2022年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03（解析Word版）

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2022年6月北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03第一部分（选择题共60分）一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分）1．已知集合，，则　　A．，B．，C．，D．，【答案】【详解】，，，，故选：．2．已知复数满足，则的虚部为　　A．2B．C．1D．【答案】【详解】复数满足，则，即的虚部为，故选：．3．函数的定义域为　　A．，B．C．，D．【答案】【详解】，，解得，函数的定义域是，，故选：．4．在中，已知，，，则　　A．1B．C．2D．3【答案】【详解】因为在中，已知，，，所以由余弦定理，可得，整理可得，

1则解得或（舍去）．故选：．5．角的终边过点，则　　A．B．C．D．3【答案】【详解】因为角的终边过点，所以，则．故选：．6．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，，，，，，，，分组的频率分布直方图如图．该样本数据的分位数大约是　　A．220B．224C．228D．230【答案】【详解】由直方图的性质可得：，解得，由已知，设该样本数据的分位数大约是，由，解得，故选：．7．已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则　　A．B．C．D．3【答案】【详解】，所以，

2所以．故选：．8．某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为　　A．10B．13C．17D．26【答案】【详解】根据题意，抽取样本的比例是，从高二学生中应抽取的人数为．故选：．9．若函数是奇函数，当时，，则　　A．2B．C．D．【答案】【详解】函数是奇函数，当时，，则，故选：．10．下列函数中，定义域与值域均为的是　　A．B．C．D．【答案】【详解】的定义域为，值域为，错误，的定义域为，值域为，错误，的定义域与值域均为，正确，的定义域与值域均为，，，错误．故选：．11．已知，则“”是“”的　　A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】【详解】由，且，可得和是正数，且不相等，

3故有，即有，故充分性成立．由有，可得和是正数，且不相等，即且，不能推出，故必要性不成立，“”是“”的充分而不必要条件，故选：．12．函数的图像与函数的图像关于轴对称，则　　A．2B．C．4D．1【答案】【详解】由函数的图像与函数的图像关于轴对称，可得，则，故选：．13．已知正方体的棱长为1，为上一点，则三棱锥的体积为　　A．B．C．D．【答案】【详解】如图，．故选：．14．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为　　A．B．C．D．【答案】【详解】墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，

4基本事件总数，这3个节气中含有“立春”包含的基本事件个数，则这3个节气中含有“立春”的概率为．故选：．15．已知函数若，则实数的值为　　A．B．C．1D．2【答案】【详解】根据题意，函数若，则有或，解可得；故选：．16．若，且，则下列不等式一定成立的是　　A．B．C．D．【答案】见解析【详解】对于：当，时，选项错误；对于，故，故错误；对于：由于，所以，故正确；对于：当和都为负值时，选项错误．故选：．17．某公司一年需要购买某种货物4800吨，每次购买吨，运费为3万元次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是　　A．20B．30C．45D．60【答案】【详解】由题可得共需购买次，则一年的总运费与总存储费用之和为，当且仅当即时取“”，即每次购买60吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小，

5故选：．18．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，，，则．其中真命题的个数是　　A．1B．2C．3D．4【答案】【详解】对于①，假设，，因为，所以，又，所以，而，所以，正确；对于②，若，，则或，故错误；对于③，若，，则，又，所以在平面内一定存在一条直线，使，而，所以，，则，正确；对于④，由面面平行的判定定理，可以判断出是正确的．故真命题有3个．故选：．19．在中，，是的中点，则的取值范围是　　A．B．C．D．【答案】【详解】，设，所以．故选：．20．太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值取正值），选择春分当日测算正午太阳高度角．他们将长度为1

6米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：组别甲组乙组丙组丁组木杆影长度（米0.820.800.830.85则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是　　A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组【答案】【详解】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足．当且为正值，可得，即，设木杆的影长为，得到，因为为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为0.82，0.80，0.83，0.85，所以当时，取得最小值，此时取得最大值，所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组．故选：．第二部分（非选择题共40分）二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）21．函数的定义域是　　．【答案】【详解】根据题意，由，得，所以函数的定义域为，故答案为：，22．下表记录了某地区一年之内的月降水量．月份123456789101112

7月降水量584853465656517156536466根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是　56　；分位数是　　．【答案】56；64【详解】把表中数据按照从小到大顺序排列为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71；计算中位数是；因为，所以分位数是第10个数据，是64．故答案为：56；64．23．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格上小正方形的边长为1，则　　．【答案】5【详解】建立如图所示的坐标系，所以，，则．故答案为：5．24．如图，在棱长为1的正方体中，点、、分别为棱、、的中点，是底面上的一点，若平面，则下面的4个判断①点的轨迹是一段长度为的线段；②线段的最小值为；③；④与一定异面．

8其中正确判断的序号为　　．【答案】①③【详解】分别连接，，，，，，同理，，，平面平面，平面，且是底面上的一点，点在上，点的轨迹是一段长度为的线段，故①正确；当为中点时，，线段最小，最小值为，故②错误；在正方体中，平面，又平面，，故③正确；当与重合时，与平行，故④错误．故答案为：①③．三．解答题（共4小题，每小题7分，共28分）25．已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求不等式的解集．【答案】见解析【详解】（1）的最小正周期为．

9令，，解得，．故的单调递增区间为．（2）因为，所以，则，，解得，．故不等的解集为．26．如图，在四棱锥中，平面，，，，点为棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面．【答案】见解析【详解】（1）证明：取中点，连接，，因为为中点，为中点，所以，且．又因为，且，所以，且．所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面，平面，所以，又因为，，

10所以，又，、平面，所以平面．27．在中，，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：边上的高．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）因为，，所以，所以，由余弦定理知，因为，所以．（Ⅱ）若选①，，则，即，因为△，所以方程无解，不符合题意；若选②，，由正弦定理可知，即，解得，所以，即，解得，或（舍去），所以；若选③，边上的高，

11在中，所以，即，所以，即，解得，或，所以存在两解，不符合题意．28．已知函数．（Ⅰ）若（1），求不等式的解集；（Ⅱ）若（1），求在区间，上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的值；（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）因为且（1），所以，解得，所以，由，得，即，解得，即原不等式的解集为，；（Ⅱ）因为（1），所以，所以，所以，因为，，所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，所以当时函数取得最小值；当时函数取得最大值；（Ⅲ）因为对任意，不等式恒成立，即对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立，因为，当且仅当，即时取等号；

12所以，即，所以．