高中数学常用解题方法之定义法.doc

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1、高中数学常用解题方法之定义法定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。一．奇（偶）函数的定义一般地，对函数f(x)，如果对于定义域内每一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；如果都有f(x)f(x)，那么函数f

2、(x)叫做偶函数．奇偶函数的定义域关于原点对称．例1.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()(A)f(x)+

3、g(x)

4、是偶函数(B)f(x)-

5、g(x)

6、是奇函数(C)

7、f(x)

8、+g(x)是偶函数(D)

9、f(x)

10、-g(x)是奇函数解析:选A.∵g(x)是R上的奇函数,∴

11、g(x)

12、是R上的偶函数,从而f(x)+

13、g(x)

14、是偶函数。例2．判断下列函数的奇偶性．1－x4－x2(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)；(3)f(x)＝.1＋x

15、x＋3

16、－33－x2≥0，解析(1)由

17、得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．x2－3≥0又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．1－x≥0，1＋x(2)由得－1

18、x＋3

19、－3≠0∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．4－x24－x2∴f(x)＝＝.∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．x＋3－3x注：先求定义域，看定义

20、域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断f(-x)与f(x)的关系，分段函数应分情况判断.1例3．若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________.2x－111解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．即＋a＝－－a.2－x2x－1－12x12x－11∴＋a＝－－a.∴＝2a，∴a＝.1－2x2x－12x－12x例4.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2+2x+b(b为常数),则f(-1)=()(A)-3(B)-1(C)1(D)30解：选A.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0

21、)=2+2×0+b=0,解得b=-1,x1所以当x≥0时,f(x)=2+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(2+2×1-1)=-3。二．周期性函数的定义一般地，对函数f(x)，存在非零正常数T，如果对于定义域内每一个x，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，T叫函数f(x)的周期．特别地，对于k∈Z且k≠0，kT也是函数f(x)的周期．1例1．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，fxf(x)＝2x，则f(113.5)的值是()2211A．－B.C．－D.77551解析：选

22、D∵f(－x)＝f(x)，f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－＝f(x)，f(x3)∴f(x)的周期为6.∴f(113.5)＝f(19×6－0.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝f(－2.5111＋3)＝－，.f(2.5)2(2.5)5例2.已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,对x∈R都有f(2+x)=f(2-x),当f(-3)=-2时,f(2007)的值为()(A)2(B)-2(C)4(D)-4解析：选B.∵函数f(x)是R上的偶函数,∴f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),∴f(x+4)=f(x),故函数f(x)是以4

23、为周期的偶函数,∴f(2007)=f(3)=f(-3)=-2.例3．定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(4)＝f(0)．其中判断正确的序号是________．解析f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数．又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)关于直线x＝1对称，由此可得①⑤正确．【

24、答案】①⑤三、增函数和减函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,x，当xx，都有f(x)f(x)那