高中数学解题基本方法参数法及训练习题集

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1、高中数学解题基本方法参数法及训练习题集参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。参数法解题

2、的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。Ⅰ、再现性题组：1.设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。2.（理）直线上与点A(-2,3)的距离等于的点的坐标是________。（文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。3.点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。4.三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。5.设函数f(

3、x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)6.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是_____。A.3B.C.D.2【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝，所以e＝－；3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为

4、：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；4小题：设三条侧棱x、y、z，则xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，选C。Ⅱ、示范性题组：例1.实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。【分析】由a＋b＋c＝1想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝

5、0，∴a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥所以a＋b＋c的最小值是。【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥。两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。例2.椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若k·k＝－，①．求证：OP＋OQ等于定值；②.求线段PQ

6、中点M的轨迹方程。【分析】由“换元法”引入新的参数，即设（椭圆参数方程），参数θ、θ为P、Q两点，先计算k·k得出一个结论，再计算OP＋OQ，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。【解】由＋＝1，设，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),则k·k＝＝－，整理得到：cosθcosθ＋sinθsinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0。∴OP＋OQ＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，即OP＋OQ

7、等于定值20。由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为，所以有()＋y＝2＋2(cosθcosθ＋sinθsinθ)＝2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ＋cosθ）＋（sinθ＋sinθ），这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成

8、为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：设直线