2005年考研数学一真题及参考答案(点击查看).pdf

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1、2005年数学一试题分析、详解和评注一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)2x11(1)曲线y=的斜渐近线方程为y=x−.2x+124【分析】本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.2f(x)x1【详解】因为a=lim=lim=,2x→∞xx→∞2x+x2−x1b=lim[]f(x)−ax=lim=−,x→∞x→∞2(2x+)1411于是所求斜渐近线方程为y=x−.24【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要

2、再求斜渐近线;2)若当x→∞时,极限f(x)a=lim不存在,则应进一步讨论x→+∞或x→−∞的情形,即在右或左侧是否存x→∞x在斜渐近线。完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.192【例7.32】111(2)微分方程yx′+2y=xlnx满足y)1(=−的解为y=xlnx−x..939【分析】直接套用一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解公式:−∫P(x)dx∫P(x)dxy=e[∫Q(x)edx+C],再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为2y′+y=lnx,x22−∫dx∫dx12于是通解为y=e

3、x[lnx⋅exdx+C]=⋅[xlnxdx+C]∫2∫x111=xlnx−x+C,239x111由y)1(=−得C=0,故所求解为y=xlnx−x.939【评注】本题虽属基本题型,但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外,本题也可如下求解:原方程可化为2222xy′+2xy=xlnx,即[xy]′=xlnx,两边积分得1221313xy=∫xlnxdx=xlnx−x+C,3911再代入初始条件即可得所求解为y=xlnx−x.39完全类似公式见《数学复习指南》(理工类)P.154222xyzr1(3)设函数u(x,y,z)=1++

4、+,单位向量n=}1,1,1{,则612183∂u3=.∂n)3,2,1(3r【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量n={cosα,cosβ,cosγ}的方向导数为:∂u∂u∂u∂u=cosα+cosβ+cosγ∂n∂x∂y∂z因此,本题直接用上述公式即可.∂ux∂uy∂uz【详解】因为=,=,=,于是所求方向导数为∂x3∂y6∂z9∂u1111113=⋅+⋅+⋅=.∂n)3,2,1(3333333r【评注】本题若n={m,n,l}非单位向量,则应先将其单位化,从而得方向余弦为:mnlcosα=,cosβ=,cosα=.22222

5、2222m+n+lm+n+lm+n+l完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.330【例12.30】22222(4)设Ω是由锥面z=x+y与半球面z=R−x−y围成的空间区域,Σ是23Ω的整个边界的外侧,则∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy=2π1(−)R.2Σ【分析】本题Σ是封闭曲面且取外侧,自然想到用高斯公式转化为三重积分,再用球面(或柱面)坐标进行计算即可.【详解】∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy=∫∫∫3dxdydzΣΩπR2π2=3ρ2dρ4sinϕdϕdθ=2π1(−)R3.∫∫00∫02.2【评注】本题

6、属基本题型,不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算,均应特别注意计算的准确性,主要考查基本的计算能力.完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.325【例12.22】(5)设α,α,α均为3维列向量,记矩阵123A=(α,α,α),B=(α+α+α,α+2α+4α,α+3α+9α),123123123123如果A=1,那么B=2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设,有B=(α+α+α,α+2α+4α,α+3α+9α)123123123⎡111⎤⎢⎥=(α,α,α)123,

7、123⎢⎥⎢⎣149⎥⎦111于是有B=A⋅123=1×2=.2149【评注】本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示,关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地,若β=aα+aα+L+aα,11111221nnβ=aα+aα+L+aα,22112222nnLLLLβ=aα+aα+L+aα,mm11m22mnn⎡a11a21Lam1⎤⎢⎥aaLa则有[]ββLβ=[α,α,L,α]⎢1222m2⎥.12m12n⎢MMMM⎥⎢⎥aaLa⎣1n2nmn⎦完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.356【例1.5】(6)

8、从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从,2,1L,X中任取一个数,记为Y,则13P{Y=}2=.483【分析】本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】P{Y=}2=

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