水力学课件pdfchapter 4 basics of fluid flow-2（含连续方程）(4)

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1、§4-5连续性方程(EquationofContinuity)•连续性方程——•用欧拉观点对质量守恒原理质量守恒定律对流的描述：连续介质的运动必须体运动的一个基本维持质点的连续性，即质点间约束不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变化而增加的质量。流体运动的连续性原理•根据质量守恒定律，不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，称其为流体运动的连续性原理。•由哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的例证：动脉系统心脏毛细管系统静脉系统一.三维流动的连续性微分方程•在时间段dt里，从abcd面流入微

2、元体的流体质量ux为ρudydzdtadxz从a’b’c’d’面流出的流体质a’d’量为dzbcdx⎡+∂(ρux)dx⎤dydzdtρu⎢x⎥b’dyc’⎣∂x⎦净流入前后这一对表面的流y体质量为o∂(ρu)xx−dxdydzdt∂x•同理可知，在时间段dt里，沿着y方向和z方向净ad流入左右和上下两对表面z的流体质量分别为a’d’uybc∂(ρu)dzy−dxdydzdtdx∂yb’dyuc’z和∂(ρu)zy−dxdydzdto∂zx•在时间段dt里，微元内流体质量的增加为∂ρdxdydzdt∂t•根据质量守恒原理∂(ρu)∂(ρu

3、)∂(ρu)∂ρxyz−dxdydzdt−dxdydzdt−dxdydzdt=dxdydzdt∂x∂y∂z∂t简化∂ρ∂(ρux)∂(ρuy)∂(ρuz)+++=0∂t∂x∂y∂z或写成三维流动的连∂ρ续性微分方程+∇⋅(ρu)=0∂t•恒定流动的连续方程∂(ρu)∂(ρu)∂(ρu)()xyz∇⋅ρu=++=0∂x∂y∂z•对于不可压缩流体的流动（不论是恒定或非恒定），连续方程为∂u∂u∂uxyz∇⋅u=++=0∂x∂y∂z∂u∂u∂uxyz∇⋅u=++∂x∂y∂z速度场的散度流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和，也是流体微团的

4、体积膨胀率。•连续方程∇⋅u=0表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。•试用微元分析法在极坐标中写出平面流动的微分形式连续方程ur1()∂(u)u∂ρ⎡∂ρruρ⎤rθθ+⎢+⎥=0∂tr⎣∂r∂θ⎦rdθdr∂ρ∂(ρu)ρu1∂(ρu)dr+r+r+θ=0θtrrr∂∂∂θoθ二.恒定总流的连续性方程Q•控制体：上游过水m断面A和下游过水断1A面A之间的总流管22QmA•1恒定条件下：¾总流管的形状、位置不随时间变化。¾总流内的

5、流体是不存在空隙的连续介质，其密度分布恒定，所以这段总流管内的流体质量也不随时间变化。¾没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个过流断面进出控制体。•根据质量守恒定律即可得出结论：在单位时间内通过A流入1控制体的流体质量等于通过A流出控制体的流体质量。2Q=Qm1m2∫∫ρudA=∫∫ρudA恒定总流AA12连续方程通过恒定总流两个过水断面的质量流量相等。•又若流体不可压，ρ=const∫∫udA=∫∫udA即或QQ12=A1v1=A2v2AA12通过恒定总流两个过水断面的体积流量相等。•对于不可压缩•在有分流汇入及流出的流体，

6、根据连续情况下，连续方程只须方程，容易理解作相应变化。质量的总流入=质量的总流出。为什么流线的疏密能够反映流速的大小。QQm2m1Qm1=Qm2+Qm3Qm3流体运动学小结流体运动学小结概念物质（质点）导数、时变导数、位变导数流线与迹线均匀流与非均匀流、渐变流与急变流恒定流与非恒定流有旋（涡）流与无旋（涡）流有势流与流函数流体微团速度分解的物理含义连续性方程关于流体运动学的问题关于流体运动学的问题流体微团的运动包括哪几种形式？如何描述不同的运动形式？如何判断一种运动是有旋（涡）的或无旋（涡）的？连续性方程的基本形式和不同条件下的简化形式有

7、哪些？亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义uˆ=u+[Ε]⋅dr+Ω×dr基准点是展开点M平移变形转动¾uˆ:Mˆ点的流速；¾u:M点的流速；¾[Ε]⋅dr:流体变形率张量[E]对两点相对运动速度的贡献，包括线变形和角变形；¾Ω×dr:流体平均旋转角速度Ω引起的两点相对运动速度。ijk旋度有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动∂∂∂∇×u=∂x∂y∂zuuuxyz旋度∇×u=0?无旋流动有旋流动•判别：唯一的标准是看流速场是否满足∇×u=0，写成分量形式为：∂u∂u∂u∂u∂u∂uzyxzyx=,=,=∂y∂

8、z∂z∂x∂x∂y连续性方程的基本微分形式连续性方程的基本微分形式∂ρ∂(ρux)∂(ρuy)∂(ρuz)+++=0∂t∂x∂y∂z或写成三维流动的连续性微分方程∂ρ+∇⋅(ρu)=0∂t•恒