===右边.????���+????����+????���∴原等式成立. 练习????��????��−????��变2.(1)化简:∙.�−????��????��+????��????��????��????��−????��????���−????��解:(1)原式=∙????��=∙�−????��+????���−????���+????��????��????��(�−????��)�????���−????��=∙=∙=±1.�−????���−????����−????��|????���| 练习�−????���+????���变2.(2)已知�是第一象限角,证明:−=−.�+????���−????��????��证明:(2)∵�是第一象限角∴00,????��<0.17∴????��−????��=(????��−????��)2=1−2????��????��=.②13125????��12由①②解得????��=,????��=−,∴????��==−.1313????��5 练习12变3.已知0<�<�,????��∙????��=−,求????��的值.25解:由0<�<�,????��∙????��<0知,????��>0,????��<0.247∴????��−????��=(????��−????��)2=1−2????��????��=1+=.25524????��+????��=±(????��+????���)2=±1+2????��????��=±1−=±251.577????��−????��=????��−????��=55∴或,11????��+????��=????��+????��=−5543????��=????��=5543解得或.∴????��=−或????��=−.3434????��=−????��=−55 练习已知角�的正切求关于????��,????��的齐次式的方法:1.关于????��,????��的齐次式就是式子中的每一项都是关于????��,????��的式子且它们的次数之和相同,设为�次,将分子、分母同除以????��的�次幂,其式子可化为关于????��的式子,再带入求值.2.若无分母时,把分母看作1,并将1用????�2�+????�2�来代换,将分子、分母同除以????�2�,可化为关于????��式子,再代入求值. 课堂小结&作业课堂小结:(1)同角三角函数的基本关系式;(2)化简求值过程中常用的处理方法.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P184的练习1~5题. 第1课时诱导公式二、三、四 复习导入前面利用圆的几何性质,得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道,圆的最重要的性质是对称性,而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到,可以利用圆的对称性,研究三角函数的对称性.公式一��????�(�+�∙��)=????��,????��+????��=�.????�(�+�∙��)=????��,????�(�+�∙��)=????��,????��其中�∈�.=????��.????�� 新知探索如图,在直角坐标系内,设任意角�的终边与单位圆交于点�1.活动1:作�1关于原点的对称点�2,以��2为终边的角�与角�有什么关系?角�与角�的三角函数值之间有什么关系?�下面,借助单位圆的对称性进行探究.�=�+��如图,以��2为终边的角�都是与角�+�终边相同����的角,即�=2��+(�+�)(�∈�).因此,只要探��究角�+�与�的三角函数值之间的关系即可. 新知探索�设�1(�1,�1),�2(�2,�2).因为�2是点�1关于原点的对称点,所以�2=−�1,�2=−�1.根据三角函数的定义,得:�=�+���(��,��)��1��????��=�1,????��=�1,????��=;�1���(��,��)2????�(�+�)=�2,????�(�+�)=�2,????�(�+�)=.�2从而得:公式二????�(�+�)=−????��,????�(�+�)=−????��,????�(�+�)=????��. 新知探索活动2:作�1关于�轴的对称点�3,则以��3为终边的角为−�,此时角�与角−�的三角函数值之间有什么关系?�此时,我们易得:�1(�1,�1),�3(�3,�3)=(�1,−�1).根据三角函数的定义,得:�1????��=�1,????��=�1,????��=;��(��,��)�1��3�−��????�(−�)=�3,????�(−�)=�3,????�(−�)=.�3��(��,��)从而得:公式三????�(−�)=−????��,????�(−�)=????��,????�(−�)=−????��. 新知探索活动3:作�1关于�轴的对称点�4,则以��4为终边的角为π−�,此时角�与角π−�的三角函数值之间有什么关系?�此时,我们易得:�1(�1,�1),�4(�4,�4)=(−�1,�1).根据三角函数的定义,得:��−�1????��=�1,????��=�1,????��=;��(��,��)��(��,��)��1���3????�(�−�)=�4,????�(�−�)=�4,????�(�−�)=.�3从而得:公式四????�(�−�)=????��,????�(�−�)=−????��,????�(�−�)=−????��. 新知探索辨析1.判断正误:(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.()(2)对于诱导公式中的角�一定是锐角.()(3)由公式三知????�[−(�−�)]=−????�(�−�).()答案:√,×,×.1辨析2.若????�(�+�)=,则????��等于().311A.B.−C.3D.−333答案:B. 例析例1.利用公式求下列三角函数值:8�16�(1)????�225°;(2)????�;(3)????�(−);(4)????�(−2040°).332解:(1)????�225°=????�(180°+45°)=−????�45°=−;28�2�2���3(2)????�=????�(2�+)=????�=????�(�−)=????�=.33333216�16����3(3)????�(−)=−????�=−????�(5�+)=−????�(�+)=−(−????�)=.333332(4)????�(−2040°)=−????�2040°=−????�(6×360°−120°)=????�120°=????�(180°−60°)=−????�60°=−3. 例析8�16�例1.(1)????�225°;(2)????�;(3)????�(−);(4)????�(−2040°).33由例1,你对公式一~公式四的作用有什么进一步的认识?你能自己归纳一下任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗?利用公式一~公式四,可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般可按下面的步骤进行:任意负角的用公式任意正角的三角函数三或一三角函数用公式一锐角的三角用公式0~2�的角函数二或四的三角函数 例析数学史上,求三角函数值曾经是一个重要而公式一????�(�+�∙��)=????��,困难的问题.数学家制作了锐角三角函数表,????�(�+�∙��)=????��,并通过公式一~四,按上述步骤解决了问题。现在,我们可以利用计算工具求任意角的三????�(�+�∙��)=????��,角函数值,所以这些公式的“求值”作用已其中�∈�.经不重要了,但它们所体现的三角函数的对称性,在解决三角函数的各种问题中却依然有重要作用.????�(�+�)=−????��,????�(−�)=−????��,????�(�−�)=????��,????�(�+�)=−????��,????�(−�)=????��,????�(�−�)=−????��,????�(�+�)=????��.????�(−�)=−????��.????�(�−�)=−????��.公式二公式三公式四 例析????�(????�°+�)????�(�+????�°)例2.化简.????�(−�−????�°)????�(−????�°+�)解:????�(−�−????�°)=????�[−(????�°+�)]=−????�(????�°+�)=−????��,????�(−????�°+�)=????�[−(????�°−�)]=????�(????�°−�)=−????��,所以,−????��∙????��原式==−????��.−????��∙−????�� 练习题型一:直接应用公式求值例1.求下列三角函数值:����(1)????�(−����°);(2)????����°;(3)????�.�解:(1)????�(−����°)=−????�����°=−????�(�×????�°+���°)�=−????����°=−????�(????�°−��°)=−????????�°=−.�(2)????����°=????�(�×????�°+���°)=????�(????�°+��°)=????���°=�.��������(3)????�=????�(���−)=????�(−)=????�=.����� 练习变1.求下列各式的值:3�55�11�(1)????�+????�(−)+????�;(2)????�(−120°)????�(−150°)+????�855°;4664�19�21�(3)????�∙cos∙????�.364����答案:(1)−−;(2)−;(3).���� 练习利用诱导公式解决给角求值问题的步骤:负化正用公式一或三来转化大化小用公式一将角化为�°~????�°之间的角小化锐用公式二或四将大于90°的角化为锐角锐求值得到锐角的三角函数后求值 练习题型二:条件求值1例2.已知????�(�−75°)=−,且�为第四象限角,求????�(105°+�)的值.31解:∵????�(�−75°)=−<0,且�为第四象限角,3123∴????�(�−75°)=−1−????�(�−75°)2=−1−(−)2=−.3323∴????�(105°+�)=????�[180°+(�−75°)]=−????�(�−75°)=.3 练习变2.已知????�(�−75°)=−5,且�为第四象限角,求????�(105°+�)的值.解:∵????�(�−75°)=−5<0,且�为第四象限角,∴�−75°为第四象限角,????��(�−��°)+????��(�−��°)=�,由????�(�−��°)=−�,????�(�−��°)�????�????????�(�−��°)=−,????�(�−��°)=−,????????解得或(舍去).????????????�(�−��°)=,????�(�−��°)=−,????????�????所以????�(���°+�)=????�[????�°+(�−��°)]=−????�(�−��°)=.???? 练习解决条件求值问题的两技巧:解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所寻找求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异差异及联系可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所转化求式进行变形向已知式转化 练习题型三:化简求值问题例3.化简:????�(−�)????�(��+�)????�(����°+�)∙????�(�−�????�°)(1);(2).????�(�−�)????�(−????�°−�)∙????�(−�−????�°)????�(−�)????�(��+�)????��∙????�(�+�)????��∙????��????��解:(1)====1.????�(�−�)????��????��????��????�(����°+�)∙????�(�−�????�°)????�(�×????�°+�)∙????�(�×????�°−�)(2)=????�(−????�°−�)∙????�(−�−????�°)????�(????�°+�)∙[−????�(????�°+�)]????��∙????�(−�)????��===−1.(−????��)∙????��−????�� 练习变3.化简下列各式:????�(�+�)∙????�(��+�)????����°∙????�(−���°)(1);(2).????�(−�−�)∙????�(−�−�)????�(−���°)∙????�(−????�°)????�(�+�)∙????�(��+�)−????��∙????��????��∙????��解:(1)===1.????�(−�−�)∙????�(−�−�)−????�(�+�)∙????�(�+�)????��∙????��????����°∙????�(−���°)????�(????�°+��°)∙[−????�(????�°+��°)](2)==????�(−���°)∙????�(−????�°)????�(−????�°+��°)∙[−????�(????�°+���°)]�−????���°∙????���°−��==.????���°∙[−????�(????�°+��°)]−????���°� 练习三角函数式化简的常用方法:1.合理转化:(1)将角化成���±�,��±�,�∈�的形式;(2)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角�的三角函数.2.切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.���3.注意“1”的应用:�=????��+????��=????�.� 课堂小结&作业课堂小结:(1)回顾诱导公式一~四;(2)利用诱导公式求值化简的常见处理方法.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P191的练习1——4题 第2课时诱导公式五、六 复习导入圆具有很好的对称性,从圆出发很多三角函数中的问题得以解决.利用圆的对称性,上一节课我们通过在单位圆内取点,并作出它关于原点、关于�轴、�轴的对称点的方式,再根据三角函数的定义,得到了三组诱导公式.????�(�+�)=−�����,????�(−�)=−????��,????�(�−�)=????��,????�(�+�)=−????��,????�(−�)=????��,????�(�−�)=−????��,????�(�+�)=????��.????�(−�)=−????��.????�(�−�)=−????��.下面,我们在上节课的基础上,继续进行探究. 新知探索活动1:作�1关于直线�=�的对称点�5,以��5为终边的角�与角�有什么关系?角�与角�的三角函数值之间有什么关系?����如图,以��为终边的角�都是与角−�终边相同�52=���的角,即�=2��+(−�)(�∈�).因此,只要探−�2�����究角−�与�的三角函数值之间的关系即可.��2 新知探索设�5(�5,�5),�1(�1,�1).由于�5是点�1关于直线�=�的对称点,可以证明�5=�1,�5=�1.(证明过程)如图,过�1、�5分别作垂线�1�、�5�1.���因为∆���≅∆���,所以��=��,��=��.�1515111=�因此�1=�5,�1=�5.��根据三角函数的定义,得:�������????�(−�)=�5,????�(−�)=�5.22 新知探索��由前面的分析知:????�(−�)=�5,????�(−�)=�5.22????��=�1,????��=�1.�5=�1,�5=�1.从而得:公式五�����????�(−�)=????��,=�2�−�����????�(−�)=????��.�2�� 新知探索活动2:作�5关于�轴的对称点�6,又能得到什么结论呢?�如图,以��6为终边的角�都是与角+�终边相同�2������的角,即�=2��+(+�)(�∈�).因此,只要探=�2��+�究角+�与�的三角函数值之间的关系即可.���2��� 新知探索�设�6(�6,�6),�5(�5,�5),�1(�1,�1).由于�6是点�5关于�轴�����=�的对称点,可以证明�6=−�1,�6=�1.�−����(证明过程)如图,过�1、�6分别作垂线�1�、�6�1.�����因为∆��1�≅∆�6��1,所以��=�6�1,�1�=��1.�因此�1=�6,�1=|�6|=−��6.∠�6��1=−�.2��根据三角函数的定义,得:????�(−�)=�6,????�(−�)=−�1.22��由公式四、五可得:????�[�−(−�)]=????�(−�)=????��,����????�[�−(−�)]=−????�(−�)=−�����.�� 新知探索��由公式四、五可得:????�[�−(−�)]=????�(−�)=????��,����????�[�−(−�)]=−????�(−�)=−????��.��从而得:公式六��????�(+�)=????��,����2�=��????�(+�)=−????��.�−�2�������� 新知探索��????�(−�)=????��,????�(+�)=????��,22��????�(−�)=????��.????�(+�)=−????��.22利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.公式一~公式六都叫做诱导公式. 新知探索辨析1.判断正误:(1)诱导公式五、六中的角�只能是锐角.()(2)????�(90°+�)=−�����.()(3)????�(270+30°)=????�30°.()答案:×,×,√.辨析2.(多选)下列与????��的值相等的是().��3�A.????�(�+�)B.????�(−�)C.????�(−�)D.????�(+�)222答案:CD. 例析例3.证明:3�(1)????�(−�)=−�����;23�(2)????�(+��)=????��.2����证明:(1)????�(−�)=????�[�+(−�)]=−????�(−�)=−��������.����(2)????�(+�)=????�[�+(+�)]=−����(+�)=????��.��� 例析����????�(��−�)????�(�+�)????�(+�)????�(−�)��例4.化简��.????�(�−�)????�(��−�)????�(−�−�)????�(+�)��(−�����)(−????��)(−????��)????�[5�+(−�)]2解:原式=�(−�����)????�(�−�)[−????�(�+�)]????�[4�+(+�)]22�−����????��[−????�(2−�)]????��=�=−=????��.(−????��)????��[−(−????��)]????�(+�)????��2 例析1例5.已知????�(53°−�)=,且−270°<�<−90°,求????�(37°+�)的值.5解:因为(53°−�)+(37°+�)=90°,所以由诱导公式五,得:????�(37°+�)=????�[90°−(53°−�)]=????�(53°−�)因为−270°<�<−90°,所以143°<53°−�<323°.1由????�(53°−�)=>0,得:143°<53°−�<180°.5126所以????�(53°−�)=−1−????�2(53°−�)=−1−()2=−.5526所以????�(37°+�)=−.5 练习题型一:利用诱导公式化简求值13�例1.若????�(�+�)=,那么????�(−��)的值为().32������A.B.-C.D.−����1解:∵????�(�+�)=−�����=,33�1∴????�(−�)=−�����=.23故选A. 练习�????�(+�)−����(�−�)�变1.已知????��=2,则�等于().????�(−�)−����(��+�)�2A.2B.-2C.0D.3�????�(�+�)−????�(�−�)????��+????����解:�====−��.????�(−�)−????�(��+�)????��−������−������−���故选B. 练习1.求值问题中角的转化方法:任意负任意正0~2�的锐角的公式公式公式二或角的三角的三角的三三角函一或三一五或六角函数角函数角函数数2.用诱导公式进行化简的要求:三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能的简单:(1)化简后项数尽可能的少.(2)函数的种类尽可能的少.(3)分母不含三角函数的符号.(4)能求值的一定要求值.(5)含有较高次数的三角函数式,多用因式分解、约分等. 练习题型二:利用诱导公式证明恒等式��????�(�−��)+????�(�−�)+????�(−�)−������(+�)��例2.已知????�(3�+�)=2,求证:=2.−����(−�)+????�(�+�)证明:由????�(3�+�)=2,得????��=2,????�(�−�)−????��+????��+�????��−�����+������则原式左边==????��−????��????��−????��????��????���====�=右边.????��−????��????��−��−��所以原等式成立. 练习????�(�−�)????�(��−�)�变2.求证:��+���=�.????��[????�(−�)−��]????�(�+�)????�(+�)−????�(+�)]????�����−�����????��证明:左边=+????��(−????��−��)−�����????��+????�����−�����+�+????����=+====右边.�+????���−�����(�+????��)(�−????��)�−????���????���所以原等式成立. 练习证明等式的常见方法:利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用,其证明的常用方法有:(1)从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简.(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子.(3)针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消失差异. 练习题型三:诱导公式的综合应用�例3.在平面直角坐标系���中,角�,�(0<�<<�<�)的顶点与坐标原点2�重合,始边为�轴的非负半轴,终边分别与单位圆交于A,B两点,A,B两点45的纵坐标分别为,.513(1)求????��的值;55解:(1)∵�的终边与单位圆交于点B,B点的纵坐标为,∴????��=.1313�12∵<�<�,∴????��=−.213????��5∴????��==−.????��12 练习�例3.在平面直角坐标系���中,角�,�(0<�<<�<�)的顶点与坐标原点2�重合,始边为�轴的非负半轴,终边分别与单位圆交于A,B两点,A,B两点45的纵坐标分别为,.513????�(�+�)+????�(�−�)(2)求��的值.????�(−�)+????�(+�)��44解:(2)∵�的终边与单位圆交于点A,A点的纵坐标为,∴????��=.55�3∵0<�<.∴????��=,25���????�(�+�)+????�(�−�)−�����−�����−�+���故��==��=.????�(−�)+????�(+�)????��−�����−������ 练习变3.已知????��是方程5�2−7�−6=0的根,�是第三象限角,33????�(−�−�)????�(�−�)222求��∙????�(�−�)的值.????�(−�)????�(+�)2223解:方程5�−7�−6=0的两根为�1=−,�2=2,53∵−1≤????��≤1,∴????��=−.5又�是第三象限角,4????��3∴????��=−,????�==,5????��433��????�(−�−�)????�(�−�)????�(−�)????�(+�)222222∴��∙????�(�−�)=∙????��????�(−�)????�(+�)????��????��22????��(−�����)9=∙????�2�=−????�2�=−.????��????��16 练习诱导公式综合应用要“三看”一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称:一般是弦切互化.三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子、分母同乘一个式子变形. 课堂小结&作业课堂小结:(1)回顾诱导公式二~四;(2)诱导公式五、六及其推导.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P194的练习2——3题 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 复习导入前面给出了三角函数的定义,如何从定义出发研究这个函数呢?类比已有的研究方法,可以先画出函数图象,通过观察图象的特征,获得函数性质的一些结论.我们知道,单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置,这一现象可以用公式????�(�±��)=????��,????�(�±��)=????��来表示.这说明,自变量每增加(减少)��,正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性,就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程. 新知探索下面先研究函数�=????��,�∈�的图象,从画函数�=????��,�∈[�,��]的图象开始.思考1:在[�,��]上任取一个值��,如何利用正弦函数的定义,确定正弦函数值????���,并画出点�(��,????���)? 新知探索如图,在直角坐标系中画出以原点�为圆心的单位圆⊙�,与�轴正半轴的交点为�(�,�).在单位圆上,将点�绕着点�旋转��弧度至点�,根据正弦函数的定义,点�的纵坐标��=????���.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点�(��,????���). 新知探索���若把�轴上从0到2�这一段分成12等份,使��的值分别为0,,,,…,2�,���它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分,再按上述画点�(��,????���)的方法,就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点. 新知探索事实上,利用信息技术,可使��在区间[0,2�]上取到足够多的值而画出足够多的点�(��,????���),将这些点用光滑的曲线连接起来,可得的比较精确的函数�=????��,�∈[�,��]的图象. 新知探索思考2:根据函数�=????��,�∈[�,��]的图象,你能想象函数�=????��,�∈�的图象吗?由诱导公式一可知,函数�=????��,�∈[���,�(�+�)�],�∈�且�≠�的图象与�=????��,�∈[�,��]的图象形状完全一致.因此将函数�=????��,�∈[�,��]的图象不断向左、向右平移(每次移动��个单位长度),就可以得到正弦函数�=????��,�∈[�,��]的图象. 新知探索正弦函数的图象叫做正弦曲线,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.�����������������−��−−��−−��−−�−������������� 新知探索思考3:在确定正弦函数的图象形状时,应抓住哪些关键点?观察函数�=????��,�∈[�,��]的图象上,以下五个点:���(�,�),(,�),(�,�),(,−�),(��,�)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,��函数�=????��,�∈[�,��]的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的.由三角函数的定义可知,正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数.下面我们利用这种关系,借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象. 新知探索思考4:你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系,通过怎样的图形变换,才能将正弦函数的图象变换为余弦函数?�对于函数�=????��,由诱导公式????��=????�(�+)得,�=????��=????�(�+���),�∈�.而函数�=????�(�+)的图象可以通过正弦函数�=????��,�∈�的图����象向左平移个单位长度而得到.所以,将正弦函数的图象向左平移个单位长度,��就得到余弦函数的图象,如图所示:����−��−�−�����������−��−−��−−��������������� 新知探索����−��−�−�����������−��−−��−−���������������余弦函数�=????��,�∈�的图象叫做余弦曲线.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 新知探索类似于“五点法”画正弦函数图象,找出余弦函数在区间[−�,�]上相应的五个关键点,将它们的坐标填入表中,然后画出�=????��,�∈[−�,�]的简图.�0����2���????��10-101 例析例1.画出下列函数的简图:(1)�=1+????��,�∈[0,2�];解:(1)按五个关键点列表:�0����2���????��010-101+????���12101描点并将它们用光滑的曲线连接起来:��������� 例析例1.画出下列函数的简图:(2)�=−????��,�∈[0,2�].解:(2)按五个关键点列表:�0����2���????��10-101−????��-1010-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来:��������� 练习题型一:用“五点法”画正弦、余弦函数的简图例1.用“五点法”作出函数�=????��−�,�∈[�,��]的简图.解:按五个关键点列表:�0����2���????��010-10�����−�-10-1-2-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来: 练习变1.用“五点法”作出函数�=�+????��,�∈[�,��]的简图.解:按五个关键点列表:�0����2���????��10-101�+????��32123描点并将它们用光滑的曲线连接起来: 练习题型二:正弦、余弦函数图象的应用例2.求函数�=�????��−�的定义域.��解:由�????��−�≥�得????��≥,画出�=????��的图象和直线�=,如图:����5�可知????��≥的解集为{�|+2��≤�≤+2��,�∈�}.�66 练习变2.求函数�=�????��−�的定义域.��解:由�????��−�≥�得????��≥,画出�=????��的图象和直线�=,如图:�����可知????��≥的解集为{�|−+2��≤�≤+2��,�∈�}.�33 课堂小结&作业课堂小结:(1)正、余弦函数的简图;(2)五点法作图的“五个关键点”.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P200的练习1~3题. 5.4.2正弦、余弦函数的周期性与奇偶性(第1课时) 复习导入上节课的学习中,我们学了正弦、余弦函数的图象.其中有五个点在函数图象中起着关键作用,请同学们回顾一下在正余弦函数中的“五点”.正弦函数�=????��,�∈�的五个关键点:余弦函数�=????��,�∈�的五个关键点:�图象的最高点(,1)图象的最高点(0,1),(2�,1)2与�轴的交点(0,0),(�,0),(2�,0)与�轴的交点(�,0),(3�,0)22图象的最低点(3�,−1)图象的最低点(�,−1)2��������� 新知探索思考1:类比以往对函数性质的研究,你认为应该研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象,你能发现它们具有哪些性质?根据研究函数的经验,我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大值(小)值等.另外,三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型,与此对应的性质是特别而重要的. 新知探索�����������������−��−−��−−��−−�−�������������观察正弦函数的图象,可以发现,在图象上,横坐标每隔2π个单位长度,就会出现纵坐标相同的点,这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上,这一点既可以从定义中看出,也能从诱导公式sin(�+2�π)=sin�(�∈Z)中得到反映.即自变量�的值加上2π的整数倍时所对应的函数值,与�所对应的函数值相等.数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律. 概念生成一般地,设函数�(�)的定义域为�,如果存在一个非零常数�,使得对每一个�∈�都有�+�∈�,且�(�+�)=�(�),那么函数�(�)就叫做周期函数,非零常数�叫做这个函数的周期.注:(1)周期函数的周期不止一个.例如2π,4π,6π以及−2π,−4π,−6π等.都是正弦函数的周期.事实上,由sin(�+2�π)=sin�(�∈Z),我们可知:∀�∈Z,�≠0,常数2�π都是它的周期.(2)若函数�(�)的周期是T,则�T(�∈Z,�≠0)也是�(�)的周期. 概念生成如果在周期函数�(�)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做�(�)的最小正周期.根据上述的定义,我们有:正弦函数是周期函数,2�π(k∈Z且k≠0)都是它的的周期,最小正周期是2π.思考2:类比于正弦函数,试探究余弦函数的周期性.类似的,由cos(�+2�π)=cos�(�∈Z),可知,余弦函数也是周期函数.2π,4π,6π以及−2π,−4π,−6π等都是余弦函数的周期.即∀�∈Z,�≠0,常数2�π都是它的周期,最小正周期是2π. 概念生成注:(3)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量�要加上的那个最小正数,这个正数是对�而言的,如�=????�2�的最小正周期是�,因为�=????�2�=????�(2�+2�)=????�[2(�+�)],即�是使函数值重复出现的自变量�加上的最小正数,�是针对�而言的,而非2�.(4)并不是所有的周期函数都有最小正周期,例如,常数函数�(�)=�,任意一个正实数都是它的周期,因而不存在最小正周期. 概念生成辨析1:判断正误.2���2�(1)若????�(+)=????�,则是函数�=????��的一个周期.()3663(2)所有的周期函数都有最小正周期.()(3)函数�=????��是奇函数.()答案:×,×,×.�辨析2:函数�=2????�(2�+)是().2A.周期为�的奇函数B.周期为�的偶函数C.周期为2�的奇函数D.周期为2�的偶函数答案:A. 例析例2.求下列函数的周期:1�(1)�=3????��,�∈�;(2)�=????�2�,�∈�;(3)�=3????�(�−),�∈�.26解:(1)∀�∈�,有3????�(�+2�)=3????��.由周期函数的定义可知,原函数的周期为2�.(2)令�=2�,由�∈�得�∈�,且�=????��的周期为2�,即????�(�+2�)=????��,于是????�(2�+2�)=????�2�,所以????�[2(�+�)]=????�2�,�∈�.由周期函数的定义可知,原函数的周期为�. 例析例2.求下列函数的周期:1�(1)�=3????��,�∈�;(2)�=????�2�,�∈�;(3)�=2????�(�−),�∈�.261�解:(3)令�=�−,由�∈�得�∈�,且�=2????��的周期为2�,即261�1�2????�(�+2�)=2????��,于是2????�(�−+2�)=2????�(�−),26261�1�所以2????�[(�+4�)−]=2????�(�−).2626由周期函数的定义可知,原函数的周期为4�. 新知探索思考2:回顾例2的解答过程,你能发现这些函数的周期与解析式中的哪些量有关吗?函数的周期与�的系数有关.仿照上述分析过程可得:函数�=�????�(��+��)、�=�????�(��+�)(其中�,�,�为常数,且�≠0,�>2�0)的最小正周期为:�=.� 新知探索����−��−�−�����������−��−−��−−���������������观察正弦曲线和余弦曲线,可以看到正弦曲线关于原点�对称,余弦曲线关于�轴对称.这个事实,也可由诱导公式????�(−�)=−????��,????�(−�)=????��得到,所以正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数. 练习题型一:三角函数的周期例1.求下列函数的周期.�(1)�(�)=????�(2�+);(2)�(�)=|????��|.3���解:(1)∵�(�)=????�(2�+)=????�(2�++2�)=????�[2(�+�)+]=�(�+�),333�即�(�)=�(�+�),∴函数�(�)=????�(2�+)的最小正周期�=�.3(2)∵�(�)=|????��|,∴函数�(�+�)=|????�(�+�)|=|????��|=�(�),∴函数�(�)=|????��|的最小正周期�=�. 练习变1.求下列函数的周期.1�(1)�(�)=????�(�−),�∈�;(2)�(�)=|????��|.641�1�1�解:(1)∵�(�)=????�(�−)=????�(�−+2�)=????�[(�+12�)−]=�(�+6464641�12�),即�(�)=�(�+12�),∴函数�(�)=????�(�−)的最小正周期�=12�.64(2)∵�(�)=|????��|,∴函数�(�+�)=|????�(�+�)|=|????��|=�(�),∴函数�(�)=|????��|的最小正周期�=�. 练习题型二:正、余弦函数的奇偶性例2.判断下列函数的奇偶性:33�(1)�(�)=????��+????��;(2)�(�)=????�(�+);42�解:(1)定义域为{�|�≠+��,�∈�},关于原点对称.2∵�(−�)=????�(−�)+????�(−�)=−????��−????��=−(????��+????��)=−�(�).∴函数�(�)=????��+????��是奇函数.(2)据题意,定义域为实数R.33�333∵�(�)=????�(�+)=????��,�(−�)=????�(−�)=????��=�(�)4244433�∴函数�(�)=????�(�+)是偶函数.42 练习例2.判断下列函数的奇偶性:1+????��−���2�(3)�(�)=.1+????��解:(3)∵1+????��≠0,即????��≠−1,3�∴定义域为{�|�≠+2��,�∈�},定义域不关于原点对称21+????��−���2�∴函数�(�)=既不是奇函数也不是偶函数.1+????��� 练习变2.判断下列函数的奇偶性:1�(1)�(�)=????�(−�+);(2)�(�)=????��∙????��;22(3)�(�)=????(1−????��)−????(1+????��).解:(1)据题意,定义域为实数R,关于原点对称.1�11∵�(�)=????�(−�+)=????�(−�)=????��,222211�(−�)=????�(−�)=????��=�(�).221�∴函数�(�)=????�(−�+)是偶函数.22(2)据题意,定义域为实数R,关于原点对称.∵�(−�)=????�(−�)∙????�(−�)=−????��∙????��=−�(�).∴函数�(�)=????��∙????��是奇函数. 练习变2.判断下列函数的奇偶性:(3)�(�)=????(1−????��)−????(1+????��).1−????��>0解:(3)据题意,有,即−10�所以定义域为{�|�≠+��,�∈�},关于原点对称.2∵�(−�)=????[1−????�(−�)]−????[1+????�(−�)]=????(1+????��)−????(1−????��)=−�(�),∴函数�(�)=????(1−????��)−????(1+????��)是奇函数. 练习题型三:三角函数的奇偶性与周期的综合应用例3.下列函数中是奇函数,且最小正周期是�的函数是().A.�=????�|2�|B.�=|????�2�|�3�C.�=????�(+2�)D.�=????�(−2�)22答案:D.�解:�=????�|2�|是偶函数,�=|????�2�|是偶函数,�=????�(+2�)=????�2�23�是偶函数,�=????�(−2�)=−????�2�是奇函数,且由周期公式可知其最小2正周期为�. 练习变3.定义在�上的函数�(�)既是偶函数,又是周期函数,若�(�)的最小正周期是�5��,且当�∈[0,]时,�(�)=????��,则�()等于().231133A.−B.C.−D.2222答案:D.5�5�2�2����3解:�()=�(−�)=�()=�(−�)=�(−)=�()=????�=.33333332 课堂小结&作业课堂小结:(1)正、余弦函数的周期性;(2)正、余弦函数的奇偶性.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P203的练习1~4题. 5.4.2正弦、余弦函数的单调性与最值(第2课时) 复习导入上节课我们学习了正弦函数是周期函数,我们可以先在它的一个周期的区间(如���[−,])上讨论它的单调性,再利用它的周期性,将单调性扩展到整个定义域.��因为对于周期函数,如果把握了它的一个周期内的情况,那么也就把握了整个函数的情况.思考1:观察下图,找出????��的值随着�的变化是如何变化的? 新知探索观察下图,可以看到:���3�当�由−增大到时,曲线逐渐上升,????��的值由−1增大到1;当�由增大到2222时,曲线逐渐下降,????��的值由1减小到−1.????��的值的变化情况如表所示:��↗0↗�↗�↗3�−222????��−1↗0↗1↘0↘−1 新知探索��↗0↗�↗�↗3�−222????��−1↗0↗1↘0↘−1�����这就是说,正弦函数�=????��在区间[−,]上单调递增,在区间[,]上单调递减.������由正弦函数的周期性可得,正弦函数在每一个闭区间[−+���,+���](�∈�)上�����都单调递增,其值从−�增大到�;在每一个闭区间[+���,+���](�∈�)上都��单调递减,其值从�减小到−�. 新知探索思考2:类比于正弦函数,观察余弦函数在一个周期区间(如[−�,�])上函数值的变化规律,将看到的函数值的变化情况填入表:�−�↗�↗0↗�↗�−22????��−1↗0↗1↘0↘−1 新知探索�−�↗�↗0↗�↗�−22????��−1↗0↗1↘0↘−1这就是说,正弦函数�=????��,�∈[−�,�]在区间[−�,�]上单调递增,在区间[�,�]上单调递减.由正弦函数的周期性可得,正弦函数在每一个闭区间[−�+���,���](�∈�)上都单调递增,其值从−�增大到�;在每一个闭区间[���,�+���](�∈�)上都单调递减,其值从�减小到−�. 新知探索思考3:在前面函数的性质中,我们除了奇偶性、单调性外,还学习了函数的最值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究,找出正余弦函数的最值及其取得最值时对应的自变量�的值.����−��−�−�����������−��−−��−−��������������� 新知探索����−��−�−�����������−��−−��−−�����������������正弦函数当且仅当�=+���(�∈�)时取得最大值�,当且仅当�=−+���(�∈���)时取得最小值−�;余弦函数当且仅当�=���(�∈�)时取得最大值�,当且仅当�=�+���(�∈�)时取得最小值−�. 例析例3.下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时自变量�的集合,并求出最大值、最小值.(1)�=????��+1,�∈�;(2)�=−3????�2�,�∈�.解:容易知道,这两个函数都有最大值、最小值.(1)使函数�=????��+1,�∈�取得最大值的�的集合,就是使函数�=????��,�∈�取得最大值的�的集合{�|�=2��,�∈�};使函数�=????��+1,�∈�取得最小值的�的集合,就是使函数�=????��,�∈�取得最小值的�的集合{�|�=(2�+1)�,�∈�}.函数�=????��+1,�∈�的最大值是1+1=2;最小值是−1+1=0. 例析(2)�=−3????�2�,�∈�.解:(2)令�=2�,使函数�=−3????��,�∈�取得最大值的�的集合,就是使���=????��,�∈�取得最小值的�的集合{�|�=−+2��,�∈�}.由2�=�=−+22�2��,得�=−+��.所以,使函数�=−3????�2�,�∈�取得最大值的�的集合是4�{�|�=−+��,�∈�}.同理,使函数�=−3????�2�,�∈�取得最小值的�的集合是4�{�|�=+��,�∈�}.4函数�=−3????�2�,�∈�的最大值是3,最小值是−3. 例析例4.不通过求值,比较下列各组数的大小:��23�17�(1)????�(−)与????�(−);(2)????�(−)与????�(−).181054����解:(1)因为−<−<−<0,正弦函数�=????��在区间[−,0]上单调递增,210182��所以????�(−)>????�(−).181023�23�3�17�17���3�(2)????�(−)=????�=????�,????�(−)=????�=????�.因为0<<<55544445�3�17��,且函数�=????��在区间[0,�]上单调递减,所以????�>????�,即????�(−)>45423�????�(−).5 例析1�例5.求函数�=????�(�+),�∈[−2�,2�]的单调递增区间.231�2�4�解:令�=�+,�∈[−2�,2�],则�∈[−,].23332�4����1��因为�=????��,�∈[−,]的单调增区间是[−,],且由−≤�+≤,332222325��得−≤�≤.331�5��所以,函数�=????�(�+),�∈[−2�,2�]的单调递增区间是[−,].2333 练习题型一:正弦函数、余弦函数的单调性�例1.求函数�=2????�(2�−)的单调区间.6���解:令−+2��≤2�−≤+2��,�∈�.262�2�则−+2��≤2�≤+2��,�∈�.33��即−+��≤�≤+��,�∈�.63��所以函数的单调递增区间是[−+��,+��],�∈�.63��3�令+2��≤2�−≤+2��,�∈�.2622�5�则+2��≤2�≤+2��,�∈�.33�5�即+��≤�≤+��,�∈�.36�5�所以函数的单调递减区间是[+��,+��],�∈�.36 练习�变1.求函数�=−2????�(2�−)的单调区间.6��解:据题意,函数�=−2????�(2�−)的单调区间和函数�=2????�(2�−)的相反.66���令−+2��≤2�−≤+2��,�∈�.262�2�则−+2��≤2�≤+2��,�∈�.33��即−+��≤�≤+��,�∈�.63��所以函数的单调递减区间是[−+��,+��],�∈�.63��3�令+2��≤2�−≤+2���,�∈�.2622�5�则+2��≤2�≤+2��,�∈�.33�5�即+��≤�≤+��,�∈�.36�5�所以函数的单调递增区间是[+��,+��],�∈�.36 练习方法技巧:(1)用“基本函数法”求函数�=�????�(��+�)(�>0,�>0)或�=�????�(��+�)(�>0,�>0)的单调区间的步骤:第一步:写出基本函数�=????��(或�=????��)的相应单调区间;第二步:将“��+�”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“�”;第三步:解关于�的不等式.(2)对于形如�=�????�(��+�)的三角函数的单调区间问题,当�<0时,可先用诱导公式转化为�=−�????�(−��−�),则�=�????�(−��−�)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间。单调递减区间即为原函数的单调递增区间.余弦函数�=�????�(��+�)的单调性讨论同上.另外,值得注意的是�∈�这一条件不能省略. 练习题型二:正弦函数、余弦函数单调性的应用例2.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.��(1)????�(−)与????�(−);(2)????�196°与????�156°;610����解:(1)∵−<−<−<0,正弦函数�=????��在区间[−,0]上单调递增,26102��∴????�(−)>????�(−).106(2)∵????�196°=????�(180°+16°)=−????�16°,????�156°=????�(180°−24°)=−????�24°=−????�66°,又0°<16°<66°<90°,正弦函数�=????��在区间[0°,90°]上单调递增,∴????�16°−????�66°,即????�196°>????�156°. 练习例2.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.22�9�(3)????�(−)与????�.5422�22�2�9��解:(3)????�(−)=????�=????�,????�=????�.55544�2�∵0<<<�,且函数�=????��在区间[0,�]上单调递减,45�2�9�22�∴????�>????�,即????�>????�(−).4545 练习变2.比较下列各组数的大小.15�14�(1)????�1与????�1;(2)????�与????�;89���解:(1)????�1=????�(−1),而0<−1<1<,222�且函数�=????��在区间[0,]上单调递增,2�∴????�(−1)????�,即????�>????�.8989 练习变2.比较下列各组数的大小.3�15�(3)????�与????�(−).1483��2�2�15���解:(3)????�=????�(−)=????�,????�(−)=????�(−2�+)=????�.14277888�2��∵0<<<π,且函数�=????��在区间[0,]上单调递增,872�2�∴????�????�(−).148 练习方法技巧:三角函数值大小比较的策略�����(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到[−,]或[,]内;����对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[−�,0]或[0,�]内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间时,先化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小. 练习题型三:正弦函数、余弦函数的最值问题例3.求下列函数的值域.���(1)�=2????�(2�+),�∈[−,];(2)�=|????��|+????��;362(3)�=????�2�−4????��+5.���4�解:(1)∵�∈[−,],∴2�+∈[0,],6233���4�令�=2�+,又�=2????��在[0,]上单调递增,在[,]上单调递减,3223���∴−≤????�(2�+)≤1,−3≤2????�(2�+)≤2,�33∴函数的值域为[−3,2]. 练习例3.求下列函数的值域.(2)�=|????��|+????��;(3)��=????�2�−4????��+5.2????��,????��≥0,解:(2)∵�=0,????��≤0.又????��≥0时,0≤2????��≤2,∴函数的值域为[0,2].(3)令�=????��,�∈[−1,1],∴�=�2−4�+5=(�−2)2+1在[−1,1]上单调递减,∴当�=−1时,����=10;当�=1时,����=2.∴函数的值域为[−10,10]. 练习2�5�变3.求函数�=−2????��+2????��+3,�∈[,]的最大值和最小值.66解:由正弦函数的性质知,�5�1当�∈[,]时,????��∈[,1],66222121∴�=−2????��+2????��+3=2????��+2????��+1=2(????��+)+;22115当????��=时,函数�取得最小值,����=2×1+=;22291当????��=1时,函数�取得最大值,����=2×+=5.42�5�5∴函数�在�∈[,]上的最大值是5,最小值是.662 练习方法技巧:三角函数最值(值域)问题的三种常见类型及求解方法(1)形如�=�????��(或�=�????��)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对�正负的讨论.(2)形如�=�????�(��+�)+�(或�=�????�(��+�)+�)型,可先由定义域求得��+�的范围,然后求得????�(��+�)(或????�(��+�))的范围,最后求得最值.(3)形如�=�????�2�+�????��+�(�≠0)型,可利用换元思想,设�=????��,转化为二次函数�=��2+��+�求最值.�的范围需要根据定义域来确定. 课堂小结&作业课堂小结:(1)正、余弦函数的单调性;(2)正、余弦函数的最值.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P207的练习1~5题. 5.4.3正切函数的性质与图象 问题导入思考1:根据研究正弦函数、余弦函数的经验,你认为如何研究正切函数的图象与性质?思考2:你能用不同的方法研究正切函数吗?有了前面的知识准备,我们可以换个角度,即从正切函数的定义出发研究它的性质,再利用性质研究正切函数的图象. 新知探索思考1:类比研究正弦函数、余弦函数的周期性,试研究正切函数的周期性?�由诱导公式????�(�+�)=????��,�∈�,且�≠+��,�∈�可知,正切函数是2周期函数,周期是�.思考2:类比研究正弦函数、余弦函数的奇偶性,试研究正切函数的奇偶性?�由诱导公式????�(−�)=−????��,�∈�,且�≠+��,�∈�可知,正切函数是2奇函数. 新知探索思考3:你认为研究正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助?�可以先考察函数�=????��,�∈[0,)的图象与性质,然后再根据奇偶性、周期2性进行拓展.�思考4:如何画出函数�=????��,�∈[0,)的图象?2 新知探索�如图,设�∈[0,),在直角坐标系中画出角�的终边与单位圆的交点�(�0,�0).过2点�作�轴的垂线,垂足为�;过点�(1,0)作�轴的垂线与角�的终边交于点�,则�0����????��====��.�0�����由此可见,当�∈[0,)时,线段��的长度就是相应角�的正切值.2�我们可以利用线段��画出函数�=????��,�∈[0,)的图象,如图所示.2 新知探索�观察下图可知,当�∈[0,)时,随着�的增大,线段��的长度也在增大,而且当�2��趋向于时,��的长度趋向于无穷大.相应地,函数�=????��,�∈[0,)的图象从左22�到右呈不断上升趋势,且向右上方无限逼近直线�=.2思考5:你能借助以上结论,并根据正切函数的性质,画出正切函数的图象吗?正切函数的图象有怎样的特征? 新知探索�根据正切函数是奇函数,只要画�=????��,�∈[0,)的图象关于原点的对称图形,2�就可得到�=????��,�∈(−,0]的图象;根据正切函数的周期性,只要把函数�=2��????��,�∈(−,)的图象向左、右平移,每次平移�个单位长度,就可得到正切函22�数�=????��,�∈�,�≠+��,�∈�的图象,我们把它叫做正切函数.2 新知探索�从图可以看出,正切曲线是被与�轴平行的一系列直线�=+��,�∈�所隔开的2无穷多支形状相同的曲线组成的.��观察正切曲线可知,正切函数在区间(−,)上单调递增.22��由正切函数的周期性可得,正切函数在每一个区间(−+��,+��)(�∈�)上单22调递增. 新知探索��当�∈(−,)时,????��在(−∞,+∞)内可取到任意实数值,但没有最大值、最小值.22因此,正切函数的值域是实数集R. 新知探索函数�=????��的图象和性质解析式�=????��图象定义域�{�∈�,�≠+��,�∈�}2值域�周期�奇偶性奇函数��单调性在每一个区间(−+��,+��)(�∈�)上都单调递增22对称中心��(,0)(�∈�)2 新知探索辨析1:判断正误.(1)正切函数的值域是R.()(2)正切函数图象是中心对称图形,有无数个对称中心.()�(3)正切函数图象有无数条对称轴,其对称轴是�=��±,�∈�.()�(4)正切函数在定义域上单调递增.()答案:√,√,×,×. 例析��例6.求函数�=????�(�+)的定义域、周期及单调区间.23���1解:自变量�的取值应满足�+≠��+,�∈�,即�≠2�+,�∈�.23231所以,函数的定义域是{�|�≠2�+,�∈�}.3������设Z=�+,又????�(�+�)=????��,所以????�[(�+)+�]=????�(�+),232323����即????�[(�+2)+]=????�(�+).23231����因为∀�∈{�|�≠2�+,�∈�}都有????�[(�+2)+]=????�(�+),32323所以,函数的周期为2. 例析��例6.求函数�=????�(�+)的定义域、周期及单调区间.23����解:由−+��<�+<−+��,�∈�解得223251−+2�<�<+2�,�∈�.3351因此,函数在区间(−+2�,+2�),�∈�上单调递增.33 练习题型一:正切函数的定义域、值域问题例1.求下列函数的定义域和值域:1�(1)�(�)=????�(�+);24(2)�(�)=3−????��.1��5�解:(1)依题意得�+≠+��,�∈�,所以�≠+2��,�∈�.24235�所以函数的定义域是{�≠+2��,�∈�}.3由正切函数的值域可知该函数的值域是(−∞,+∞). 练习例1.求下列函数的定义域和值域:1�(1)�(�)=????�(�+);24(2)�(�)=3−????��.解:(2)依题意得3−????��≥0,所以????��≤3.��结合�=????��的图象可知,在区间(−,)上,22��满足????��≤3的角�应满足−<�≤,23��所以函数�=3−????��的定义域为{�|��−<�≤��+,�∈�},其值域23为[0,+∞). 练习��变1.函数�(�)=????�2�在[−,]上的最大值与最小值的差为().��232A.23B.C.2D.33答案:A.����解:∵�∈[−,],∴2�∈[−,]6633��又�(�)=????�2�在[−,]上为单调递增函数66��∴当�=−时,�(�)取得最小值,�(�)���=????�(−)=−3;63��当�=时,�(�)取得最大值,�(�)���=????�=3.63∴最大值与最小值的差为:3−(−3)=23. 练习方法技巧:1.求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还�要保证正切函数�=????��有意义,即�≠+��,�∈�.2(2)求正切函数�=�????�(��+�)(�>0,�>0)的定义域时,要使“��+�”�视为一个“整体”.令��+�≠+��,�∈�,解得�.2 练习2.解形如????��>�的不等式的步骤��作图象作点(−,)上的正切函数图象����求界点求在(−,)上使????��=�成立的�值����求范围求在(−,)上使????��>�成立的�的范围��写出解集据正切函数的周期性,写出定义域 练习题型二:与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题1例2.(1)若�(�)=????�(��)(�>0)的周期为1,则�()的值为().3��A.−3B.−C.D.3��答案:D.�解:∵�(�)=????�(��)(�>0)的周期为=1,�∴�=�,即�(�)=????���,1�则�()=????�=3.33 练习例2.(2)判断下列函数的奇偶性:4�①�=3�∙????�2�−2�;②�=????�(−�)+????��.2解:①∵�=3�∙????�2�−2�4���其定义域为{�≠+,�∈�},关于原点对称,24有�(−�)=3(−�)∙????�(−2�)−2(−�)4=3�∙????�2�−2�4=�(�).∴�=3�∙????�2�−2�4是偶函数.�②∵�=????�(−�)+????��=????��−????��2�其定义域为{�≠��+,�∈�},关于原点对称,2有�(−�)=????�(−�)−????�(−�)=−????��+????��=−�(�).�∴�=????�(−�)+????��是奇函数.2 练习变2.(1)(多选)已知函数�(�)=????��,则下列结论正确的是().A.2�是�(�)的一个周期3�3�B.�(−)=�()44C.�(�)的值域为R�D.�(�)的图象关于点(,0)对称2答案:ACD.解:∵�(�)=????��的最小正周期为�,∴2�是�(�)的一个周期,故A正确.3�3�∵�(−)=1,�()=−1,∴B错误.44易知�(�)=????��的值域为R,∴C正确.��(�)=????��的图象关于点(,0)对称,∴D正确.2 练习(2)�(�)=????��+????��+1,若�(�)=2,则�(−�)的值为().A.0B.3C.−1D.−2答案:A.解:∵�(�)=????��+????��+1,∴当�(�)=2时,有�(�)=????��+????��+1=2,∴????��+????��=1,则�(−�)=−????��−????��+1=−1+1=0. 练习方法技巧:1.函数�(��)=�????�(��+�)周期的求解方法(1)定义法.�(2)公式法:对于函数�(�)=�????�(��+�),它的最小正周期�=.|�|(3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少函数值重复出现.2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若关于原点对称,再看�(−�)与�(�)的关系.���提醒:�=????��,�∈�,�≠+��,�∈�的对称中心坐标为(,0),�∈�.22 练习题型三:正切函数的单调性及应用�例3.求函数�=????�(−�)的单调递减区间.4��解:∵�=????�(−�)=−????�(�−),44��∴�=????�(−�)的单调递减区间是�=????�(�−)的单调递增区间.44���由��−<�−<��+,�∈�得:242�3���−<�<��+,�∈�,44��3�所以函数�=????�(−�)的单调递减区间是(��−,��+),�∈�.444 练习变3.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小.6�13�(1)????�220°与????�200°;(2)????�与????�(−).57解:(1)∵????�220°=????�(180°+40°)=????�40°,????�200°=????�(180°+20°)=????�20°,且�=????��在(0°,90°)上是增函数,∴????�40°>????�20°,即????�220°>????�200°.6���13�13���(2)????�=????�(�+)=????�,????�(−)=−????�=−????�(2�−)=????�,5557777������∵−<<<,�=????��在(−,)上单调递增,275222��6�13�∴????�????�(−).7557 练习方法技巧:1.求函数�=�????�(��+�)(�>0,�≠0,且�,�,�都是常数)的单调区间的方法(1)若�>0,由于�=????��在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”��的思想,令��−<��+��<��+,�∈�,解得�的范围即可.22(2)若�<0,可利用诱导公式先把�=�????�(��+�)转化为�=�????�[−(−��−�)]=−�????�(−��−�),即把�的系数转化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得�的范围即可. 练习方法技巧:2.运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.(2)运用单调性比较大小关系.注:�=�????�(��+�)(�>0,�>0)只有增区间;�=�????�(��+�)(�<0,�>0)只有减区间. 课堂小结&作业课堂小结:(1)正切函数的图象;(2)正切函数的性质.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P213的练习1~5题;(3)课本P213的习题5.4的4、6、7、8、9. 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第1课时) 复习导入前面我们学习了诱导公式,利用它们对三角函数进行恒等变形,可以达到化简、求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式,可以发现它们都是特殊角与任意角�的和(或差)的三角函数与任意角�,那么任意角�与�的和(或差)的三角函数与�,�的三角函数会有什么关系呢?下面来研究这个问题. 新知探索思考1:如果已知任意角�,�的正弦、余弦,能由此推出�+�,�−�的正弦、余弦吗?下面,我们来探究????�(�−�)与角�,�的正弦、余弦之间的关系.不妨令�≠2��+�,�∈�.如图,设单位圆与�轴的正半轴相交于点�(1,0),以�轴非负半轴为始边作角�,�,�−�,它们的终边分别与单位圆相交于点�1(????��,????��),�1(????��,????��),�(????�(�−�),????�(�−�)). 新知探索思考1:如果已知任意角�,�的正弦、余弦,能由此推出�+�,�−�的正弦、余弦吗?下面,我们来探究????�(�−�)与角�,�的正弦、余弦之间的关系.不妨令�≠2��+�,�∈�.如图,设单位圆与�轴的正半轴相交于点�(1,0),以�轴非负半轴为始边作角�,�,�−�,它们的终边分别与单位圆相交于点�1(????��,????��),��终边�1(????��,????��),�(????�(�−�),????�(�−�)).�1�终边�1�−�终边���(1,0)� 新知探索连接�1�1,��.若把扇形���绕着点�旋转β角,则点�,�分别与点�1,�1重合.根据圆的旋转对称性可知,��与�1�1重合,从而��=�1�1,所以��=�1�1.注:�1(????��,????��),�1(????��,????��),�(????�(�−�),????�(�−�)).根据两点间的距离公式,得:|��|=[????�(�−�)−1]2+????�2(�−�)=2−2????�(�−�)|��|=(????��−????��)2+(????��−????��)2=2−2????��????��−2????��????��11化简得:????�(�−�)=????��????��+????��????��. 新知探索当�=2��+�(�∈�)时,容易证明上式仍然成立.所以,对于任意角�,�有????�(�−�)=????��????��+????��????��.(�(�−�))此公式给出了任意角�,�的正弦、余弦与其差角�−�的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为�(�−�). 例析例1.利用公式�(�−�)证明.????�(�−�)=????��????��+????��????��.�(1)????�(−�)=????��;(2)????�(�−�)=−????��.2���证明:(1)????�(−�)=????�????��+????�????��222=0+1×????��=????��(2)????�(�−�)=????��????��+????��????��=(−1)×????��+0=−????�� 例析4�5例2.已知????��=,�∈(,�),????��=−,�是第三象限角,求????�(�−�)的值.52134�43解:由????��=,�∈(,�),得:????��=−1−????��2=−1−()2=−.52555512又由????��=−,�是第三象限角,得:????��=−1−????��2=−1−(−)2=−.1313133541233所以????�(�−�)=????��????��+????��????��=(−)×(−)+×(−)=−.51351365 新知探索思考2:由公式�(�−�)出发,你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗?下面以公式�(�−�)为基础来推导其他公式.例如,比较????�(�−�)与????�(�+�),并注意到�+�与�−�之间的联系:�+�=�−(−�),则由公式�(�−�),有????�(�+�)=????�[�−(−�)]=????��????�(−�)+????��????�(−�)=????��????��−????��????��.于是得到了两角和的余弦公式,简记作�(�+�).????�(�+�)=????��????��−????��????��.(�(�+�)) 新知探索思考3:上面得到了两角和与差的余弦公式.我们知道,用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化.你能根据�(�+�),�(�−�)及诱导公式五(或六),推导出用任意角�,�的正弦、余弦表示????�(�+�),????�(�−�)的公式吗?��????�(�+�)=????�[−(�+�)]=????�[(−�)−�)]22��=????�(−�)????��+????�(−�)????��22=????��????��+????��????��.于是得到了两角和的正弦公式,简记作�(�+�).????�(�+�)=????��????��+????��????��.(�(�+�)) 新知探索��????�(�−�)=????�[−(�−�)]=????�[(−�)+�)]22��=????�(−�)????��−????�(−�)????��22=????��????��−????��????��.于是得到了两角和的正弦公式,简记作�(�−�).????�(�−�)=????��????��−????��????��.(�(�−�))思考4:你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系,从�(�±�),�(�±�)出发,推导出用任意角�,�的正切表示????�(�+�),????�(�−�)的公式吗? 新知探索????�(�+�)因为????�(�+�)=,所以有:????�(�+�)????�(�+�)????��????��+????��????��????�(�+�)==(同除以“????��????��”)????�(�+�)????��????��−????��????��????��????��????��????��+????��????��????��????�������+????��==.????��????��????��????���−????��????��−????��????��????��????��于是得到了两角和的正切公式,简记作�(�+�).????��+????��????�(�+�)=.(�(�+�))�−????��????�� 新知探索????�(�−�)因为????�(�−�)=,所以有:????�(�−�)????�(�−�)????��????��−????��????��????�(�−�)==(同除以“????��????��”)????�(�−�)????��????��+????��????��????��????��????��????��−????��????��????��????�������−????��==.????��????��????��????���+????��????��+????��????��????��????��于是得到了两角和的正切公式,简记作�(�+�).????��−????��????�(�−�)=.(�(�−�))�+????��????�� 新知探索????�(�±�)=????��????��∓????��????��.(�(�±�))????�(�±�)=????��????��±????��????��.(�(�±�))????��±????��????�(�±�)=.(�(�±�))�∓????��????��公式�(�+�),�(�+�),�(�+�)给出了任意角�,�的三角函数值与其和角�+�的三角函数值之间的关系.为方便起见,我们把这三个公式都叫做和角公式.类似地,�(�−�),�(�−�),�(�−�)都叫做差角公式. 新知探索辨析1:判断正误.(1)对于任意实数�,�,????�(�−�)=????��−????��都不成立.()(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角�,�是任意的.()????��+????��(3)对任意�,�∈�,????�(�+�)=都成立.()1−????��∙????��答案:×,√,×.辨析2:(1)若????��????��=�,????��????��=�,则????�(�−�)=__________.�(2)设角�的终边过点(2,3),则????�(�−)=___________.41答案:(1)�+�;(2).5 例析3���例3.已知????���=−,�是第四象限角,求????�(−�),????�(+�),????�(�−)的5444值.3解:由????��=−,�是第四象限角,534得:????��=1−????�2�=1−(−)2=,553????��−53所以????��==4=−.????��45���242372于是有????�(−�)=????�????��−????�????��=×−×(−)=;444252510 例析3���例3.已知????���=−,�是第四象限角,求????�(−�),????�(+�),????�(�−)的5444���242372值解.:????�(+�)=????�????��−????�????��=×−×(−)=;444252510�37�????��−????�−−1−444????�(�−)=�=3=1=−7.41+????��????�1+−444��思考5:由以上解答可以看到,在本题条件下有????�(−�)=????�(+�).那么对于44任意角�,此等式成立吗?若成立,你会用几种方法予以证明?�若�+�=(即角�,�互余),则????��=????��.2��证明:因为�+�=,所以????��=????�(−�)=????��.22 例析例4.利用和(差)角公式计算下列各式的值:(1)????�72°????�42°−????�72°????�42°;(2)????�20°????�70°−????�20°????�70°;解:(1)由公式�(�−�),得:1????�72°????�42°−????�72°????�42°=????�(72°−42°)=????�30°=.2(2)由公式�(�+�),得:????�20°????�70°−????�20°????�70°=????�(20°+70°)=????�90°=0. 例析例4.利用和(差)角公式计算下列各式的值:�+????�????°(3).�−????�????°解:(3)由公式�(�+�)及????�45°=1,得:1+????�15°????�45°+????�15°==????�(45°+15°)=????�60°=3.1−????�15°1−????�45°????�15° 练习题型一:给角求值例1.求下列各式的值:7�2��2�(1)????�15°????�105°+????�15°????�105°;(2)����????�−????�????�;18999解:(1)原式=????�(105°−15°)=????�90°=0.7����(2)∵????�=????�(−)=????�,182997�2��2��2��2��2��1∴????�????�−????�????�=????�????�−????�????�=????�(+)=????�=.1899999999932 练习例1.求下列各式的值:(3)????�(�+27°)????�(18°−�)−????�(63°−�)????�(�−18°);(4)????�17°+????�28°+????�17°????�28°.解:(3)∵????�(63°−�)=????�[90°−(�+27°)]=????�(�+27°)∴原式=????�(�+27°)????�(18°−�)−????�(63°−�)????�(�−18°)2=????�[(�+27°)+(18°−�)]=????�45°=.2????�17°+????�28°(4)∵????�(17°+28°)=,1−????�17°????�28°∴????�17°+????�28°=????�(17°+28°)(1−????�17°????�28°)=1−????�17°????�28°∴原式=1−????�17°????�28°+????�17°????�28°=1. 练习5����变1.(1)????�????�+????�????�的值是().126126123A.0B.C.D.222答案:C.5���������2解:∵????�=????�,∴原式=????�????�+????�????�=????�(+)=????�=.1212126126126425变1.(2)若�是第二象限角且????��=,则????�(�+60°)=______.13????+��答案:−��512解:∵�是第二象限角且????��=,∴????��=1−????�2�=−.13131311235????+��∴????�(�+60°)=????��−????��=×(−)−×=−.22213213�� 练习题型二:给值(式)求值问题�416例2.已知�,�∈(0,),且????��=,????�(�+�)=−,则????��=_____.2565204答案:325�43解:∵�,�∈(0,),且????��=,∴????��=1−????��2=,25516∴可得:�+�∈(0,�),又????�(�+�)=−,6563可得:????�(�+�)=1−????�2(�+�)=,65163∴????��=????�[(�+�)−�]=????�(�+�)????��+????�(�+�)????��=(−)×+655634204×=.655325 练习4311变2.已知�,�是锐角,且????��=,????�(�+�)=−,求????��的值.714431解:∵�是锐角,∴????��>0,????��=1−????�2�=1−()2=.77又∵�是锐角,∴0<�+�<�,∴????�(�+�)>01153∴????�(�+�)=1−????�2(�+�)=1−(−)2=,1414∴????��=????�[(�+�)−�]=????�(�+�)????��−????�(�+�)????��53111433=×−(−)×=.1471472 练习题型三:给值(式)求角问题2510例3.已知�,�是锐角,且????��=,????��=,求�−�的值.5102510解:∵�,�是锐角,且????��=,????��=,51025510310∴????��=1−????�2�=1−()2=,????��=1−????�2�=1−()2=.551010251053102∴????�(�−�)=????��????��+????��????��=×+×=.5105102����∵0<�<,0<�<,∴−<�−�<2222�又????��>????��,∴�<�,则−<�−�<02�∴�−�=−.4 练习��32变3.已知�∈(0,),�∈(−,0),且????�(�−�)=,????��=−,求�.22510��解:∵�∈(0,),�∈(−,0),∴�−�∈(0,�),2232∵????�(�−�)=,????��=−,510472∴????�(�−�)=,????��=,510∴????��=????�[(�−�)+�]=????�(�−�)????��−????�(�−�)????��372422�=×−×(−)=,即�=.51051024 课堂小结&作业课堂小结:(1)理解记忆两角和与差的正弦、余弦和正切公式;(2)了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P217的练习1~5题;(3)课本P220的练习1~5题. 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时) 复习导入以公式�(�−�)为基础,我们已经得到六个和(差)角公式,下面将以和(差)角公式为基础来推导倍角公式.????�(�±�)=????��????��∓????��????��.(�(�±�))????�(�±�)=????��????��±????��????��.(�(�±�))????��±????��????�(�±�)=.(�(�±�))�∓????��????�� 新知探索思考1:试利用公式�(�±�),�(�±�),�(�±�)推导出????�2�,????�2�,????�2�的公式?????�2�=????�(�+�)=????��∙????��+????��∙????��=2????��∙????��;????�2�=????�(�+�)=????��∙????��−????��∙????��=????�2�−????�2�;????��+????��2????��????�2�=????�(�+�)==.1−????��∙????��1−���2�????���=�????��∙????��,(���)????���=????���−????���,(���)�????��????���=�.(���)�−????�� 新知探索思考2:如果要求二倍角的余弦公式(�2�)仅含�的正弦(余弦),那么又可得到:????���=�−�????���=�????���−�.证明:因为????�2�+????�2�=1,所以????�2�=????�2�−????�2�=(1−????�2�)−????�2�=1−2????�2�;????�2�=????�2�−????�2�=????�2�−(1−????�2�)=2????�2�−1.以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了�的三角函数与2�的三角函数之间的关系. 例析5��例5.已知????�2�=,<�<,求????�4�,????�4�,????�4�的值.1342���解:由<�<,得<2�<�.4225512又????�2�=,所以????�2�=−1−()2=−.131313512120于是????�4�=????�[2×(2�)]=2????�2�????�2�=2××(−)=−;13131695119????�4�=????�[2×(2�)]=1−2????�22�=1−2×()2=;13169120????�4�−169120????�4�==119=−.????�4�119169 例析4例6.在∆????�中,????��=,????????=2,求????�(2�+2�)的值.54解法1:在∆????�中,由????��=,0<�<�,得543????��=1−????�2�=1−()2=,553????��3532????��2×424所以????��=????��=5×4=4,????�2�=1−���2�=32=7.1−()42????????2×24又????????=2,所以????�2�===−.1−���2�1−(2)23244????�2�+????�2�7−344于是????�(2�+2�)==244=.1−????�2�∙????�2�1−×(−)11773 例析4例6.在∆????�中,????��=,????????=2,求????�(2�+2�)的值.54解法2:在∆????�中,由????��=,0<�<�,得543????��=1−????�2�=1−()2=,55????��353所以????��==×=.????��5443????��+????????4+211又????????=2,所以????�(�+�)==3=−,1−????��∙????????1−×224112????�(�+�)2×(−2)44所以????�(2�+2�)=????�[2(�+�)]=1−���2(�+�)=112=117.1−(−)2 练习题型一:给角求值例1.化简求值:4�4����(1)????�−????�;(2)????�∙????�∙????�;22242412解:(1)原式=(????�2�+????�2�)(????�2�−????�2�)=(????�2�+????�2�)=????��.2222221���1��(2)原式=(2????�∙????�)∙????�=????�∙????�2242412212121��1�1=(2????�∙????�)=????�=.41212468 练习题型一:给角求值例1.化简求值:21−3���2150°(3)1−2????�750°;(4)????�150°+.2????�150°解:(3)原式=????�(2×750°)=????�1500°1=????�(4×360°+60°)=????�60°=.22���2150°+1−3���2150°1−���2150°1(4)原式===2????�150°2????�150°????�(2×150°)1113===−=−.????�300°????�(360°−60°)????�60°3 练习变1.化简求值:��2????�120°13(1)????�∙????�;(2);(3)−;(4)????�20°????�40°????�80°.12121−���2120°????�10°????�10°1�111解:(1)原式=????�=×=.26224(2)原式=????�240°=????�(180°+60°)=????�60°=3.13????�10°−3????�10°2(2????�10°−2????�10°)(3)原式===????�10°????�10°????�10°????�10°4(????�30°????�10°−????�30°????�10°)4????�(30°−10°)4????�20°===4.2????�10°????�10°????�20°????�20°8????�20°????�20°????�40°????�80°4????�40°????�40°????�80°2????�80°????�80°(4)原式===8????�20°8????�20°8????�20°????�160°????�(180°−20°)????�20°1====.8????�20°8????�20°8????�20°8 练习方法技巧:对于给角求值问题的两种类型及解题策略(1)直接正用、运用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数值相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 练习题型二:条件求值��例2.已知????�(�−)=−3????�(�−),则????�2�=_______.36答案:−43.��解:由于????�(�−)=−3????�(�−),3613333∴????��−????��=−????��−????��,2222整理得:3????��=−2????��,�2????��∴????��=−,则????�2�==−43.�1−���2� 练习�5�????�2�变2.已知????�(−�)=,0<�<,求�的值.4134????�(+�)4���解:∵(−�)+(+�)=,442��5∴????�(+�)=????�(−�)=.4413����又????�2�=????�(−2�)=????�[2(−�)]=2????�(−�)????�(−�),2444��????�2�2????�(4−�)????�(4−�)��1224∴�=�=2????�(+�)=21−????�2(+�)=2×=.????�(+�)????�(+�)44131344 练习方法技巧:解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明确化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论沟通,巧妙���地建立等量关系,从而求值.????�2�=????�(−2�)=2????�(−�)????�(−�).244类似的变换还有:���????�2�=????�(+2�)=2????�(+�)????�(+�),244�2�????�2�=????�(−2�)=2????�(−�)−1,24�2�????�2�=−????�(+2�)=1−2????�(+�)等.24 练习题型三:利用倍角公式解化简与证明问题????�2��例3.(1)化简:(1+????��????�);2????��23−4????�2�+????�4�4(2)求证:=????��.3+4????�2�+????�4�����????�2�????��????�2????�2�????��????�2+????��????�2????�2�????�2解:(1)原式=(1+�)=∙�=∙�=????��.2????��????��????�2????��????��????�2????��????��????�2223−4????�2�+2���42�−11−????�2�2(2)证明:左边==()3+4????�2�+2���42�−11+????�2�2���2�2224=()=(????��)=????��=右边.2���2�3−4????�2�+????�4�4∴=????��.3+4????�2�+????�4� 练习变3.求证:(1)????�2(�+�)−????�2(�−�)=????�2�????�2�;1+????��−????��1+????��+????��2(2)+=.1+????��+????��1−????��+�����????��1+????�(2�+2�)1−????�(2�−2�)????�(2�+2�)+????�(2�−2�)证明:(1)左边=−=222�=(????�2�????�2�−????�2�????�2�+????�2�????�2�+????�2�????�2�)=????�2�????�2�=右边,�∴等式成立.��������2????��(����+����)2????�(????�+????�)????�????�1222222222(2)原式=���+���=�+�=��=.2????�(????�+????�)2????�(????�+????�)????�????�????�????�????��2222222222 练习方法技巧:证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两边的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低、复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤:①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的. 课堂小结&作业课堂小结:(1)理解记忆两倍角公式及其变形;(2)了解两倍角公式的推导过程.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P223的练习1~5题. 5.5.2简单的三角恒等变换 复习导入学习了和(差)角公式、二倍角公式以后,我们就有了进行三角恒等变换的新工具,从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.????�(�±�)=????��????��∓????��????��.(�(�±�))????�(�±�)=????��????��±????��????��.(�(�±�))????��±????��????�(�±�)=.(�(�±�))�∓????��????��????���=�????��∙????��,(���)????���=????���−????���,(���)�????��????���=�.(���)�−????�� 新知探索&例析例7.试以????��表示????�2�,????�2�,????�2�.222�(提示:�与有什么关系?)2�2解:�是的二倍角.在倍角公式????�2�=1−2????��中,2�2�以�代替2�,以代替�,得:????��=1−2????�,222�1−????��∴????�=.①22在倍角公式????�2�=2????�2�−1中,�2�以�代替2�,以代替�,得:????��=2????�−1,222�1+????��∴????�=.②222�1−????��∴将①②两个等式的左右两边分别相除,得:????�=.21+????�� 新知探索&例析例7的结果还可以表示为:�1−????���1+????���1−????��????�=±,????�=±,????�=±,222221+????��α并称之为半角公式,符号由所在象限决定.2因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会存在所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,所以进行三角恒等变换时,常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点. 新知探索&例析例8.求证:(1)????��????��=1[????�(�+�)+????�(�−�)];思考1:这两个式子的左2�+��−�右两边在结构形式上有(2)????��+????��=2????�????�.22什么不同?证明:(1)因为????�(�+�)=????��????��+????��????��,????�(�−�)=????��????��−????��????��,将以上两式的左右两边分别相加,得:????�(�+�)+????�(�−�)=2????��????��,1即????��????��=[????�(�+�)+????�(�−�)].2 新知探索&例析例8.求证:(1)????��????��=1[????�(�+�)+????�(�−�)];思考2:如果不用(1)的2�+��−�结果,如何证明?(2)????��+????��=2????�????�.22证明(证法一):(2)由(1)可得????�(�+�)+????�(�−�)=2????��????��.①�+��−�设�+�=�,�−�=�,那么�=,�=.22把�,�的值代入①,即得�+��−�????��+????��=2????�????�.22 新知探索&例析例8.求证:�+��−�(2)????��+????��=2????�????�.22�+��−��+��−�证法二:∵�=+,�=−.2222�+��−��+��−�∴????��+????��=????�(+)+????�(−)2222�+��−��+��−��+��−��+��−�=(????�????�+????�????�)+(????�????�−????�????�)22222222�+��−�=2????�????�.22 新知探索&例析例8.求证:1(1)????��????��=[????�(�+�)+????�(�−�)];积化和差2�+��−�(2)????��+????��=2????�????�.和差化积22例8的证明用到了换元的方法.如把�+�看作�,�−�看作�,从而把包含�,�的三角函数式转化成�,�的三角函数式.或者,把????��????��看作�,????��????��看作�,把等式看作�,�的方程,则原问题转化为解方程(组)求�.它们都体现了化归思想. 新知探索&例析辨析1:判断正误.�1(1)存在�∈�,使得????�=????��.()22�1(2)对于任意�∈�,????�=????��都不成立.()22�1−????��(3)若�是第一象限角,则????�=.()21+????��答案:√,×,√. 新知探索&例析例9.求下列函数的周期,最大值和最小值:(1)�=????��+3????��;(2)�=3????��+4????��.13解:(1)�=????��+3????��=2(????��+????��)※22思考3:※你能说一说���=2(????��????�+????��????�)=2????�(�+).333这一步变形的理由吗?因此,所求周期为2�,最大值为2,最小值为−2.辅助角公式:�????��+�????��=�2+�2????�(�+�)(��≠0),�其中????��=,�所在象限由�和�的符号确定.� 新知探索&例析例9.求下列函数的周期,最大值和最小值:(1)�=????��+3????��;(2)�=3????��+4????��.解:(2)设3????��+4????��=�????�(�+�),则3????��+4????��=�????��????��+�????��????��.于是�????��=3,�????��=4,于是�2????�2�+�2????�2�=25,所以�2=25.34取�=5,则????��=,????��=.55由�=5????�(�+�)可知,所求周期为2�,最大值为5,最小值为−5. 新知探索&例析�例10.如图,已知????�是半径为1,圆心角为的扇形,C是扇形弧上的动点,3ABCD是扇形的内接矩形.即∠���=�,求当角�取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.解:在��∆????�中,????=????��,��=????��.��在��∆????�中,=????�60°=3.��3333所以��=��=��=????��,????=????−��=????��−????��.33333设矩形ABCD的面积为S,则�=????∙��=(????��−????��)????��33213=????��????��−????��=????�2�−(1−????�2�)326 新知探索&例析�例10.如图,已知????�是半径为1,圆心角为的扇形,C是扇形弧上的动点,3ABCD是扇形的内接矩形.即∠���=�,求当角�取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.13133解:�=????�2�−(1−????�2�)=????�2�+????�2�−2626613131�3=(????�2�+????�2�)−=????�(2�+)−.3226366���5�由0<�<,得<2�+<,3666���133所以当2�+=,即�=时,����=−=.626366�3因此,当�=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为.66由例9、例10可以看到,通过三角恒等变换,我们把�=�????��+�????��转化为�=�????�(��+�)的形式,这个过程蕴含了化归思想. 练习题型一:化简、求值问题83����例1.(1)已知????��=−,且�<�<,求????�,????�,????�的值;17222283�15解:∵????��=−,且�<�<,∴????��=−.17217��3�又<<,22415�1−????��1+17417∴????�===;2221715��1+????��1−17−17????�=−=−=;22217��????�2????�=�=−4.2????�2 练习��(1−????��−????��)(????�+????�)22例1.(2)化简:(−π<α<0).2−2????��2����������(2���−2????�????�)(????�+????�)2????�(????�−????�)(????�+????�)2222222222解:原式==�2�2|????�|2×2���22�2���????�(���−????�)−????�????��2222=�=�.|????�||????�|22��∵−�<�<0,∴−<<0.22�∴????�<0,2�−????�????��2∴原式=�=????��.|????�|2 练习题型二:三角恒等式的证明例2.(1)求证:1+2????�2�−????�2�=2;2????��????��1+????��(2)=.(????��+????��−1)(????��−????��+1)????��证:(1)左边=1+2????�2�−(2????�2�−1)=2=右边.2????��????��2????��????��(2)左边=(2????��????��−2���2�)(2????��????��+2���2�)=4���2�(���2�−���2�)222222222�2�????��????�22���21+????��=2�=�=��==右边.2���????�2????�????�????��2222 练习���2�1变2.求证:1�=????�2�.�−????�4????�22���2����2����2�????��证:左边=��=22=��????�2????�2����−����????�????��−�????��????��22????�????�2222��11=????��∙????�????�=????��????��=????�2�=右边.2224 练习方法技巧:三角恒等式证明的5种常用方法执果索因法证明的形式一般化繁为简左右归一法证明左右两边都等于同一个式子拼凑法针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异为同比较法设法证明“左边—右边=0”或“左边/右边=1”分析法从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立 练习题型三:三角恒等变换的综合应用例3.已知函数�(��)=(????��−????��)2−2????�2�.(1)求函数�(�)的最小正周期与单调递减区间;解:(1)∵�(�)=(????��−????��)2−2????�2�1−????�2��=1−2????��????��−2∙=????�2�−????�2�=2????�(2�+),242�∴函数�(�)的最小正周期为�==�.2又函数�=????��的单调减区间为[2��,�+2��],�∈�;�令2��≤2�+≤�+2��,�∈�;4�3�解得��−≤�≤��+,�∈�;88�3�∴�(�)的单调递减区间为[��−,��+](�∈�).88 练习例3.已知函数�(��)=(????��−????��)2−2????�2�.�(2)若�(�0)=−1,且�0∈(−�,−),求�0的值.2解:(2)若�(�0)=−1,则:��22????�(2�0+)=−1,即????�(2�0+)=−,442��7�3�再由�0∈(−�,−),可得:2�0+∈(−,−);2444�5�3�∴2�0+=−,解得�0=−.444 练习变3.已知函数�(�)=2????��????��−23????�2�+3.(1)求�(�)的最小正周期和对称中心;解:(1)∵�(�)=2????��????��−23????�2�+3�=????�2�−3????�2�=2????�(2�−).32�∴�(�)的最小正周期为�==�.2����由2�−=��,可得�=+.326���∴�(�)的对称中心为(+,0)(�∈�).26 练习变3.已知函数�(�)=2????��????��−23????�2�+3.(2)求�(�)的单调递减区间;�(3)当�∈[,�]时,求函数�(�)的最大值及取得最大值时�的值.2�3�解:(2)又函数�=????��的单调减区间为[+2��,+2��],�∈�;22��3�令+2��≤2�−≤+2��,�∈�;2325�11�解得��+≤�≤��+,�∈�;12125�11�∴�(�)的单调递减区间为[��+,��+],�∈�.1212��2�5�(3)当�∈[,�]时,2�−∈[,],2333�2��∴当2�−=,即�=时,函数�(�)有最大值,最大值为3.332 练习方法技巧:应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简统一化成�(�)=�????���+�????���+�的形式利用辅助角公式化为�(�)=�????�(��+�)+�的形式,研究其性质 练习题型四:三角函数的实际应用例4.如图所示,要把半径为�的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使∆�????�的周长最大?�解:设∠�????=�,∆�????的周长为�,则:????=�????��,????=�????��.��∴�=��+????+????=�+�????��+�????���=�(????��+????��)+�=2�????�(�+)+�.4���3�∵0<�<,∴<�+<,2444���∴�的最大值为2�+�=(2+1)�,此时,�+=,即�=.424�∴当�=时,∆�????的周长最大.4 练习变4.如图所示,要把半径为�的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使∆�????????的面积最大?��解:设∠�????=�,由题意可得0<�<,���2则:????=�????��,????=�????��.设矩形????��的面积为�,�=2????∙????=2�????��∙�????��=�22????��????��=�2????�2�,�∵0<�<,∴0<2�<�.2��2因此当2�=,即�=时,����=�.24�∴当�=时,∆�????的面积最大.4 练习方法技巧:应用三角函数解决实际问题的方法及注意点方法解答此类问题,关键是合理引入辅助角,确定各量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解注意点①充分借助平面几何性质,寻找数量关系②注意实际问题中变量的范围③重视三角函数有界性的影响 课堂小结&作业课堂小结:(1)理解记忆倍角公式及其变形;(2)理解并记忆辅助角公式;(3)了解和差化积、积化和差公式的证明.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P228的练习1~2题;(3)课本习题5.5P228——229的1~6题. 5.6.1匀速圆周运动的数学模型 问题导入我们知道,单位圆上的点,以(1,0)为起点,以单位速度按逆时针方向运动,其运动规律可用三角函数加以刻画.对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢?下面先看一个实际问题.问题:筒车是我国古代发明的一种水利灌输工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。 新知探索假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗?因筒车上盛水筒的运动具有周期性,可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律。思考1:与盛水筒运动相关的量有哪些?它们之间有怎样的关系? 新知探索如图,将筒车抽象为一个几何图形,设经过��后,盛水筒�从点�0运动到点�.由筒车的工作原理可知,这个盛水筒距离水面的高度�,由以下量所决定:筒车转轮的中心�到水面的距离ℎ,筒车的半径�,筒车转动的角速度�,盛水筒的初始位置�0以及所经过的时间�.下面我们分析这些量的相关关系,进而建立盛水筒�运动的数学模型. 新知探索如图,以�为原点,以与水平面平行的直线为�轴建立直角坐标系.设�=0时,盛水筒�位于点�0,以��为始边,��0为终边的角为�,经过��后运动到点�(�,�).于是,以��为始边,��为终边的角为��+�,并且有�=��????(��+�).①所以盛水筒�距离水面的高度�与时间�的关系是�=��????(��+�)+ℎ.②函数②就是要建立的数学模型,只要将它的性质研究清楚,就能把握盛水筒的运动规律.由于ℎ是常量,我们可以只研究函数①的性质。下面我们分析这些量的相关关系,进而建立盛水筒�运动的数学模型. 5.6.2函数的图象 新知探索上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如�=��????(��+�)(其中�>0,�>0)的函数.显然,这个函数由参数�,��,�所确定.因此,只要了解这些参数的意义,知道它们的变化对函数图象的影响,就能把握这个函数的性质.思考2:从解析式看,函数�=�????�就是函数�=��????(��+�)在�=1,,�=1,�=0时的特殊情形.(1)能否借助我们熟悉的函数�=�????�的图象研究参数�,�,�对函数�=��????(��+�)的影响?(2)函数�=��????(��+�)含有三个参数,你认为应按怎样的思路进行研究? 新知探索1.探索�对�=�????(�+�)图象的影响为了更加直观地观察参数�对函数图象的影响,下面借助信息技术做一个数学实验.如图,取�=1,�=1,动点�在单位圆�1上以单位角速度按逆时针方向运动.如果动点�以�0为起点(此时�=0),经过��后运动到点�,那么点�的纵坐标�就等于�????�.以(�,�)为坐标描点,可以得到正弦函数�=�????�的图象. 新知探索�思考3:在单位圆上拖动起点�0,使点�0绕点�1旋转到�1,你发现图象有什么变6化?如果使点�0绕点�1旋转,或者旋转一个任意角�呢?��当起点位于�1时,�=,可得函数�=�????(�+)的图象.66进一步,在单位圆上,设两个动点�0,�1分别以为起点同时开始运动.如果以�0为起点的动点到达圆周上点�的时间为��,那么以�1为起点的动点相继到达点��的时间是(�−)�.这个规律反映在图象上就是:如果�(�,�)是函数�=�????�图象6��上的一点,那么�(�−,�)就是函数�=�????(�+)图象上的点,如图所示.66 新知探索这说明,把正弦曲线�=�????�上的所有点向左平移个单位长度,就得到�=�????(�+�)的图象.6思考4:分别说一说旋转���−,,−时的情况.633一般地,当动点�的起始位置�所对应的角为�时,对应的函数是�=�????(�+�)(�≠0),把正弦曲线上的所有点向左(当�>0时)或向右(当�<0时)平移|�|个单位长度,就得到函数�=�????(�+�)的图象. 新知探索2.探索�(�>0)对�=�????(��+�)图象的影响下面,仍然通过数学实验来探索.如图,取圆的半径�=1.为了研究方便,不妨令���=.当�=1时得到�=�????(�+)的图象.6611思考5:取�=2,图象有什么变化?取�=呢?取�=3,�=,图象又有什么23变化?当�取任意实数呢? 新知探索�取�=2时,得到函数�=�????(2�+)的图象.6进一步,在单位圆上,设以�1为起点的动点,当�=1时到达点�的时间为�1�,当�=2时到达点�的时间为�2�.因为�=2时动点的转速是�=1的2倍,所以�2=1�1�1.这样,设�(�,�)是函数�=�????(�+)图象上的一点,那么�(�,�)就是函数262���=�????(2�+)图象上的相应点,如图所示.这说明,把�=�????(�+)的图象上的661�所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),就得到�=�????(2�+)的图象.�=26��1�????(2�+)的周期为�,是�=�????(�+)的周期的.662 新知探索11同理,取�=时,动点的转速是�=1的倍,以�1为起点,到达点�的时间是�=22�1的2倍.这样,把�=�????(�+)图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不61�1�变),就得到�=�????(�+)的图象.�=�????(�+)的周期为4�,是�=�????(�+2626�)的周期的2倍.62�一般地,函数�=�????(��+�)的周期是,把�=�????(�+�)图象上所有点的横�1坐标缩短(当�>1时)或伸长(当0<�<1时)到原来的倍(纵坐标不变),就得�到�=�????(��+�)的图象. 新知探索3.探索�(�>0)对�=��????(��+�)图象的影响�下面通过数学实验探索�对函数图象的影响.为了研究方便,不妨令�=2,�=.6�当�=1时,如图,可得�=�????(2�+)的图象.611思考6:改变�的取值,使�取2,,3,等,你发现图象有什么变化?当�取任意正数呢?23 新知探索�当�=2时,得到函数�=2�????(2�+)的图象.6进一步,设射线�1�1与以�1为圆心、2为半径的圆交于�1.如果单位圆上以�1为起点的动点,以�=2的转速经过��到达圆周上的点�,那么点�的纵坐标是�????(2�+�);相应地,点�1在以�1为圆心、2为半径的圆上运动到点�,点�的纵坐标是6��2�????(2�+).这样,设�(�,�)是函数图象�=�????(2�+)上的一点,那么点66��(�,2�)就是函数图象�=2�????(2�+)上的相应点,如图所示.这说明,把图象�=6��????(2�+)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),就得到的图象�=6�2�????(2�+).6 新知探索�1同理,把图象�=�????(2�+)上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变),就621�得到�=�????(2�+)的图象.26一般地,函数�=��????(��+�)的图象,可以看作是把�=�????(��+�)图象上所有点的纵坐标伸长(当�>1时)或缩短(当0<�<1时)到原来的�倍(横坐标不变)而得到.从而,函数�=��????(��+�)的值域是[−�,�],最大值是�,最小值是−�.你能总结一下从正弦函数图象出发,通过图象变换得到�=��????(��+�)(�>0,�>0)图象的过程与方法吗? 新知探索一般地,函数�=��????(��+�)(�>0,�>0)的图象,可以用以下方法得到:先画出函数�=�????�个的图象;再把正弦曲线向左(向右)平移|�|个单位长度,得到1函数�=�????(�+�)的图象;然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不�变),得到�=�????(��+�)的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的�倍(横坐标不变),这时的曲线就是函数�=��????(��+�)的图象.思考7:请同学们结合着以上内容,做出这一过程的流程图. 新知探索平移变换:�=????��向左(或右)平移|�|个单位长度�=????�(�+�)1将横坐标变为原来的倍|�|�=????�(��+�)将纵坐标变为原来的�倍�=�????�(��+�)从上述步骤可以清楚地看到,参数�,�,�是如何对函数图象产生影响的. 新知探索伸缩变换:�=????��1将横坐标变为原来的倍|�|�=????����向左(或右)平移||个单位长度��=????�(��+�)将纵坐标变为原来的�倍�=�????�(��+�) 例析�例1.画出函数�=2�????(3�−)的简图.6�解:先画出函数�=�????�的图象;再把正弦曲线向右平移个单位长度,得6�1到函数�=�????(�−)的图象;然后使曲线上各点的横坐标变为原来的,得63�到函数�=�????(3�−)的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍,6�这时的曲线就是函数�=2�????(3�−)的图象,如图所示.6 例析�例1.画出函数�=2�????(3�−)的简图.6�2�下面用“五点法”画函数�=2�????(3�−)在一个周期(�=)内的图象.63�1�令�=3�−,则�=(�+).列表,描点画图.636�0��2��2�23��2�7�5�13�18918918�020−20 例析例2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色。如图,某摩天轮最高点距离地面高度为120�,转盘直径为110�,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30�????.(1)游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动��????后距离地面的高度为�米,求在转动一周的过程中,�关于�的函数解析式;(2)求游客甲在开始转动五�????后距离地面的高度;(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里,在运行一周的过程中,求两人距离地面的高度差ℎ(单位:�)关于t的函数解析式,并求高度差的最大值(精确到0.1). 例析解:如图,设座舱距离地面最近的位置为点�,以轴心�为原点,与地面平行的直线为�轴建立直角坐标系.�(1)设�=0�????时,游客甲位于点�(0,−55),以��为终边的角为−;根据摩��天轮转一周大约需要30�????,可知座舱转动的角速度约为????�/�????,由题意15��可得�=55�????(�−)+65,0≤�≤30.152 例析��解(2)当�=5时,�=55�????(×5−)+65=37.5.152所以,游客甲在开始转动五�????后距离地面的高度约为37.5�.2��解(3)如图,甲、乙两人的位置分别用点�,�表示,则∠���==.经过4824����????后甲距离2地面的高度为�1=55�????(�−)+65,152 例析��点�相对于点�始终落后????�,此时乙距离地面的高度为�2=55�????(�−241513���)+65.则甲、乙距离地面的高度差ℎ=|�1−�2|=55|�????(�−)−24152�13���13���????(�−)|=55|�????(�−)+�????(−�)|,15241522415�+��−�利用�????�+�????�=2�????????�,22���可得ℎ=110|�????�????(�−)|,0≤�≤30.481548���3��当�−=(或),即�≈7.8(或22.8)时,ℎ的最大值为110�????≈7.2.15482248所以,甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2�. 课堂小结&作业课堂小结:(1)了解匀速圆周运动的数学模型;(2)理解并掌握图象变换的两种方式.作业:(1)梳理回顾本节课的例题;(2)制作图象变换的思维导图;(3)课本P239的练习1~4题.

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