2023年高考数学总复习考点突破第5讲基本不等式精品讲义Word版含解析.docx

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第5讲　基本不等式1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最小值是．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．Ø考点1利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．　3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．　[典例]　1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（       ）A．8B．6C．4D．22．（2022·湖南湖南·二模）函数的最小值为（       ）A．3B．2C．1D．03．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（       ）A．上的最小值为2B．的最大值为1 C．的最大值为4D．的最小值为4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．B．C．D．[举一反三]　1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（       ）A．8B．7C．6D．52．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（       ）A．1B．2C．4D．63．（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（       ）A．40B．C．42D．4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）A．2B．C．D．65．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（       ）A．已知，，且，则B．函数，若，且，则的最小值是C．已知，则的最小值为D．已知，则的最小值为6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（       ）A．B．C．D．7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为____________，此时____________． 8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设，那么的最小值是___________.10．（2022·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为__________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知，求的最小值；Ø考点2利用基本不等式证明不等式[名师点睛]证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性．[典例]　（2022·全国·高三专题练习）已知都是正数，求证：(1)；(2)若，则. [举一反三]　1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.(1)求的最小值；(2)求证：.2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知. (1)若，求的最小值；(2)求证：.3．（2022·河南开封·二模（文））已知，且abc=1.(1)求证：；(2)若a=b+c，求a的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，满足．(1)求的最大值；(2)证明：． Ø考点3基本不等式中的恒成立问题[名师点睛]1．已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max，a0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．B．C．D．[答案]　A　[解析]　由x>0，＝，令t＝x＋，则t≥2＝2， 当且仅当x＝1时，t取得最小值2.取得最大值，所以对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则a≥.[举一反三]　1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（       ）A．8B．7C．6D．5【答案】D【解析】因为，所以3x－1>0，所以，当且仅当，即x=1时等号成立，故函数的最小值为5．故选：D．2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（       ）A．1B．2C．4D．6【答案】C【解析】解：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；故选：C3．（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（       ）A．40B．C．42D．【答案】D【解析】，又，当且仅当时取“=”，则，所以当时，的最大值为. 故选：D4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）A．2B．C．D．6【答案】B【解析】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（       ）A．已知，，且，则B．函数，若，且，则的最小值是C．已知，则的最小值为D．已知，则的最小值为【答案】AC【解析】对于选项A，∵，，，∴，∴，当且仅当时取等号，∴，∴A正确；对于选项B：因为，所以，又，所以由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，所以，即，故B不正确；对于选项C，根据题意，已知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故C正确；对于选项D，，令，所以，所以，此时无解，所以选项D不正确， 故选：AC．6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（       ）A．B．C．D．【答案】AB【解析】对于A：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以成立.故A正确；对于B：因为，所以，当且仅当时取等号.所以成立.故B正确；对于C：因为，所以，所以.记，则，所以，所以，即.故C错误；对于D：因为所以.故D错误.故选：AB7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为____________，此时____________．【答案】        【解析】,为正实数,且,当且仅当即，时取“=” 故答案为:8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.【答案】9【解析】，当且仅当时等号成立，取等条件满足，所以的最小值为9.故答案为：99．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设，那么的最小值是___________.【答案】【解析】解：，所以，当且仅当，即时取等号；所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当、时取等号；故答案为：10．（2022·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为__________.【答案】【解析】.因为，，且，所以，当且仅当即时取等.所以.，即的最大值为.故答案为：. 11．（2022·全国·高三专题练习）已知，求的最小值；【答案】【解析】由.所以≥，当且仅当时等号成立，综上，的最小值为.Ø考点2利用基本不等式证明不等式[名师点睛]证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性．[典例]　（2022·全国·高三专题练习）已知都是正数，求证：(1)；(2)若，则.【解】(1)，∵都是正数，∴，当且仅当“”时等号成立，∴.(2) ，当且仅当“”时等号成立，∴.[举一反三]　1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.(1)求的最小值；(2)求证：.【解】(1)因为，当且仅当“”时等号成立，所以当时，的最小值为.(2)因为，同理，，所以三式相加得，所以，当且仅当“”时等号成立2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知.(1)若，求的最小值；(2)求证：.【解】(1)因为，所以，又，所以，所以当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.(2)因为①，②，③，所以，由①②③，同向不等式相加可得：，当且仅当，即时取等号.即成立. 3．（2022·河南开封·二模（文））已知，且abc=1.(1)求证：；(2)若a=b+c，求a的最小值.【解】(1)，当且仅当时等号成立.(2)依题意，，所以，当且仅当时等号成立.所以，所以的最小值为，此时.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，满足．(1)求的最大值；(2)证明：．【解】(1)由，当且仅当时，取得等号．又，所以．故当且仅当时，取得最大值1．(2)证明：要证，需证．因为，即，当且仅当时取得等号．故．Ø考点3基本不等式中的恒成立问题 [名师点睛]1．已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max，a0，∴(x2018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2016)≥2×(2＋2＋…＋2)＝2018x2017，当且仅当x＝1时等号成立，因此实数解的个数为1. 3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（       ）（精确到1米）A．8米B．9米C．10米D．11米【答案】C【解析】由题意知，，设，则，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以大约为10米.故选：C.[举一反三]　1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（       ）A．30B．60C．900D．1800【答案】B【解析】，当且仅当，即当时等号成立.所以f（Q）的最小值是60.故选：B.2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知为锐角三角形，且，则下列结论中正确的是（       ）A．B． C．D．的最小值为4【答案】ABC【解析】解：因为，两边同除得，故A正确；由均值不等式解得当且仅当时取等号，，所以，故B正确；，由，所以，所以得，故C正确；，由且在上单调递增，所以的最小值为，故D错误．故选：ABC3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.【答案】    4    48【解析】解：设，则，则，则，当且仅当，即时等号成立，故矩形花坛的面积最小值为． 即当时，矩形花坛的面积最小，最小面积为48.故答案为：4；48.