河北省沧衡八校联盟2020-2021学年高一下学期期中考试数学Word版含解析

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2020-2021学年河北省沧衡八校联盟高一下学期期中考试数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．下列几何体中，面的个数最少的是（　　）A．四面体B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台2．已知复数z满足z（i+1）＝i2021﹣1，则复数z的虚部为（　　）A．1B．﹣1C．iD．﹣i3．已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αB．若m⊥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nD．若m∥n，n⊂α，则m∥α4．在△ABC中，AB＝4，AC＝6，A为钝角，则BC的取值范围是（　　）A．B．C．（2，10）D．5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A'B'C'D'为矩形，其中A'D'＝2A'B'＝2，则原平面图形的周长为（　　）A．B．8C．14D．6．《九章算术》中，将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．若阳马以如图所示的正六棱柱的顶点为顶点，以正六棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则阳马的个数为（　　）A．16B．24C．12D．47．已知△ABC是边长为2的正三角形，点M为△ABC所在平面内的一点，且，则AM长度的最小值为（　　）A．B．C．D．8．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1D1，A1B1，BB1，的中点，过E，F，G三点的平而截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（　　）

1A．4B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列情况中，适合用抽样调查的是（　　）A．调查某村去年新生婴儿的数量B．调查某地区一年内的空气质量状况C．调查一条河流的水质D．调查一个班级学生每天的睡眠时间10．如图是一个正方体的平面展开图，下列关于原正方体的判断正确的是（　　）A．EB⊥AGB．BH⊥平面EDGC．DH⊥平面EDGD．平面ACH∥平面EBG11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得△ABC恰有一个解的是（　　）A．，b＝4，B．，b＝4，C．，b＝4，D．，b＝4，12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线a和b分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，a与b的夹角为θ，且，当BC1与b所成角为60°时，则a与侧面BCC1B1所成角的正切值可能为（　　）A．2B．3C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知非零向量，满足，则与的夹角为　　．14．写出一个虚数z，使z2的实部为3，则z＝　　．15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”

2．类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△ABC，若△ABC的边长为，且，则△DEF的面积为　　．16．已知一球体刚好和圆台的上、下底面侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该球体的表面积为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应与出必要的艾子说明，证明过程或演算步骤.17．2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人．为了解全校学生问卷测试成绒的情况，按年级进行分层随机抽样得到容量为100的样本．（1）若在各层中按比例分配样本，试问在各年级中应分别抽取多少人？（2）如果高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分，求该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分．18．已知复数，且．（1）求复数z及|z|；（2）若复数（z+m）2（m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若a+c＝2b，求A．20．如图，四边形ABCD是矩形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，BC＝3，DE＝CD＝2FB＝2．（1）证明：平面AED∥平面BCF．（2）求三棱锥B﹣CEF的体积．21．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，G是线段AD上一点，且，过点G作直线与AB，AC分别交于点E，F．（1）用向量，表示．

3（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，，AC＝AD，∠CBD＝2∠CBD＝90°．（1）证明：BC⊥平面ABD．（2）在侧面ACD内求作一点H，使得BH⊥平面ACD，写出作法（无需证明），并求线段AH的长．

4参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．下列几何体中，面的个数最少的是（　　）A．四面体B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台解：四面体有4个面，四棱锥有5个面，四棱柱和四棱台有6个面．故选：A．2．已知复数z满足z（i+1）＝i2021﹣1，则复数z的虚部为（　　）A．1B．﹣1C．iD．﹣i解：∵i2021＝i2020×i＝（i4）505×i＝i，∴，∴z的虚部为1．故选：A．3．已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αB．若m⊥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nD．若m∥n，n⊂α，则m∥α解：若m⊥n，n⊂α，不一定m⊥α，可能m∥α，故A错误；若m⊥α，n⊂α，由线面垂直的定义可得m⊥n，故B错误，C正确；若m∥n，n⊂α，可得m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C．4．在△ABC中，AB＝4，AC＝6，A为钝角，则BC的取值范围是（　　）A．B．C．（2，10）D．解：由于A为钝角，所以cosA＜0，根据余弦定理的应用：，所以：42+62﹣BC2＜0，解得，利用三角形的三边长的关系式：BC＜4+6＝10，故．故选：A．5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A'B'C'D'为矩形，其中A'D'＝2A'B'＝2，则原平面图形的周长为（　　）

5A．B．8C．14D．解：把直观图还原出原平面图形，如图所示；∴这个原平面图形为邻边分别为6，l的平行四边形，它的周长为6+6+1+1＝14．故选：C．6．《九章算术》中，将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．若阳马以如图所示的正六棱柱的顶点为顶点，以正六棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则阳马的个数为（　　）A．16B．24C．12D．4解：根据正六边形的性质，以正六棱柱下底面的顶点为顶点的内接矩形共3个，而每个矩形可以形成4个不同的阳马，所以阳马的个数是12．同理，以上底面中的矩形为底面的情况下也有12个阳马，因此共有24个不同的阳马．故选：B．7．已知△ABC是边长为2的正三角形，点M为△ABC所在平面内的一点，且

6，则AM长度的最小值为（　　）A．B．C．D．解：如图，以BC的中点O为原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系xOy，即，B（﹣1，0），C（1，0），则，．设M（x，y），则，，，所以．设，，解得，，则，当且仅当t2＝2时取得等号．所以AM长度的最小值为．故选：B．8．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1D1，A1B1，BB1，的中点，过E，F，G三点的平而截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（　　）A．4B．C．D．解：如图示：

7可知过E，F，G三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为正六边形EFGHIK，且该正六边形的棱长为，所以该正六边形的面积为，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列情况中，适合用抽样调查的是（　　）A．调查某村去年新生婴儿的数量B．调查某地区一年内的空气质量状况C．调查一条河流的水质D．调查一个班级学生每天的睡眠时间解：A，D适合用全面调查，因为调查对象较少；B，C适合用抽样调查，因为调查对象较多．故选：BC．10．如图是一个正方体的平面展开图，下列关于原正方体的判断正确的是（　　）A．EB⊥AGB．BH⊥平面EDGC．DH⊥平面EDGD．平面ACH∥平面EBG解：由正方体的平面展开图可得，该正方体的直观图如图所示，因为EB，AF分别为正方形ABFE的对角线，所以EB⊥AF，又AD⊥平面ABFE，且EB⊂平面ABFE，所以EB⊥AD，又AD∩AF＝A，AD，AF⊂平面ADGF，则EB⊥平面ADGF，又AG⊂平面ADGF，所以EB⊥AG，故选项A正确；由选项A可知，同理可得ED⊥平面ABGH，又BH⊂平面ABGH，所以ED⊥BH，同理可得EG⊥BH，又ED∩EG＝E，ED，EG⊂平面EDG，所以BH⊥平面EDG，故选项B正确；

8因为DH⊥平面EFGH，而平面EFGH与EDG相交于直线EG，所以DH不可能垂直平面EDG，故选项C错误；由AC∥EG，且AC⊄平面EBG，EG⊂平面EBG，则AC∥平面EBG，同理可证AH∥平面EBG，又AC∩AH＝A，AC，AH⊂平面ACH，故平面ACH∥平面EBG，故选项D正确．故选：ABD．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得△ABC恰有一个解的是（　　）A．，b＝4，B．，b＝4，C．，b＝4，D．，b＝4，解：对于选项A，a＜b且A＝，∴△ABC无解，∴A错；对于选项B，bsinA＝a，可知△ABC为直角三角形，∴△ABC恰有一解，∴B对；对于选项C，bsinA＝2＜a＜b，∴△ABC有两解，∴C错；对于选项D，a＞b且A＝，∴△ABC恰有一个解．故选：BD．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线a和b分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，a与b的夹角为θ，且，当BC1与b所成角为60°时，则a与侧面BCC1B1所成角的正切值可能为（　　）A．2B．3C．D．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD＝BC1＝C1D，

9则直线BD与BC1所成的角为60°，又BC1与b所成角为60°，所以b∥BD或b∥AC，当b∥BD时，过点C作直线CE与BD交于点O，直线CE与BD的夹角的正弦值为，则a∥CE，此时θ＝∠COD或∠BOC，a与侧面BCC1B1所成角为∠ECB，因为，则tanθ＝3，当θ＝∠COD时，tan∠ECB＝tan（）＝；当θ＝∠BOC时，tan∠ECB＝tan（π﹣）＝﹣tan＝，当b∥AC时，同理可得a与侧面BCC1B1所成角的正切值可能为或2．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知非零向量，满足，则与的夹角为　　．解：设与的夹角为θ，由，可得，所以，则．故答案为：．

1014．写出一个虚数z，使z2的实部为3，则z＝　2﹣i　．解：设z＝a+bi，a，b∈R，则z2＝a2﹣b2+2abi，只需满足a2﹣b2＝3，且b≠0，令a＝2，b＝﹣1，故z＝2﹣i．故答案为：2﹣i．15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△ABC，若△ABC的边长为，且，则△DEF的面积为　　．解：因为，所以CF＝AD＝2AF，设AF＝a，则CF＝2a，在△ACF中，由余弦定理可得，解得a＝1，所以．故答案为：．16．已知一球体刚好和圆台的上、下底面侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该球体的表面积为　8π　．解：如图，在截面梯形ABDC中，CD＝2ED＝4，AB＝2BF＝2，EF＝2OE＝2OM＝2r，∵S△ABDC＝＝，∴×（4+2）×2r＝×4×r+2××BD×r+×2×r，解得BD＝3．又∵BD2＝（2r）2+（DE﹣BF）2，∴r2＝2，则该球体的表面积为4πr2＝8π．故答案为：8π．

11四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应与出必要的艾子说明，证明过程或演算步骤.17．2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人．为了解全校学生问卷测试成绒的情况，按年级进行分层随机抽样得到容量为100的样本．（1）若在各层中按比例分配样本，试问在各年级中应分别抽取多少人？（2）如果高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分，求该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分．解：（1）该校共有学生1200+960+840＝3000人，高一年级应抽取人，高二年级应抽取人，高三年级应抽取人．（2）全体学生问卷测试成绩的平均分为分．18．已知复数，且．（1）求复数z及|z|；（2）若复数（z+m）2（m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．解：（1）因为，且，所以，解得或（舍去），所以复数，．（2），因为复数（z+m）2在复平面内对应的点在第四象限，所以，

12解得：，即m的取值范围是（﹣∞，）．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若a+c＝2b，求A．解：（1）由化简可得asinA+csinC﹣bsinB＝asinC，再由正弦定理得a2+c2﹣b2＝ac，所以，又因为B∈（0，π），所以；（2）因为a+c＝2b，所以sinA+sinC＝2sinB，从而，可得，所以，又因为，所以．20．如图，四边形ABCD是矩形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，BC＝3，DE＝CD＝2FB＝2．（1）证明：平面AED∥平面BCF．（2）求三棱锥B﹣CEF的体积．【解答】（1）证明：∵ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，∴BF∥DE．又∵DE⊂平面ADE．BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE．在矩形ABCD中，BC∥AD，且AD⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，

13∴BC∥平面ADE．又BC∩BF＝B，∴平面AED∥平面BCF；（2）解：∵FB⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴FB⊥CD．在矩形ABCD中，BC⊥CD．又FB∩BC＝B，∴CD⊥平面FBC．由已知可得ED∥平面BCF，∴点E到平面BCF的距离为CD，∴VB﹣CEF＝VE﹣BCF＝＝＝1．21．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，G是线段AD上一点，且，过点G作直线与AB，AC分别交于点E，F．（1）用向量，表示．（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（l）＝＝＝；（2）设，，则，因为＝＝＝，所以，即，故为定值．22．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，，AC＝AD，∠CBD＝2∠CBD＝90°．（1）证明：BC⊥平面ABD．

14（2）在侧面ACD内求作一点H，使得BH⊥平面ACD，写出作法（无需证明），并求线段AH的长．【解答】（1）证明：因为∠CBD＝90°，所以BC⊥BD，又因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥AB．在△BCD中，，∠CBD＝2∠CDB＝90°，所以BC＝BD＝2，，可得AC2＝AD2＝BC2+AB2，则AB⊥BC．又因为AB∩BD＝B，所以BC⊥平面ABD．（2）解：作法：如图，取CD的中点E，连接AE，过B作BH⊥AE，垂足H即要求作的点，因为AB⊥BD，AB⊥BC，BC∩BD＝B，所以AB⊥平面BCD，连接BE，则AB⊥BE．因为BD⊥BC，BC＝BD，所以，则．由等面积法可得，故．