2014考研数学基础讲义9二重积分

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1、2014考研数学基础班讲义9二重积分二重积分（甲）内容要点一、二重积分的概念与性质1.定义2.几何意义222【例】根据二重积分∫∫ƒ(xyd,)σ的几何意义，求∫∫a−x−ydσσσ，其中DD32222πaD={(xy,)

2、x+y≤a},a>0.（=）33.基本性质（1）∫∫kfxyd(，)σ=k∫∫fxyd(，)σ(k为常数)；DD（2）∫∫fxy(，)±gxyd(，)σ=∫∫fxyd(，)σ±∫∫gxyd(，)σ；DDD（3）fxyd(，)σ=fxyd(，)σ+fxyd(，)σ，其中D=D∪D。除公共边界外，D与D不∫∫∫∫∫∫121

3、2DD1D2重叠。（4）1dσ=σ=S∫∫DD（5）若fxy(，)≤gxy(，，，)(xy)∈D，则∫∫fxyd(，)σ≤∫∫gxyd(，)σ；DD推论：①∫∫fxyd(，)σ≤∫∫fxyd(，)σ，②若fxy(，)≤0，，(xy)∈D，则∫∫fxyd(，)σ≤0；DDD③若D⊆Dfx,()≥0，则fxyd(，)σ≤fxyd(，)σ；12∫∫∫∫D1D2（5）若m≤fxy(，)≤Mxy，，()∈D，则mS≤∫∫fxyd(，)σ≤MS，其中S为区域D的面积；D（6）积分中值定理，设fxy(,)在有界闭区域D上连续，S为D的面积，则存在(ξη,)∈D

4、，使得1∫∫fxyd(，)σ=f(ξ，η)iS。我们也把∫∫fxyd(，)σ称为fxy(，)在D上的积分平均值。SDD22【例】利用二重积分的性质估计I=∫∫(4x+y+7)dxdy的值.（14π≤I≤30π.）22x+++y≤21x2+++y2【例】设积分区域D是以原点为中心，半径为r的圆，求limecos(xydxdy,).2∫∫r→0πrD1x2+++y2ξ2+++η2limecos(xydxdy,)=limecos(ξη)=1.2∫∫r→0πrr→0D4.对称区域上奇偶函数的积分性质定理1设fxy(,)在有界闭区域D上连续，若D关于x轴对

5、称，则12014考研数学基础班讲义9二重积分0fxy(，)对为奇函y数∫∫fxyd(，)σ=2∫∫fxyd(，)σfxy(，)对为偶函y数，其中D1为D在x轴上半平面部分。DD1定理2设fxy(,)在有界闭区域D上连续，若D关于y轴对称，则0fxy(，)对为奇函x数∫∫fxyd(，)σ=2∫∫fxyd(，)σfxy(，)对为偶函x数，其中D2为D在y轴的右半平面部分。DD2定理3设fxy(,)在有界闭区域D上连续，若D关于原点对称，则0f(−x，-＝y)−fxy(，，，)(xy)∈D∫∫fxyd(，)σ=2∫∫fxyd(

6、，)σf(−x，-y)=fxy(，，，)(xy)∈D，其中D3为D的上半平DD3面部分或右半平面部分。定理4设fxy(,)在有界闭区域D上连续，若D关于直线y=x对称，则∫∫fxyd(，)σ=∫∫fyxd(，)σ，若D=D4∪D5，，D4D5分别为D在y=x的上方与下方部分，则DD∫∫fxyd(，)σ=∫∫fyxd(，)σ。D4D5222x【例】设积分区域D是圆环1≤x+++y≤4,求∫∫2x+3sin+7dxdy.Dy223x【解】因积分区域1≤x+++y≤4关于x轴，y轴对称，且函数2x及sin分别是x,y的奇函数，故将y被积

7、函数分项积分，得I===0+0+7∫∫dxdy.又由二重积分的几何意义，知∫∫dxdy=4π−π=3π.故DD2x∫∫2x+3sin+7dxdy=73iπ=21π.Dy2121【例】设D是又曲线y=1+x−,x=1+y−与直线y=−x所围成的区域，D是122D在第二象限的部分，则∫∫(xsiny+ycosxdxdy)=(B).D(A)2∫∫xsinydxdy(B)2∫∫ycosxdxdy(C)4∫∫(xsiny+++ycosxdxdy)(D)0D1D1D1x211−x2例.(x+ye)dσ（其中D由x+y=1围成）。原式=4dxxdy

8、=∫∫∫0∫03D232例.计算∫∫x1+yfx(+yd)σ.D由y=xy,=1,x=−1围成。原式=∫∫xdσ=−5DD22014考研数学基础班讲义9二重积分22xy222π411例.计算+dσ，D为x+y≤R原式=R+∫∫22。22Dab4abafx()+bfy()π(ab+)22例.计算I=∫∫dσ，其中D={(xy,)x+y≤4,x≥0,y≥0}Dfx()+fy()2二、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题模型ⅠⅠⅠ：设有界闭区域ⅠD={(xya，)≤≤xb，ϕ(x)≤y≤ϕ(x)}，其中

9、ϕ(x)，ϕ(x)在[ab，]上连1212bϕ2(x)续，fxy(，)在D上连续，则∫∫fxyd(，)σ=∫∫fxydxdy(，)=∫d