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《4.3.1 对数的概念-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
4.3.1对数的概念
1情境导入在4.2.1的问题1中，我们假设经过�年后的游客人次为2001年的�倍，那么�=1.11�(�∈[0,+∞)).通过指数幂运算，我们能从�=1.11�中求出�年后B地景区的游客人次约为2001年的倍数�.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决呢？上述问题实际上就是从2=1.11�，3=1.11�，4=1.11�，…中分别求出�，即已知底数和幂的值，求指数.这就是本节要学习的对数.
2新知探索一般地，如果��=�(�>0且�≠1)，那么数�叫做以�为底�的对数，记作：�=?���，其中�叫做对数的底数，�叫做真数.注：真数�>0.例如，由于2=1.11�，所以�就是以1.11为底2的对数，记作�=?�2；再1.1如，由于42=16，所以以4为底16的对数是2，记作?�16=2.4��=�⇔�=?���
3新知探索通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把?�10�为底记为���.另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数�=2.71820…为底数的对数，以�为底的对数称为自然对数，并把?���为底记为?�.辨析1.判断正误.(1)因为(−2)2=4，所以2=?�4.(−2)(2)?���是?��与�的乘积.�(3)使对数?�2(−2�+1)有意义的�的取值范围是(−∞,).�(4)对数的运算实质是求幂指数.答案：×，×，√，√.
4新知探索根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当�>0,�≠1时，��=�⇔�=?���由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：负数和零没有对数；?��1=0,?���=1.你能利用对数与指数间的关系证明?��1=0,?���=1这两个结论吗？∵�0=1，∴?�1=0.�又∵�1=�，∴?��=1.�
5例析例1.把下列的指数式化为对数式，对数式化为指数式：4−611�(1)5=625;(2)2=;(3)()=5.73;643(4)?�116=−4;(5)��0.01=−2;(6)?10=2.303.2��=�⇔�=?���1解：(1)?�5625=4;(2)log2=−6;(3)log15.73=m;643(4)(1)−4=16;(5)10−2=0.01;(6)�2.303=10.2
6例析例2.求下列各式中�的值：2(1)?�64�=−;(2)?��8=6;��=�⇔�=?��3�(3)��100=�;(4)−?�2=�.22−−21解：(1)∵?�64�=−,∴�=643=4=.3161113(2)∵?��8=6,∴�=86=(2)6=22=2.(3)∵��100=�,∴10�=100=102,�=2.(4)∵−?�2=�,∴�2=�−�,∴�=−2.
7练习题型一：对数的概念例1.在对数式�=?��−2(5−�)中，实数�的取值范围是（）.A.(−∞,2)∪(5,+∞)B.(2,5)C.(2,3)∪(3,5)D.(3,4)解：在对数式�=?��−2(5−�)中，底数为�−2，真数为5−�∴�−2>0�−2≠15−�>0∴2<�<3或3<�<5.故选C.
8练习变1.将下列指数式、对数式互化.①53=125;②?�16=4;③10−2=0.01;④?�125=6.25��=�⇔�=?���解：①∵53=125，∴?�125=3.5②∵?�16=4，∴24=16.2③∵10−2=0.01，∴��0.01=−2.④∵?�125=6，∴(5)6=125.5
9练习题型二：利用指数式与对数式的互化求变量例2.求下列各式中的�的值.9(1)��0.01=�.(2)?�7(�+2)=2.(3)?�2=�.(4)?�132=�.432解：①∵��0.01=�，∴10�=0.01=10−2,�=−2.②∵?�(�+2)=2，∴72=�+2=49,�=47.792�92−2③∵?�2=�，∴()==(),�=−2.434331�1−5④∵?�132=�，∴()=32=(),�=−5.222
10练习变2.利用指数式、对数式的互化求下列各式中�的值.1(1)?�2�=−;(2)?��25=2;2(3)?��2=2;(4)2?��=4.5311−2解：(1)∵?�2�=−，∴22=�=.22(2)∵?�25=2，∴�2=25,�=±5.而�>0且�≠1.即�=5.�(3)∵?��2=2，∴52=�2,�=±5.5(4)∵2?��=4，∴?��=2,32=�=9.33
11练习补充：对数恒等式如果把��=�中的�写成?��，则有�?���=�.�题型三：对数的性质及对数恒等式例3.求下列各式的值.①2−���23;②�3��7;③��0.0012.解：①2−���23=(2���23)−1=3−1=1.3②�3��7=(���7)3=73=343.③��0.0012=��10−6=−6.
12练习变3.求下列各式中�的值.①?�3(���)=1;②?�3(?�4(?�5�))=0.解：①∵?�(���)=1，∴���=3，∴�=103=1000.3②由?�3(?�4(?�5�))=0可得，?�4(?�5�)=1，故?�5�=4，∴�=54=625.
13课堂小结&作业小结：1.对数的概念；2.指对互换.作业：课本P123练习1--3题
