函数与方程思想在高考中的应用

《函数与方程思想在高考中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、函数与方程思想在高考中的应用新沂市王庄中学221421吕卫民[摘要]纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高三的复习中让学生充分认识到此思想的重要性尤其重要。[关键词]函数与方程思想应用区别联系在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：(1)解方程；(2)含参数方程讨论；(3)转化为对方程的研究，如直线与

2、圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；(4)构造方程求解。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。笔者就此思想总结了一下几点：一、函数思想与方程思想的区别联系：1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；102．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或

3、方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转

4、化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。(4)函数f(x)＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。二、函数与方程思想的应用：题型一10运用函

5、数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题例如：已知，（a、b、c∈R），则有（）(A)(B)(C)(D)解析法一：依题设有a·5－b·＋c＝0∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴△＝≥0∴故选(B)法二：去分母，移项，两边平方得：≥10ac＋2·5a·c＝20ac∴点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。题型二构造函数或方程解决有关问题例如：已知，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围。解析∵t∈[，8]

6、，∴f(t)∈[，3]原题转化为：>0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）当x＝2时，不等式不成立。∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]10问题转化为g(m)在m∈[，3]上恒对于0，则：；解得：x>2或x<－1评析首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。题型三运用函数与方程的思想解决数列问题例如：设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，>0，<0，（1）求公差d的取值范围；（2）指出、、…，中哪一个最大，并说明理由。解析（

7、1）由得：，∵＝>0＝<0∴

8、公路，点所在的山坡面与山