河北省沧衡八校2023届高三上学期11月期中联考数学（含解析）

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沧衡八校高三年级2022~2023学年上学期期中考试数学试题注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A∩B=A.(-∞，1]B.[0，]C.[1，)D.(-，1]2.已知复数z满足，则z=A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+i3.某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是件数7891011人数36542A.8.5B.10C.9.5D.94.若，，则A.B.C.D.5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将正自然数中，能被3除余1且被2除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则A.103B.109C.115D.1216.已知函数(c为整数)，若，则的值不可能是A.-3B.0C.1D.57.已知A，B均为抛物线C1：上的点，F为C的焦点，.则直

1线AB的斜率为A.B.C.D.8.已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是A.(0，2)B.(0，)C.(，+∞)D.(2，+∞)二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是A.，B.存在，使得为质数C.，D.若，则的最大值为10.已知函数)的部分图象如图所示，将的图象的图象，则下列判断错误的是A.g(x)的图象关于y轴对称B.g(x)的最小正周期是C.g(x)的图象关于点(-，0)对称D.g(x)在上单调递减11.黎曼函数R(x)是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上.当(p，q都是正整数，为最简真分数)时，，当或1或x为(0，1)内的无理数时，.若为偶函数，为奇函数，当，1]时，则A.B.

2C.D.12.如图，在长方体中，E，F分别是棱AD，的中点，点P在侧面内，且)，则三棱锥P-BB1F外接球表面积的取值可能是A.10πB.20πC.12πD.44π三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则m=__________.14.写出与圆和圆都相切的一条直线的方程:__________.15.某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有__________种.16.已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且直线的斜率为，若半径为b的圆M同时与F1P的延长线，F1，F2的延长线以及线段相切，则椭圆的离心率为__________.四、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知为等比数列，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.

318.(12分)冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，2022年冬季奥运会由中国北京承办，本届赛事共设7个大项，15个分项，109个小项，共计产生109枚金牌，某校组织了一次有关冬奥会的知识竞赛，知识竞赛试卷中有一类双项选择题，每题有4个备选项，其中有且仅有2项是正确的，得分规则如下:所选选项中，只要有错误选项，得0分；弃答得1分；仅选1项且正确，得2分；选2项且正确得6分。(1)同学甲在一道双项选择题中随机选择两个选项，求甲在该题中获得0分的概率.(2)学生乙对其中一道双项选择题只能确定1个选项是错误的，现有2个策略:①从剩下3个选项中任选1个作答；②从剩下3个选项中任选2个作答，为使得分的期望最大，乙应该选择哪一个策略？19.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PA，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2，AB=3，E是棱AD的中点.(1)证明BC⊥平面PCE；(2)若，求平面PCE与平面PAB的夹角的余弦值.20.(12分)人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍，此时位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥肠镜的猎豹，猎豹正目不转助地盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上.(1)求此时指豹与羚羊之间的距离.(2)若此时猜豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以28m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20m/s的速度沿北偏东15°方向透跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600m，试问猎豹这次辅猎是否有成功的可能？若有可能，求猎豹猎成功的最短时间:若不能，请说明原因.21.(12分)已知双曲线C：的右焦点F(4，0)到渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得点F到直线PA，PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。22.(12分)已知函数.(1)讨论在(0，+∞)上的单调性；(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.

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5沧衡八校高三年级2022~2023学年上学期期中考试数学试题参考答案1.D因为，，所以.2.A设，则，所以，所以，解得，故.3.D抽取的工人总数为20，，那么第60百分位数是第12和第13件数的平均数，第12和第13件数分别为9，9，所以第60百分位数是9.4.C因为，所以=.5.C由题意可得，是以1为首项，6为公差的等差数列，所以，.6.B设，则，所以.因为，所以因为c为整数，所以2c为偶数，则2c-3为奇数.7.C当直线AB的斜率大于0时，如图，过A，B作准线的垂线，垂足分别为D，E，过B作BG⊥AD，G为垂足.因为，所以可设|AF|=7x，|BF|=3x，因为A，B均在C上，所以，，，，所以f，则.当直线AB的斜率小于0时，同理可得.综上，直线AB的斜率为.

68.B设，则，因为，所以，即，所以g(x)在R上单调递减.不等式等价于不等式，即.因为，所以，所以.因为g(x)在R上单调递减，所以，解得.9.BCD因为，，所以A是假命题.因为，且29为质数，所以B为真命题.，当且仅当，即时，等号成立，所以C为真命题若，则，当且仅当.，即时，等号成立.所以D为真命题.10.ABD由图可知A=2，的图象关于直线对称，所以的最小正周期，所以，则.由五点作图法可知)，所以，所以.将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则g(x)=，则A，B错误.令，解得，当时，则C正确.令，解得，则D错误.11.BC.因为为偶函数，所以g(x)的图象关于直线对称.因为为奇函数，所以g(x)的图象关于点(2，0)对称.

7所以，所以，所以.所以.若a，b中至少有一个为0或1或(0，1)内的无理数，而，则.若a，b均为(0，1)内的有理数，设，(，，，，m，p为正整数，，为最简直分数)，则.当能约分时，则约为最简真分数后的分数的分母，；当不能约分时，此时.综上，当时，而，.所以.12.BCD如图，连接EF，D1E，D1F，易证四边形BED1F是平行四边形，则点PD在线段D1E上，取A1D1的中点G，连接AG，GF，分别取BF，AG的中点O1，O2，连接O1O2，易知三棱锥P-BB1F外接球的球心O在直线O1O2上，连接OB，OP，O2E，O2P.设三棱锥P-BB1F外接球的半径为R，则.因为AD=2AB=AA1=4，所以O1O2=2，O1B=O2E=，所以，所以.则当P与E重合时OO1=1，此时三棱锥P-BB1F外接球的半径取得最小值；当P与D1重合时OO1=3，此时三棱锥P-BB1F外接球的半径取得最大值，故三棱锥P-BB1F外接球表面积的取值范围是[12π，44π].

813.1因为.所以，所以，所以，所以，解得.14.答案不唯一，只要写出，，其中一个即可)在直角坐标系中，画出这两个圆，根据对称性可知这两个圆的公切线的方程为，，.15.420第一步，先确定1个班分配4个参赛名额，有种分配方案；第二步，将剩下的16个参赛名额分成3份，有种分配方案.故不同的分配方案有种.16.设圆M分别与F1P的延长线，F1F2的延长线以及线段PF2相切于点Q，T，N，则，，，所以，，所以，所以，又因为.所以，解得即，又，解得，所以椭圆的离心率为.

917.解:(1)设等比数列的公比为q，则................................................2分所以........................................4分故..........................................................................5分........................................8分...................................................................10分18.解:(1)同学甲随机选择两个选项共有种情况.........................................................2分所以甲在该题中获得0分的概率为.........................................................................4分(2)设策略①分为X可取为X，X的可能取值为0，2，.......................................................5分，.........................................................................6分则X的分布列为X01P.........................................................................7分

10.........................................................................................................8分设策略②分为Y，Y可能取值为0，6，...................................................................................9分，...........................................................10分则Y的分布列为Y06P.........................................................................11分显然所应选策略②.........................................................................12分19.(1)证明:在棱AB上取点F，使得AF=2BF=2，连接CF，BE.易证四边形AFCD是正方形，则BC=CE=，BE=.........................1分从而，故BC⊥CE........................................................1分因为PA=PD，且E是棱AD的中点，所以PE⊥AD............................................................3分因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PE⊥平面ABCD................4分因为BC平面ABCD，所以PE.............................................................5分因为PE平面PCE，CE平面PCE，且PE∩CE=E，所以BC⊥平面PCE..............................6分(2)解:以E为原点，分别以，的方向为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知A(1，0，0)，B(1，3，0)，C(-1，2，0)，P(0，0，2)，则..........7分设平面PAB的法向量

11则，令，得..............................9分由(1)可知BC⊥平面PCE，则平面PCE的一个法向量为...........................10分设平面PCE与平面PAB的夹角为θ，则.............................................12分20.解:(1)由题意可知，，，........................1分m，m.............................................2分由正弦定理，可得...........................................3分因此或120°当时，，猎豹与羚羊之间的距离为m.................5分当，，猎豹与羚羊之间的距离为m.................6分(2)由(1)可知，若猎豹到点C处比到点B处羚羊的距离更近。则，，AB=200m...................................................................7分设猎豹在最短时间内捕猎成功的地点为点Q，AQ=xm，则m，则...............................9分整理行，解得(负根舍去)....................................................10分因为所以豹这次有功可........1分且狩猎成功的最短时间为s.......................................................................12分21.解:(1)由题可知.......................................................1分又是双曲线C的一条渐近线，...................................2分所以，解得..........................................3分所以，....................................................................4分

12所以双曲线C的标准方程为...................................................5分(2)假设存在P(n，0)，设，，设直线AB：，则，得，则...............................................................................7分因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是∠APB的角平分线，则...............................................................................9分即，，，即，因为，所以........................................................11分故存在P(1，0)满足题意..................................................................................................12分22.解，(1)因为，所以...................1分当时，由，得由，得.则在(0，3)上单调递减，在(3，)单递.............................................................2分当时，由，得；由，得，则在(0，3)上单调递增，在(3，+∞)上单调递减......................................3分综上，当时，在(0，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增；当，在(0，3)上单调递增，在(3，+∞)上单调递减.................................................4分

13(2)不等式恒成立，即不等式恒成立，即等价于a≤恒成立..................................................5分设，则.........6分设，则.设，则............................................7分由，得，所以在上单调递增，则，即，故在上单调递增，.......................................................................9分因为，所以当时，，当时，，所以g(x)在(0，3)上单调递减，在(3，+∞)十单调递增，则.....................................................................11分故，即a的取值范围是(-∞.......................................12分