高中数学解题基本方法定义法及训练习题集

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高中数学解题基本方法定义法及训练习题集所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。Ⅰ、再现性题组：1.已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。A.2≤n≤9B.7≤n≤9C.5≤n≤9D.5≤n≤72.设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。A.MP1C.a>0D.a<－1或a>14.椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_____。A.8C.7.5C.D.3

11.奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____。A.TB.0C.D.不能确定2.正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。【简解】1小题：利用并集定义，选B；2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；3小题：利用复数模的定义得<，选A；4小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A；5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－)＝f()＝－f(－)，选B；6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。Ⅱ、示范性题组：例1.已知z＝1＋ｉ，①设w＝z＋3－4，求w的三角形式；②如果＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国理）【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）；

2由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；根据复数相等的定义，得：，解得。【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。例2.已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判定在(,1)上的单调性。【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。【解】解得：∴f(x)＝－x＋x解f(x)>0得：0，x+x>∴(x+x)(x+x)〉×＝1

3∴f(x)－f(x)>0即f(x)在(,1)上是减函数∵<1∴y＝logf(x)在(,1)上是增函数。A’ADC’COHB’B【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。例3.如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。①证明：AB’∥平面DBC’；②假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理）【分析】由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。【解】①连接B’C交BC’于O,连接OD∵A’B’C’—ABC是正三棱柱∴四边形B’BCC’是矩形∴O是B’C中点△AB’C中，D是AC中点∴AB’∥OD∴AB’∥平面DBC’②作DH⊥BC于H，连接OH∴DH⊥平面BC’C

4∵AB’∥OD,AB’⊥BC’∴BC’⊥OD∴BC’⊥OH即∠DOH为所求二面角的平面角。设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝sin60°＝，BH＝，EH＝；Rt△BOH中，OH＝BH×EH＝，∴OH＝＝DH∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以＝＝，EF＝B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E×EF＝BE即B’E＝1，所以B’E＝。

5yMFAx例4.求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程。【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到＝建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：，消m得：（x－1）＋＝1，所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋＝1。【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。Ⅲ、巩固性题组：

61．函数y＝f(x)＝a＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)的表达式是___。2.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A、B,则∠AFB等于_____。A.45°B.60°C.90°D.120°3.已知A＝{0,1}，B＝{x|xA}，则下列关系正确的是_____。A.ABB.ABC.A∈BD.AB4.双曲线3x－y＝3的渐近线方程是_____。A.y＝±3xB.y＝±xC.y＝±xD.y＝±x5.已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是_____。A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇既偶函数6.C＋C＝________。7.Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数的辐角主值是__________。8.不等式ax＋bx＋c>0的解集是(1,2)，则不等式bx＋cx＋a<0解集是__________。9.已知数列{a}是等差数列，求证数列{b}也是等差数列，其中b＝(a＋a＋…＋a)。10.已知F、F是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，其中F

7与抛物线y＝12x的焦点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠MFF·cos∠MFF＝，求椭圆方程。