考研数学 线性代数讲义第5章线性方程组

《考研数学 线性代数讲义第5章线性方程组》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、水木艾迪www.etsinghua.org电话：010-62701055/82378805地址：清华同方科技广场B座503室第5章线性方程组n元线性方程组⎧a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1⎪⎪a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2⎨，LLLLLLLLLLL⎪⎪⎩am1x1+am2x2+L+amnxn=bm其中x,x,L,x表示n个未知量，m是方程个12n数，a表示第i个方程中含x项的系数，ijjb,b,L,b叫常数项．12m记系数矩阵为A=(a)，ijTx=(x,x,L,x)，常数项向量为1

2、2nTb=(b,b,L,b)，则线性方程组可写作矩阵12m形式：Ax=b．T如果记α=()a,a,L,a，11121m1()Tα=a,a,L,a，21222m2()TL,α=a,a,L,a，则线性方程组可n1n2nmn以表示成向量方程：1水木艾迪www.etsinghua.org电话：010-62701055/82378805地址：清华同方科技广场B座503室xα+xα+L+xα=b．1122nn若将一组数c,c,L,c代替未知量12nx,x,L,x，使方程组中的m个等式都成立，就12n说(c,c,L,c)是

3、方程组的一个解．方程组的全体12n解称为方程组的解集．解集相同的方程组称为同解方程组．线性方程组中，如果常数项为０，即b=0，称Ax=0为齐次线性方程组．若常数项不为０，称Ax=b为非齐次线性方程组．5.1高斯消元法解方程组的最基本的方法是高斯消元法．设n元线性方程组⎧a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1⎪⎪a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2⎨，LLLLLLLLLLL⎪⎪⎩am1x1+am2x2+L+amnxn=bm矩阵⎛a11a12La1nb1⎞⎜⎟⎜a21a22La2nb2⎟⎜LLLLL

4、⎟⎜⎟⎜⎟⎝am1am2Lamnbm⎠2水木艾迪www.etsinghua.org电话：010-62701055/82378805地址：清华同方科技广场B座503室叫线性方程组的增广矩阵．记作A=(Ab)．所谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵施行矩阵的初等行变换，化作行阶梯形．⎛a11a12La1nb1⎞⎜⎟⎜a21a22La2nb2⎟⎜LLLLL⎟⎜⎟⎜⎟⎝am1am2Lamnbm⎠⎛c11c12Lc1rLc1nd1⎞⎜⎟⎜c22Lc2rLc2nd2⎟⎜OMMMM⎟⎜⎟⎜crrLcrndr⎟→L→⎜⎟d

5、r+1⎜⎟⎜0⎟⎜⎟M⎜⎟⎜⎟⎝0⎠根据行阶梯形，对方程组的解有如下的结论：（１）若d≠0，方程组无解；r+1（２）若d=0，方程组有解．这时又分两种情况：r+1情况１：r=n，方程组有唯一解；情况２：r

6、线性方程组Ax=b有解的条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩．即r(A)=r(A)．如果从方程组的向量表示形式来看，方程组为xα+xα+L+xα=b．1122nn方程组有解就意味着b可由系数矩阵A的列向量组线性表出，或说b是系数矩阵A的列向量组的线性组合．若n元非齐次线性方程组Ax=b有解，当r(A)=n时，方程组Ax=b有惟一解；r(A)

7、singhua.org电话：010-62701055/82378805地址：清华同方科技广场B座503室（）．(A)r(A)=n；(B)r(A)=n；(C)r(A)=m；(D)r(A)=n且为bA的列向量组的线性组合．5.3齐次线性方程组有非零解的充分必要条件齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：若A是m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解⇔r(A)

8、（２）若A是n阶方阵，齐次线性方程组Ax=0只有零解⇔A≠0．（３）若A是m×n矩阵，当m