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《2004年考研数学一真题及参考答案(点击查看)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2004年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题（1）曲线yx=ln与直线x+y=1垂直的切线方程为.【答】yx=−1.【详解】''1由yx==()ln=1,得x=1,可见切点为(1,0)，于是所求得切线方程为，xyx−=⋅−01()1,即yx=−1x−x（2）已知f′(e)=xe，且f()10=，则f(x)=.12【答】(lnx).2【详解】x令e=t，则x=lnt，于是有lntlnxf′(t)=，即f′(x)=.txlnx12积分得f(x)=∫dx=(lnx)+C.利用初始条件f(10)=，得C=0,x212故所求函数为f()xx=(ln).222（3）设L为正向圆
2、周x+y=2在第一象限中的部分，则曲线积分∫xdy−2ydx的值为L3【答】π.222【详解】正向圆周x+y=2在第一象限中的部分，可表示为⎧x=2cosθ,π⎨θ:0→.⎩y=2sinθ,2π于是∫∫xdy−2ydx=2[2cosθ⋅2cosθ+22sinθ⋅2sinθ]dθL0π223π=+πθ∫2sindθ=.0222dydy（4）欧拉方程x+4x+2y=0(x>0)的通解为.2dxdxcc12【答】y=+.2xxtdydydt−tdy1dy【详解】令x=e，则=⋅=e=dxdtdxdtxdt222dy1dy1dydt1dydy=−+⋅=[−]22222dxxdtxdtdxxdtdt代
3、入原方程，整理得2dydy+3+2y=02dtdt−t−2tc1c2解此方程，得通解为y=ce+ce=+.122xx⎡210⎤⎢⎥***（5）设矩阵A=120，矩阵B满足ABA=2BA+E，其中A为A的伴随矩阵，E⎢⎥⎢⎣001⎥⎦是单位矩阵，则B=.1【答】.9【详解】已知等式两边同时右乘A，得**ABAA=2BAA+A而A=3，于是有3AB=6B+A，即(3A−6E)B=A，再两边取行列式，有3A−6EB=A=3，1而3A−6E=27，故所求行列式为B=.9（6）设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X>DX}＝.1【答】.e1【详解】由题设，知DX=，于是2λ1+∞−λx+∞1P{
4、X>DX}=P{X>}=λe−λxdx=−e1=.∫1λλλe二、选择题2xxx+23（7）把x→0时的无穷小量α=∫0costdt,β=∫0tantdt,γ=∫0sintdt，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A)α,β,γ.(B)α,γ,β.(C)β,α,γ.(D)β,γ,α.【】【答】应选（B）.【详解】2xβ∫0tantdttanx⋅2xlim=lim=lim=0，可排除(C),(D)选项，++x+2x→0αx→0cost2dtx→0cosx∫031x23sinx⋅γ∫0sintdt2x1x又lim=lim=lim=lim=∞，++2++2x→0βx→0xx→02
5、xtanx4x→0x∫tantdt0可见，γ是比β低阶无穷小量，故应选(B).（8）设函数f()x连续，且f′(0)>0,则存在δ>0，使得(A)f()x在（0，δ)内单调增加.（B）f(x)在(−δ,0)内单调减少.(C)对任意的x∈(0,δ)有fxf()>(0.)(D)对任意的x∈(−δ,0)有fxf()>()0.【】【答】应选（C）.【详解】由导数的定义，知f(x)−f(0)f′(0)=lim>0x→0x根据保号性，知存在δ>0，当x∈(−δ,0)∪(0,δ)时，有f(x)−f(0)>0x即当x∈(−δ,0)时，fxf()<()0.;而当x∈(0,δ)时，有fxf()>(0.).故应选
6、(C).∞（9）设∑an为正项级数，下列结论中正确的是n=1∞(A)若limnan=0，则级数∑an收敛.n→∞n=1∞(B)若存在非零常数λ，使得limnan=λ，则级数∑an发散.n→∞n=1∞2（C）若级数∑an收敛，则limnan=0.n→∞n=1∞（D）若级数∑an发散,则存在非零常数λ，使得limnan=λ.n→∞n=1【】【答】应选（B）.∞∞11【详解】取an=，则limnan=0，但∑an=∑发散，排除(A)，(D)；nlnnn→∞n=1n=1nlnn∞12又取an=，则级数∑an收敛，但limnan=∞，排除(C),故应选(B).nnn→∞n=1tt（10）设f(x)为连
7、续函数，F(t)=∫∫dyf(x)dx，则F′(2)等于1y(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.【】【答】应选（B）.【详解】交换积分次序，得tttxtF(t)=∫∫dyf(x)dx=∫∫[f(x)dy]dx=∫f(x)(x−1)dx1y111于是，F′(t)=f(t)(t−1)，从而有F′(2)=f(2)，故应选(B).（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的
