数---学第3章

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数学（扩展模块）

1第3章概率与统计3.1排列与组合3.2二项式定理3.3离散型随机变量及其分布3.4二项分布3.5正态分布

23.1排列与组合排列3.1.1随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.某城市交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?为了得到这个问题的结论，我们先来看问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

33.1排列与组合解决这个问题需分2个步骤：第一步，先确定1名参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种选法；第二步，确定1名参加下午活动的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法，如图3-1所示.图3-1

43.1排列与组合在基础模块中我们已经学习了两个基本原理及基本原理的简单应用：（1）分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法.（2）分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.

53.1排列与组合问题一中要完成的“一件事”是从3人中选出2人，分上午和下午参加活动.因此根据分步乘法计数原理，上面问题共有3×2=6种不同的方法，如图3-2所示.图3-2

63.1排列与组合我们把上面问题一中被选取的对象（比如说同学）叫作元素.上述问题的实质是：从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排法.再看问题二：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？这里要完成的“一件事”是从4个数字中选3个排成一个三位数.解决这个问题，需分3个步骤：

73.1排列与组合第一步，确定百位上的数字，在1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；第二步，确定十位上的数字，从余下的3个数字中去取，有3种方法；第三步，确定个位的数字，只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.如图3-3所示.图3-3

83.1排列与组合因此根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种不同的排法，如图3-4树形图所示.图3-4

93.1排列与组合可得到的所有三位数为123，124，132，134，142，143；213，214，231，234，241，243；312，314，321，324，341，342；412，413，421，423，431，432.上述问题二的实质是：从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素（这里的被取元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列.

103.1排列与组合根据排列的定义，当且仅当两个排列的元素完全相同，元素的排列顺序也相同时，两个排列才相同.从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数叫作从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.问题一中是从3个不同的元素中任取2个元素的排列数，记为；我们已经计算得出问题二中是求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数，记为；我们已经计算得出.想一想：排列和排列数有什么区别和联系呢？那么从n个不同元素中取出m个元素的排列数是多少呢？

113.1排列与组合计算排列数可以这样考虑：假定有排好顺序的m个空位，如图3-5所示，从n个不同元素a1，a2，a3，…，an中任意选择m个元素，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数.图3-5

123.1排列与组合填法可分为m个步骤：第一步，第一位可以从n个不同的元素中任意选填一个，有n种方法；第二步，第二位可以从剩余的n-1个不同的元素中任意选填一个，有n-1种方法；第三步，第三位可以从剩余的n-2个不同的元素中任意选填一个，有n-2种方法；……第m步，第m位可以从余下的n-m+1个不同的元素中任意选填一个，有n-m+1种方法.

133.1排列与组合根据分步乘法计数原理，共有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)中填法.由此，我们可以得到从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数为式（3-1）叫作排列数公式，其中n，m∈N，并且m≤n.可以观察到公式的特征为：①公式右边第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1；②最后一个因数是n－m＋1；③共有m个因数.

143.1排列与组合当m=n时，式（3-1）可以变为式（3-2）表示n个不同元素全部取出的排列数，等于由1到n的正整数的连乘积，叫作n的阶乘，用n！来表示，所以n个不同元素的全排列数公式可以写成（3-3）

153.1排列与组合一般地，我们可以用以下转换来计算的另外一种计算公式：因此，排列公式还可以写成为了使式（3-4）在m=n时也成立，我们规定0！=1.

163.1排列与组合例1计算：

173.1排列与组合例22007年3月，我国15支俱乐部参加的2007年中超联赛重燃战火，15支足球队将捉对厮杀，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，试问一共要进行多少场比赛？解任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从15个元素中任取2个元素的一个排列.因此，比赛的总场次是

183.1排列与组合例3证明：分析本题可以使用式（34）来进行证明.证明右边

193.1排列与组合练一练1.判断下列是否是排列：（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？

203.1排列与组合练一练2.写出：①从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列；②由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.③由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.3.公共汽车上有4位乘客，其中任何两个人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方法有多少种？

213.1排列与组合组合3.1.2上节课我们学习了从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有种不同的选法.那么从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法呢？下面我们来研究一下这个问题.通过题意我们知道共有3种选法，分别为甲、乙；甲、丙；乙、丙三种组合，本质上是从已知的3个不同元素中每次取出2个元素，并成一组，和顺序无关，我们称之为组合.一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不管顺序怎样都并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

223.1排列与组合组合的定义包含两个方面：①组合与元素的顺序无关，②两个组合的元素完全相同为相同组合.结合排列的定义，我们可以看出组合与排列的共同点是：“从n个不同元素中，任取m个元素”，即“取元素”这点是相同的；区别是：排列要求在取出元素后“按照一定的顺序排成一列”，即与顺序有关；组合要求取出元素后，“不管顺序怎样都并成一组”，即与顺序无关.也就是说，对于取出的m个元素，如果只改变它们之间的相对位置，而不改变元素本身，那么对于排列来说它们是不同的排列，对于组合来说他们却是同一个组合.

233.1排列与组合思考与讨论两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？

243.1排列与组合从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用来表示.例如，上述问题从3个不同的元素中任取2个元素的组合数，记为；我们已经知道=3.那么从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合数是多少呢？下面我们来讨论下组合数的公式.一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下步骤：第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数；

253.1排列与组合第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数根据分步乘法计数原理，可得结合公式（3-4），可得式（3-5）叫作组合数公式，其中n，m∈N，并且m≤n.为了保证m=n时，公式（3-5）有意义，我们规定

263.1排列与组合例4从甲、乙、丙、丁四名优秀团员中选两名同学升旗,并指定正旗手和副旗手,共有多少种选法?解从四名同学中选出两个旗手，共有种选法.再从选出的两位中分别指定正旗手副旗手有种排法.即满足要求的选法共有.

273.1排列与组合例5计算：

283.1排列与组合例6证明：证明

293.1排列与组合例6中公式是组合数的性质之一，即从n个不同元素中取出m个元素的所有组合数与取出n-m个元素的所有组合数是相同的.它给出了一种减少计算工作量的方法，如计算可转化为计算.学习提示

303.1排列与组合练一练1.计算.2.判断下列问题是组合问题还是排列问题?（1）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？（2）10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?（3）从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?（4）10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?

313.1排列与组合练一练3.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合.4.求证:练一练3.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合.4.求证:

323.2二项式定理我们知道(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2a1b1+b2观察上面两个乘法公式的展开式中各项的系数有什么规律呢？下面我们通过计算(a+b)4来研究这个问题.先将(a+b)4看作4个(a+b)的乘积，即(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)显然，等号右边的乘积的展开式中的每一项都是从每个括号中任取一个字母的乘积，因此各项均为4次式，展开式中所含字母的形式分别为：a4，a3b，a2b2，ab3，b4那么上面5项在展开式中的系数，即在展开式中出现的次数是多少呢？

333.2二项式定理在上面的4个(a+b)中：每个括号中都不取b的情况有一种，即种，则a4的系数为；只有一个括号中取b的情况有种，则a3b的系数为；只有两个括号中取b的情况有种，则a2b2的系数为；只有三个括号中取b的情况有种，则ab3的系数为；四个括号都取b的情况的由种，则b4的系数为.将各项对应的系数代入展开式中，则得到

343.2二项式定理一般地，对于任意正整数n，有式（3-6）为二项式定理公式，其中a、b为任意实数.等号右边的多项式叫作（a+b)n的二项展开式，共有n+1项，其中a的指数按降幂排列，b的指数按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n，每项的系数（m=0,1,2，…，n）叫作二项式系数，公式中的为展开式的第m+1项，叫作二项式的通项，用Tm+1表示，则有

353.2二项式定理我国宋朝时期著名的数学家和数学教育家杨辉，于1261年在《详解九章算法》一书中提出的三角数表，称之为“杨辉三角”，即为多项式（a+b)n展开后的各个项的二项式系数的规律，如图3-6所示.图3-6

363.2二项式定理应用二项式定理公式时，a与b能不能交换位置，且（a+b)n的第m+1项和（b+a)n的第m+1项相同吗？想一想

373.2二项式定理从图3-6中我们可以看出二项式系数有如下规律：（1）图中每行两端都是1，即（2）从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和，即（3）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即（4）增减性与最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数为最大值；当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等，且同时为最大值.

383.2二项式定理令式（3-6）中的a=b=1时，这也就是说，（a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，另外由于，因此上式还可以写成式（3-8）叫作组合总数公式.

393.2二项式定理例1求(1-2x)7的展开式中，第四项的二项式系数和第四项的系数.解在(1-2x)7的展开式中，第四项为(-2x)3=-280x3，第四项的二项式系数是第四项的系数是

403.2二项式定理例2写出（a+b）6的展开式.解由于所以

413.2二项式定理注意某项（a+b)n的二项式系数和项的系数的区别，这是两个不同的概念，“二项式系数”仅指这些组合数而言，不包括字母a、b所表示式子中的系数，而对应的项的系数不仅与有关，也与a、b的值有关.学习提示

423.2二项式定理例3求（x-3）15的二项展开式中x7的系数.解（x-3）15的展开式的通项公式为由于15-m=7，得m=8，即二次展开式中含x7的项为第9项，故该项的系数为：

433.2二项式定理例4求（x+a）11的二项展开式中的倒数第5项.解（x+a）11的二项展开式共有12项，因此倒数第5项式展开式中的第8项.展开式的第8项通项公式为

443.2二项式定理练一练1.求下列各式的展开式：（1）（1+x）7；（2）(x+2/x)4；（3）（a+2b）4；（4）(x+y)5.2.求下列展开式中含指定项的系数：（1）中含的项；（2）的常数项.3.求（1-2x）6的展开式中的第4项.

453.3离散型随机变量及其分布学习提示这些随机试验例子中，有下列特点:①任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化；②试验之前可以判断其可能出现的所有结果；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果；④同一个随机试验的结果，可以赋不同的数值.

463.3离散型随机变量及其分布学习本节课之前我们先来看以下几个问题：问题1：抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？问题2：姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？问题3：抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？对于问题1，抛掷一枚骰子，可能会出现1,2,3,4,5,6点六种情况；对于问题2，姚明罚球2次可能会得到0分、1分、2分三种情况；对于问题3，抛掷一枚硬币，可能出现正面朝上和正面朝下两种情况，虽然这个随机试验的结果不具数量性质，但我们可以用数字1和0分别表示正面朝上和正面朝下.

473.3离散型随机变量及其分布很显然，在上述试验开始之前，我们是不能确定结果是哪一种情况的.虽然我们能够事先知道随机试验可能出现的所有结果，但在一般情况下，试验的结果是随机出现的.前面的三个问题中，我们把随机试验的每一个结果都用一个确定的数字来表示，这样试验结果的变化就可看成是这些数字的变化.若把这些数字当作某个变量的取值，则这个变量就叫作随机变量，常用希腊字母ξ、η、ζ或大写拉丁字母X、Y、Z等来表示.注意：有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但还是可以用数量来表达，如在掷硬币的试验中，我们可以定义“ξ=0，表示正面向上;ξ=1，表示反面向上”.

483.3离散型随机变量及其分布根据定义，所谓的随机变量，就是随机试验的试验结果与实数之间的一种对应关系，而函数是实数与实数的一种对应关系，因此我们可以认为它们都是一种映射，即随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数.在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值结果相当于函数的值域.所以我们也把随机变量的取值范围叫作随机变量的值域.如果按一定的次序，把随机变量可能取的值一一列出，那么这样的随机变量就叫作离散型随机变量；若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的随机变量叫作连续型随机变量.

493.3离散型随机变量及其分布离散型随机变量的例子有很多，比如某人射击一次可能命中的环数ξ就是离散型随机变量，它的所有可能取值为0,1,2，…，9,10；再如，某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有取值为0,1,2，….而本节讨论的离散型随机变量只讨论有限个值的情况.一般地，若离散型随机变量ζ可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xnξ取每一个xi(i=1，2，…，n)的概率P(ξ=xi)为pi，则将其所组成的表：

503.3离散型随机变量及其分布称为离散型随机变量ζ的概率分布列，简称为ξ的分布列.有时为了表达简单，也用等式:P(ξ=xi)=pi（i=1，2，…，n）（3-9）来表示ξ的分布列.从ξ的分布列中可以看出：①离散型随机变量ξ的所有取值；②ξ的每一个取值的概率.根据定义，分布列的性质有以下两个：（1）pi≥0，i=1,2，…；（2）

513.3离散型随机变量及其分布学习提示求离散型随机变量分布列的基本步骤为：①确定随机变量的所有可能的值xi；②求出各取值的概率P(ξ=xi)=pi；③列出表格，即为概率分布列.

523.3离散型随机变量及其分布例1在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．解X的可能取值为1,2,3.X＝1表示取出的3个球中有1个白球2个黑球，此时的概率X＝2表示取出的3个球中有2个白球1个黑球，此时的概率X＝3表示取出的3个球中有3个白球0个黑球，此时的概率其分布列为

533.3离散型随机变量及其分布其分布列为

543.3离散型随机变量及其分布学习提示例1中的这个分布列也可以表示为P(X＝k)＝k＝1,2,3.

553.3离散型随机变量及其分布练一练若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数，请把X取不同值的概率填入表中，并求下列事件发生的概率是多少？（1）P（X是偶数）；（2）P（X<3）.

563.4二项分布甲、乙、丙三人分别射击同一个目标，都是“中”与“不中”两种结果，是三次独立重复试验吗？想一想

573.4二项分布在学习本节课之前，我们先来做一个实验.将一枚均匀的硬币投掷6次，每次投掷观察结果后，再重新投掷.我们发现每一次的投掷结果对其他次的投掷结果毫无影响，即每次投掷均为一次独立的实验.一般地，我们将相同条件下，重复进行n次实验，若每次的试验结果均与其他次试验结果无关的重复实验称为n次独立重复试验.上面投掷硬币的实验就是6次独立重复试验.在上面的实验中，每次试验可能的结果只有2种，正面朝上和正面朝下，且两种结果是互不影响的，即每种结果发生的概率是互不影响的.

583.4二项分布学习提示判断是否为伯努利试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响.

593.4二项分布一般在n次独立重复试验中，如果每次试验只有A和Α两种可逆的结果，且相互独立，互不影响；并且每次试验中，结果A发生的概率都不会发生改变，这样的n次独立试验，我们称之为n次伯努利试验.如果在一次试验中的事件A发生的概率为P（A）=p，则事件A不发生的概率那么在n次伯努利试验中，事件A正好发生了k次的概率为式（3-10）称为伯努利公式，其中k=0，1,2，…，n，于是我们便可得到随机变量ξ的概率分布列为

603.4二项分布我们将上表中这样的随机变量ξ的概率分布列叫作二项分布，称随机变量ξ服从参数为n和p的二项分布，记作ξ~B（n，p）.例如，投掷一个骰子，得到3点的概率为1/6，重复投掷骰子n次，即可得到3点的次数ξ服从参数为n和1/6的二项分布，记作ξ~B（n，1/6）.二项分布是实际中最常见的离散型分布之一，它描述的是n次伯努利试验中出现事件A次数ξ的概率分布，判断一个随机变量是否服从试验次数n和发生某事件概率的二项分布，关键是看该事件是否为n次伯努利试验；否则，随机变量就不服从二项分布.

613.4二项分布学习提示根据n次伯努利试验定义，我们知道伯努利试验中的随机变量ξ的分布列为其中0

623.4二项分布例1抛掷5枚硬币，求得到正面向上的次数ξ的概率分布列.解设正面朝上为事件A，则正面朝下为事件有P（A）=且随机变量ξ~B（5，12），因此

633.4二项分布所以，抛掷5枚硬币，正面朝上的次数ξ的概率分布列为

643.4二项分布例2随机抛掷一枚均匀硬币100次，恰好出现50次正面的概率.解设X为抛掷100次硬币出现正面的次数，则随机变量X~B(100,1/2),恰好出现50次正面的概率为P100（50）=即随机抛掷100次硬币，正好出现50次正面的概率为8%.

653.4二项分布练一练1.随机抛掷一颗质地均匀的骰子n次，求恰好出现k次5点的概率.2.炮弹击中目标的概率为0.2，共发射了14发炮弹.已知至少要两发炮弹命中才能摧毁目标，试求摧毁目标的概率.3.某中学生心理咨询中心服务电话接通率为3/4，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列.

663.5正态分布从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：cm）：

673.5正态分布上述数据的分布有怎样的特点？为了研究这些学生身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图.第一步，先对以上所有的男生身高数据进行分组.通过观察，发现以上数据均位于154~185之间，为了使所有数据均包含在各组中，我们取153.5~185.5的范围以组距d=4平均分成8个区间，分别为153.5~157.5、157.5~161.5、161.5~165.5、165.5~169.5、169.5~173.5、173.5~177.5、177.5~181.5、181.5~185.5.

683.5正态分布第二步，列出频数（或频率）分布表.根据以上分组区间，我们对所有的数据进行统计，结果见下表：

693.5正态分布第三步，作频率分布直方图.将上表中的数据以频率/组距为y轴，身高（cm）为x轴，作频率分布直方图，如图3-7所示.图3-7

703.5正态分布由图3-7可以看出，上述数据的分布呈“中间高，两边底，左、右大致对称”的特点.可以设想，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线y=P(x)，我们将此曲线称为概率密度曲线，表示分布总体在所有取值范围内的取值概率.例如，上述所有男生身高数据以组距d=1作频率分布直方图（如图3-8所示），其顶边形成的曲线相对于以组距d=4的频率分布直方图顶边形成的曲线较圆滑.

713.5正态分布图3-8

723.5正态分布图3-8中概率密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的概率密度曲线，我们将其称为“正态密度曲线”，它的函数表达式是μ和σ为式（3-11）的两个参数，平均值μ表明了正态密度曲线总体的中心所在，标准差σ表明了曲线总体的离散程度，其中σ>0，μ∈R，因此不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线，如图3-9所示.

733.5正态分布图3-9

743.5正态分布由图3-9可观察出正态密度曲线具有如下的特征：(1)当x=μ时曲线位于最高点，当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近，曲线在x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线关于直线x=μ对称；(3)当μ一定时，曲线的形状由σ确定,σ越大，曲线越“扁平”；σ越小，曲线越“尖陡”，如图3-9（4）所示；(4)不论μ和σ取何值，在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.

753.5正态分布学习提示正态密度曲线呈钟形，因此人们又经常称之为“钟形曲线”.

763.5正态分布若X是一个随机变量，对任意区间（a,b］内取值的概率P(a

773.5正态分布当μ＝0，σ＝1时，我们将正态分布N(0,1)称为标准正态分布，即X~N（0，1）.通过查标准正态分布表（见附表1）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率，其函数表达式为式（3-12）相对应的曲线称为标准正态曲线，如图3-10所示.

783.5正态分布图3-10

793.5正态分布设变量X~N（0，1），由概率密度曲线的定义可以证明，任给区间（b,+∞)内P（X>b）的取值为曲线与x轴之间，直线x=b右侧部分的图形的面积.那么对于给定区间（a，b）内P(a

803.5正态分布学习提示根据正态曲线的定义，我们可以推断出P(a

813.5正态分布对于P（x

823.5正态分布图3-10

833.5正态分布由此可知Φ（x0）+Φ（-x0）=1，即Φ（-x0）=1-Φ（x0）（3-15）标准正态分布N（0，1）在正态分布的研究中占有重要地位.但由于正态分布中有两个参数μ和σ，当给定一对不同的μ和σ时，就会有一个不同的正态分布，显然不可能对所有不同的μ和σ都编制对应的正态分布表，因此当X~N(μ,σ2)时，我们可以使用(3-16)将其他非标准正态分布转化为标准正态分布N（0，1），并使用标准正态分布表查表计算.

843.5正态分布根据式（3-14），式（3-16）又可以变形为通过计算，我们可以得到正态分布在(μ－σ,μ+σ)、(μ－2σ,μ+2σ)和(μ－3σ,μ+3σ)三个特殊区间内取得的概率值，如图3-12所示.图3-12

853.5正态分布随机变量X取值落在区间(μ－σ,μ+σ)上的概率约为68.3%，即P(μ－σ

863.5正态分布对于3σ原则，企业常用的方法是以一个周期（一般为一年）的历史数据（数据量应大于25)，或以最近的连续不少于25个数据的平均值加减3σ确定出产品质量控制指标的上控制限（UCL)和下控制限（LCL)，再通过取样抽查来判断生产过程中是否出现异常偏差情况.

873.5正态分布例1一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式.解由题意得μ=1/10×(10.2+10.1+10+9.8+9.9+10.3+9.7+10+9.9+10.1)=10，σ2=1/10×［(10.2－10)2+(10.1－10)2+(10－10)2+(9.8－10)2+(9.9－10)2+(10.3－10)2+(9.7－10)2+(10－10)2+(9.9－10)2+(10.1－10)2］=0.03，即μ=10，σ2=0.03．所以Y的概率密度函数为

883.5正态分布例2若随机变量Z~N(0,1)，查标准正态分布表，求：

893.5正态分布例3还有其他解法吗？想一想

903.5正态分布练一练1.计算：（1）设Z~N（0，1），求P（Z≤1.24）;P（1.24≤Z≤2.37）;P（-2.37

913.5正态分布练一练2.从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度ξ服从N（200，18）.（1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率；（2）如果所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于180，问这批材料是否符合这个要求？

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