重难点05 解析几何（解析版）-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

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重难点05解析几何卢巨二题趋疫解析几何在新高考中一般为两道选择，一道填空，一道解答题。选择部分：一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度中等。填空题目也是综合题目，难度中等。大题部分一般是以椭圆、抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变堂的取值范围问题、面积问题等。双曲线很少出现在解答题中，一般出现在小题中。复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主。l、将圆锥曲线几何性质与向蜇数昼积、不等式等交汇是高考解析几何命题的一种新常态，问题解决过程中渗透数学的转化化归，函数与方程和数形结合等的数学思想方法。2、`'定义型”的试题是高考的一个热点。这种题目设问新颖，层次分明，贯穿解析几何的核心内容，解题的思路和策略常规常见，通性通法，直线与圆锥曲线的位置关系的解法和基本在此呈现，正确快速的多字母化简计算是解析几何解题的一道坎。3、定值问题：采用逆推方法，先计算出结果．即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点对千此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点。算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤。利用结果写过程的形式。先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是(1.0)此类的点），所得答案即是要求的定值，然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可。注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可。4、最值与取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式．对千答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内。知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写。一般情况下的步骤对千复杂的计算可以不算。5、特殊值发：在证明问题中，一些特殊点往往很重要，决定了命题成立千否，因此，恰当地带入一些特殊点，心里有个大致的结论后再去证明，会更有方向性，效率会提高。记住一些特殊方程的基本特征，会在求解过程中省掉很多的麻烦，即使有些结论不能直接用，自己也知道是如何证明得来的，就能快速解决间题了。6、形结合的思想：解析几何，很显然，解析是数字的，公式的，而几何是图形的，图形一

1目了然，给人直观的感受，而公式抽象，能准确的描述图像的特征，结合之后一定会对解题有很大的帮助。并且解析几何想比较其他题型的优点在千，它可以带回试题中检验，如果算出答案后有时间，建议同学们花一两分钟检验一下你的答案，这样也有利于你对算出来的答案更有信心，提高准确率。热点解读热点1.求离心率（范围）热点2.求轨迹方程热点3.直线与圆锥曲线的综合应用问题一寸．｀时检A卷（建议用时90分钟）一、单选题1.(2021河北邯郸高三期末）已知直线/:ax+by-ab=O(a>O,b>O)与x轴，y轴分别交于、丿A,B两点，且直线［与圆O:x2+y2=I相切，则~(A.18.2c.3D.4【答案】AII【分析】山直线与圆相切可得亏＋－＝I,再利用基本不等式即求．ab2【详解】由已知可得A(b,0),B(O,a)，因为自线l:ax+by-ab=O(a>O,b>0)与圆0:x丘y2=1相切，所以ab=lIIll2嘉即下＋a2.—＝bz因为下a2＋'b—＝2-1~~~－·ab',~且仅当a=b=✓2时取等号I所以ab;:::2,s.AOB=~ah习，所以“AOB面积的最小值为l故选：A.2222.(2021天津市第一零二中学高三期中）已知双曲线土＿.;.=1(a>0,b>0)和抛物线a2b2y2=2px(p>O)有相同的焦点F;(1,0)，两曲线相交千B,C两点，若ABCE(E为双曲线的左焦点）为直角三角形，则双曲线的离心率为（A.五B.✓2+1c.$D.✓3+1【答案】B

2【分析】巾焦点坐标可求得抛物线方程，根据对称性可求得直线BE方程，与抛物线方程联立可求得B点坐标，根据双曲线定义可求得a,结合c=l可求得离心率【详解】p汛(1,0)是抛物线的焦点-=l'解得：p=2,占抛物线方程为：y2=4x;2山对称性可知：IBP.I=ICF.|，乙BF;C=90°,设B为第一象限内的点，则k/Jh=1,直线BFl方程为y=x+l,将y=x+l代入抛物线方程可得B(l,2)，由双曲线定义可知：2a=IBF;|—|B厅＝2✓2—2,解得：a=✓2-I,又c＝且＝l'双曲线离心率e=~=－—-＝丘＋l故选：B2aJ-13.(2021全国高三期中）在平面直角坐标系中，坐标原点为0,定点M(l,-1)，动点P(x,y)满足IPO|＝五IPMI,p的轨迹C，与圆c2:x2+y2-3x+3y+4+a=0有两个公共点A,B,若在G上至多有3个不同的点到直线AB距离为五，则a的取值范围为（)A(心,-2—2气[—6+2拉，叫B.(--4－2拉，—2—2五］c[—6—2五，--4-2五）u(--4＋2五，－2+2五］D.(--4－2五，—2-2.fi.]u[-6+2五，--4+2✓2)【答案］D【分析】根据动点P(x,y)满足IPOI=✓2IPMI，得到P的轨迹方程为x2+y2-4x+4y+4=0,山C,-C2得公共弦所在直线AB方程，根据x2+y2-3x+3y+4+a=0表示圆，再根据两圆有两个公共点，然后根据G上至多有3个不同点到直线AB距离为5求解【详解】因为动，占P(x,y)满足IPO|＝扛PM|，所以心言了三✓2)(x-l)三(y+l)2'

3所以P的轨迹方程为x2+y2-4x+4y+4=0,由CI-C2得公共弦所在直线AB方程为：x-y+a=O,义cl:(x-2)2+(y+2)2=4,圆心c;(2,-2)，半钤,,=2'llC2:(x一叶(y+i)勹－a圆LC甘号），十径片=[二，.．.—-a>O,即a<一2..2O:因为内圆有两个公共点，所以l'i-，小如C2Il$lb>O)的左a2b2焦点，经过原点的直线l与椭圆E交于P,Q两点，若IPFl=2IQF|，且LPFQ=120°,则椭圆、丿E的离心率为（l竺lc$B--DA.2.323【答案lA4a,__,2a【分析】结合椭圆的对称性以及椭圆的定义得到IPFI=—,|PF.1|=—，在AFPF;中结合余弦33定理可得✓3c=a,进而结合离心率的公式可以求出结果．【详解】取椭圆的47焦点Fl'连接F;P,F;Q'山椭圆的对称性以及直线PQ经过原点，所以OP=OQ，且OF;=OF，所以四边形FQ籽为平行匹边形，故FQ=F;P，又因为IPFl=2IQFI,则IPFI=2IPF;I，而IPFl+IPF;l=2a,囚此IPF|＝早，防沪气，山千乙PFQ=l20°，则乙FPF;=60°,

4y在t.FPF;中结合余弦定押可得|FFl=IPFl2叶PF;l2-2IPFl·IPF.l·cos60勹l6a24a24a2a1$故4c2=——+—-－2—·—·-，即3c2=a2,所以✓3c=a,因此e=!:..＝二二＝一－，故选：99332a占c3A.5.(2021吉林白山高三期末）已知双曲线C：土＿~=1(a>0,b>0)与直线y=kx交于A,Ba2b2俩点，点P为C上一动点，记直线PA,PB的斜率分别为忆，kP8,C的左、右焦点分别为1、丿Fl，凡若kPAPA·k·kPB勹，且C的焦点到渐近线的距离为I,则（森A.a=4B.C的离心率为—-2c.若PE..lPF2，则丛PF;F2的面积为2D.若6PF;F2的面积为2石，则丛P片片为钝角三角形【答案】D【分析】设点A(x1,)月），B(-x1,-yi),P(xo,yo)，利用点差法求解肖线的斜率，得到a、b关系，通过点到肖线的距离求解c,求出a,b,即可推出离心率，判断A,B的正误；设P在双曲线的右支上，记IPF;I=t,则IP凡＝4+t,利用PF;上PF2,转化求解三角形的面积，判断C:设P(xo,Yo)，通过＝角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断＝角形的形状，判断D.2222X1Y1目：仁凶－＝l［详解】设点A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(xo,yo)则-+-—=I'，两式相减得ya-b2a2b2x12－入·1：=yf-y;a2-b2'yx2020--2Yi2竺bl-l-4b-a1-所以(y。-yl)（y。+yl)l所以==斗=2a,囚为饥·KPB==-2,2(x。-x1)(.t;。+x1)4'a

51故双曲线C的渐近线方程y＝士－x因为焦点(c,0)到渐近线y=-:;:-x的距离为I,22所以了＝1,C=＄，所以a=2,b=l，离心率为五，故A,B错误．2对千C，不妨设P在右支t，记IPF2I=t,则IPF;I=4+t因为P凡上PF2，所以(1+4)2正＝20解得t＝石－2或t=－石－2（舍去），所以6PF;F2的面积为沪IIPF'z|＝卢石－2）x（✓6+2)=I,故C不正确；对于D，设P(xo,yo)，因为s!!.PF,F2分2clYol=✓Sly。|＝2$，所以仇1=2'x2将囚＝2带入C:—-y2=l'得xi=20，即伈1=2✓54由于对称性，不妨取P得坐标为(2石，2),贝~IPF2l=Jc2石－✓5)2+22=3'因＝J（2乔＋高＋22=7|PF2|2+|RF汒－IP钳9+20-49因为cos4PF汛＝=<02|PF2IIEF2|2x3x2石所以乙PF沪为钝角，所以1::.PF1F2为钝角三角形，故D正确故选：D6.(2021·四川成都模拟预测）设抛物线l=2px(p>O)的焦点为F,准线为I'过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B'设C(2p,O),AF与BC相交于点D．若ICFl=IAF|，且凶CD的面积为2五，则点F到准线l的距离是（)A.✓2B.✓3C孚D．兰3【答案】D3【分析】由题意，得到IAFl=IAB|，根据ICFl=IAF|，得到1CF|＝IAF|=|AB|＝－p，求得XA=p'2沪5P，又由AB!!CF且AB=CF,所以四边形ABFC为平行四边形，所以D为BC的I中点，结合s.ACD=:::-s.ABC，列出方程，即可求解2pp（详解】如图所示，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F（一，0)'准线方程为l:X=－一，22过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B,可得IAFl=IABI,3又由C(2p,O)且ICF目AF|，所以ICF|斗AFI弓ABI=~p'2

6p3p所以XA+-＝一，解得XA=p,代入抛物线方程，可得yA=J切，22又山AB/!CF且AB=CF,所以四边形ABFC为平行四边形，所以D为BC的中点，所以鸟CD的面积为s..Aco=~s.Asc＝上上扭x迈p=25，解得p=—一4$，222234$即点F到准线I的距离是——-．故选：D.3Iyxy7.(2022全国高三专题练习）已知双曲线x2——=I的右焦点为F,M(4,3✓5)，直线MF3与y轴交千点N,点P为双曲线上一动点，且IY,,1<3✓5，直线MP与以MN为直径的圆交千点M,Q，则IPMl·IPQ的最大值为（)A.48B.49c.50D.42【答案】A【分析】由已知可确定N点坐标，从而确定以MN为直径的圆，连接NQ,NP,PF,可将IPMl·ll劝转化为－冗了．两，进一步利用向堂的线性运符得到IPMl·IPQl=49－砰2'由双曲线性质可确定结果；【详解】由双曲线方程知：右焦点F(2,0),M(4,3✓5）在双曲线上，直线MF方程为y＝过~(x-2),令x=O,解得:y=-3石，N(0,-3()✓5);2以MN为直径的圆的圆心为F,且IMFl=7.连接NQ,NP,PF,·.·Q在以MN为直径的圆上，．．．MQJ_NQ,:,IPQl=I网·COS（冗—LMPN),IPMl·IPQl=I西1两I-cos（冗—乙MPN)＝－西两＝—（芹＋i亏;w)（芹＋丽）＝丙三乔＝49－乔：·:P为双曲线上一点，目IYPI<3✓5•:.IPFI闾"=c-a=2-l=l,:.IPMl·IP~~49-1=48;

7故选：AyX【点睛】本题考查双曲线中的最值问题的求韶，解题关键是能够将所求式子进行转化，可采用儿何法转化为关于IPFI的蔽值的求解，或利用坐标运算将问题转化为关十P点横坐标的函数的最值的求解22X.y8.(2022全国高三专题练习）已知椭圆E:·—+—-＝1上有三点A,B,C,线段AB,BC,43AC的中点分别为D,E,F,0为坐标原点，直线OD,OE,OF的斜率都存在，分别记为kl'k2'k3'且k1+kz＋伈＝2＄，直线AB,BC,AC的斜率都存在，分别记为kAB'1I1kec,kAc,则一－＋--+--=()kABkBCkAC8✓38✓3A.B.-—C.-2✓3D.-133【答案】B3【分析】采用点差法，设A（开Yi),B(凸汃），代入椭圆方程化简可得k屈kl=-~，即431.31.31kl=-—，同理求出构＝－－—-，丛＝－－—-，结合k＋幻＋幻＝2＄即可求解4kAB4kBC4kAC?,斗Y~【详解】设A(x凸），B（豆），代入椭圆方程可得{—+-4!....=}232，曲式相减，可得兰+1'.i=l43x}－易2＋对－~=0，即伈＋X2)（x1飞）十(y1+y2)（y1飞）＝0,故－i＝yl-y2y1+y243434斗－X2入'.l+x2,3___,3l即kAB.勾＝－一，即勾＝－一·—44kAB'3l313lll同理可得构＝－了三＇丛＝－了三：由灯心＋伈＝2$，得－；（冗下了）＝2✓3'1Il8石故＋+=-．故选:B.kABk/JckAC3

8二、多选题9.(2021河北衡水中学模拟预测）已知双曲线C乓立;=l(a>O,b>0)的左、右焦点分别为F,(rb、丿启，过片的直线与双曲线的右支交千A,B两点，若1心曰B厅＝2|心I,则（V.XB忘A.乙4F;B=乙RABB.双曲线的离心率e=——3拓c.双曲线的渐近线方程为y＝士—－XD.原点0在以尺为圆心，IA厅为半径的圆上3【答案】AB【分析】根据双曲线定义及题十中的线段的长度关系，可以得到乙AF;B=L.F;AB;利用余弦定珅得到C与a的关系，进而得到离心率和渐迈线，从求出的离心率可以得到D选项的正误．【详解】设IAF;I=IBF;I=2lf1Fil=2m,则IABl=IAF2I+IBF;I=3m,由双曲线的止义知，因礼－I心I=2m-m=2a,即m=2a,IBF;I-IBF;I=2a,即IBF;l-2m=2a,:.IB凡＝3m斗ABI,乙AF;B=乙F;AB,故选项A正确；由余弦定理，知在“ABE;中，严12叶BE|2-|AB|2=4m2+9m2-9m2lcos乙AF;B=＝－，在6.AF,F2中，2IAF;l·IBF;I2-2m-3m3|耽|2+IAF;l2-IF;F;l24m2+m2-4c2__Icos乙~AB==＝cos乙AEB=－，化简整理，得2·IAF;l·IAF2I2·2m·m·312c2=llni2=44a2,．．．离心率e＝产＝尸严，故选项B正确；双曲线的渐近线方程为a123y＝土~x=b土J?¥x=c2-a2土五言x＝土飞气2拆，故选项C错误；若原点0在以凡为圆心，AF2c忘－为半径的圆上，则C=m.=2a,与－＝——不符，故选项D错误．故选：ABa310.(2021全国模拟预测）已知曲线C:x2+y2+2xcos0-2ysin0=1,直线l经过坐标原、丿点O，则下列结论正确的是（

9A.曲线C是半径为1的圆B.点0一定不在曲线C上C.对任意的0,必存在直线l与曲线C相切D.若直线I与曲线C交于A,B两点，则IABI的最小值为2【答案）8D【分析】对丁A,由x2+y2+2xcos0-2ysin0=1可得(x+cos0)2+(y-sin0)2=2,山此可判断；对于B,当x=O,y=O时，x2+y2+2xcos0-2ysin0=0

10y。X.PM'N'对于8,显然直线MN斜率存在，设直线MN的方程为y＝虹＋1,联立｛y＝三，整理8y=2i7-1_1得2x2－虹－－＝0,:.x凸＝－一，故B正确；816对于C,若丽＝儿丽，则MN过点F,则IMN|＝汇口工可言石＝汇叮工工炉＋1,当k=O盯'|MNI＝½,即抛物4.42..'•mm2线通经的长，故C正确，对TD,抛物线卢；y的焦点为（叶），准线方程为）1＝－一，过点M,N,P分别作准8线的垂直线MM',NN',PP'，垂足分别为M',N',P'，所以IMM'l=IMFI'INN'l=INF卜3|MM'|+|NN'|3所以IMM'l+INN'I=IMFl+INF|＝—，所以线段IPP'I==—，所以线段MN的中224l3l5点P到X轴的距离为IPP'I，故D正确．8488故选：BCD.【点睛】本题考查抛物线的定义与标准方程，考查抛物线的焦点弦性J贡，对抛物线y2=2px,2pAB是抛物线的过焦点的弦，A(x1,y,),B(x2,yi)，则y心＝－矿，x凸＝—－,IABl=x1飞＋JJ'4IABI最小时，AB是抛物线的通径．x212.(2021·广东模拟预测）已知A,B分别是椭圆－＋沪＝1(a>l）的左、右顶点，P是椭a圆在第一象限内一点，且满足乙PBA=2LPAB，设直线PA,PB的斜率分别为丸，k2'则()4拉A.k凸＝-a2B.若IPA|＝－—|PB|，则椭圆的方程为3

11—2x2+y2=17品7C.若椭圆的离心率e＝一，则k2=--KD.l':-,PAB的面积随丸的增大而减小33【答案）BCD五4五【分析】利用斜率公式及椭圆方程可判断A，利用条件及正弦定理可求kl=—-,k2=—,42(1-kn可判断B,结合条件及k1上的关系式可判断C,由题可得S心PAB=13，再利用导数可3k1-k,判断D.【详解】对千A选项，由题意可知A(—a,O),B(a,O),X221-.::::!?-21设P(书,y。)，则从＝y。，y。=y。a故A错误：22==-—'X。+ax。—aX。—a点—a2a2IPAI_sinLPBA4五对千B选项，由干弦定理得一一＝＝2cos乙PAB=－－勹|PB|sin4PAB32五五五:.cos乙PAB=—，则tanLPAB=—-，即kl=—-,34'42tanLPAB2"14五-k,=tan2乙PAB===1-tan一乙PABI-K27'4五lJ5位122x22从而k2=－——,因此－了＝klk2＝了x(－』即下＝一，则椭圆方程｝寸—+y·=1'7a77故B正确；2Kllkl对于C选项，由B可知，女＝亡了，得k2k12飞＝2kl心－幻＝（2＋了）K，即t=－（2＋了］，北K77又e=—,b=l,所以a=＄，得上＝－－即伈＝——kl，故C正确3k'I33IPDIIPDI对丁D选项，过P作PD上AB丁D,则=k,'=-k2'、IADIIBDI

12yABX网IPDI2ak丸故2a=IABI=IADI+IBDI=—-—，即IPDIk1k2朽－KI,2a2k.k222(1-kn•sSMAB=~·2a-lPDI=~=~=2构－klkl-ki2K13k1-K13,kl>0,2kl+l-kl22x4+6设f(x)＝叩－;2,x>O,则f'(x)=-~<0,3x-x3(3x-x3)2所以f(x)在(0,+oo)卜单调递减，则6.PAB的面积随幻的增大而减小，故D正确故选：BCD.三、填空题13.(2021天津市第一零二中学高三期中）已知过点P(-2,-2)的直线与圆x2+(y+1)2=5相切，且与直线x＋0)1+1=0垂直，则a=【答案）-2【分析】由圆的方程可确定圆心和半径r'假设切线方程，利用圆心到盲线距离d=r可求得切线斜率k,进而得到切线方程；根据切线与x+ay+l=O垂直可构造方程求得a的值【详解】山圆的方程可知其圆心为(0,—l)，半径r=✓S;当过点P(-2,-2)的直线斜率不存在，即直线为x=—2时，与圆x口(y+l)2=5不相切，过点P(-2,-2)作圆的切线，切线斜率存在，则可设切线方程为y+2=k(x+2)，即kx-y+2k-2=0,l2k-ll圆心到切线距离d=＝＄，解得：k=-2,即切线方程为2x+y+6=0,四又直线x+ay+I=0与2x+y+6=0乖直，乙lx2+a=O,解得：a＝—2故答案为：—2.14.(2021·江苏省前黄高级中学模拟预测）已知抛物线C··沪＝4x的焦点为F,p为抛物线C在第一象限内的一点，抛物线C在点P处的切线PM与圆F相切（切点为M)且交X轴于点Q，过点P作圆F的另一条PN（切点为N)交X轴千点T,若IFQ目FP|，则IFTI的最小值为.

1316【答案）—9【分析】设乙PQF=0,P(~,t)，分析出tan0=~,结合图象根据抛物线的几何性质表示如FTI的长度，即可求得最小值．【详解】山题：设乙PQF=0,IFQ目FPI,所以乙QPF＝乙TPF=0,兀乙PTF＝亢－30<0,0<0<-==-,3sin30=sin(20+0)=sin20cos0+cos20sin0=2sin0cos0cos0+(cos20-sin20)sin0=3sin0-4sin302Dt2-(t2设P(亡t),IFQI叫FPI,—xQ+E=L24+P2,xQ=4,Q(4,0),422抛物线第一象限的函数解析式为y=2.J;X,y,y'=X飞，所以tan0=<$,t>—-t§'IPFI-ITFIAP1F中山正弦定理：=sin（冗－30)sin0尸）sin。(亡+l)smO亡十l(亡+1){sin20+cos204444()ITFI=sm30=3smO-4sm30=3-4sm20=3c1豆O-Sl旷o＝臣）（l＋tan2o)=［：+1)［心）2）.l(t2+4f，令矿－4=m,1二，m>O,3-tan203-（汀丁矿－4$t2m+l6ITFI了矿l(t2+44)2=(：：：)士（三三气荨气16当m=l6时，取得等号故答案为：—92222xyyx15.(2022浙江模拟预测）已知椭圆C:+＝1,双曲线Cf-－－＝l;mnl625(1)若椭圆的上顶点为C,椭圆上有A,B两点，t:,AOB和t:,ACB是分别以0（原点）、C为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆Cl的离心率是;（2)当Cl与C2没有交点时，m,n应满足,森【答案）—-0

14【详解】＠因为椭圆的上顶点为C,A,B为椭圆上两点，且t::.AOB和t::.ACB是分别以0（原点）、C为直角顶点的直角三角形，可知O、C两点在以AB为自径的圆上，所以有直线AB乘直平分线段OC,又因为点A、B在椭圆上，则可知A[－孚卒），B［孕卒），因为t,.AOB为等腰直角三角形，所以乙B0C=45°，所以尽i—=—，即n=3m.22所以椭圆焦点在y轴七，十是有a2=n,b2=m,c2=n-m，得离心率e=[三五＝［百二三五；nV3m3＠山于椭圆C，与双曲线c2没有交点，结合椭圆与双曲线的性阮知，双曲线的上顶点始终在椭圆的上顶点的上方（或双曲线的下顶点始终在椭圆的F顶点的下方），嘉千是m、n满足条件i(4,m〉O,n>O,m:t:.n且，解得0O,m-:t=n.16.(2021·广东中山模拟预测）F为抛物线C:y2=2px的焦点，P(4,2)为抛物线C内一点，M为C上的任意一点，IMPI叶MFI的砐小值为5，则p=_,直线I过点P,与抛物线交于A,B两点，且P为线段AB的中点，过A,B分别作抛物线C的切线，两切线相交于点Q,则t;.QAB的面积为.【答案】2l2五【分析】设点M在准线卜的射影为D，根据抛物线的定义可知IM片叶MFl=IMFl=IM凶结合图象，得到当D,M,P三点共线时，IM月叶MDI取得最小值，列出方程，求得P的值，设直线AB的方程为y-2=k(x-4)，联守方程组，利用根与系数的关系和P为线段AB的中点，求得k=l及A、B的坐标及IAB|，进而求得过点A,B的切线方程，求得交点坐标，结合点到直线的距离公式和面积公式，即可求解p【详解】由题意，抛物线C:y2=2px的准线方程为x=——,2设点M在准线十的射影为D，根据抛物线的定义可知IMFl=IM~.要使得IMPl+IMFI取得最小仙，即IMPl+IMDI取得最小仙，结合图象，可得当D,M,P三点共线时，IM'1叶MDI取得最小俏，

15y5D'P-3-2-,45-·x-1-2-34-5又由点P(4,2)，可得最小值为4-(--&)=5,解得p=22囚为P为线段AB的巾点，所以肖线AB的斜率一定存在，设且线AB的斜率为k,可得直线AB的方程为y-2=k(x-4)，即y=k(x-4)+2,y=k(x—4)+2联立方程组｛2，可得k亨＋（4k-4-8k2)x+(16k2-I6k+4)=0,y"=4x8k2-4k+4设A(x1,Yi),B(x2,Y2)，则xI,+'"'x,2=-k2，因为P(4,2)为线段AB的中点，所以8k2—4k+4=8'解得k=1,k2即方程x2-8x+4=0,解得x1=4+2✓3或凸＝4－2J,所以A(4+2五2+2✓3),B(4-2✓3,2-2和，可得凶对＝4i,设过点A的切线方程为y=ki(x-4-2✓3)+2+2✓3,联立方程组厂式(x-4-2五）＋2+2✓3,可得y2－乌－（16+8句＋8＋8g=0,y=4xklkl山4=0，可得k.I`-1，即切线方程为y＝石－1x＋石＋1，2设过B的切线方程为y＝~(x-4+2✓3)+2-2✓3,联立方程组厂式(x-4+2如2-2✓3，可得y二土y-16+8五－8丘8=0,y"=4x...-~.k2l+$l+$山~=0,可得k2=—，即切线方程为y=—x+l-✓3,22扣联立方程组[y=x+1+$2+$，解得X=—2,y=2，即Q（—2,2),y=-~x+l-✓32又由自线AB的斜率为K=l，可得其方程为x-y-2=0,

161-2-2-21则点Q(-2,2)到直线AB的距离为d=＝3五，五ll所以t,.QAB的面积为S=-|AB|d=－x4ix3h2=12＄故答案为：2;l2$.22四、解答题17.(2021辽宁模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>O)的焦点为F,点M(x。,4)在C上，5p且IMF|＝—.2(1)求点M的坐标及C的方程；（2)设动直线l与C相交千A,B两点，且直线MA与MB的斜率互为倒数，试问直线l是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【答案）（1)M的坐标为(4,4),C的方程为y2=4x;(2)直线l过定点(0,-4)【分析】(I)利用抛物线定义求出Xo'进而求出p值即可得解(2)设出直线l的方程x=my+n,再联立直线l与抛物线C的方程，借助韦达定理探求出m与n的关系即可作答．p5p(I)抛物线C:y2=2px的准线：x＝－E，千是得IMFI=-.\;。+－=—一，解得X。=2p'222而点M在C上，即16=4p2,解得p＝士2，又p>O,则p=2,所以M的坐标为(4,4),C的方程为l=4x.(2)设A(x1,y1},B(七义），且线l的方程为x=my+n,x=my+n叶消去x并整理得：）产-4my-4n=O,则~=16()(m飞n)>0,y,+y2=4m,y2=4xY1Y2=-4n'Y1-4Y2-4_Yi-4Y1-4_44k...·k.=.=·.=.=1因此，MA..MBx,-4X2-4y;Ay;AY,+4Y2+4'—-4必－－444化简得）11Y2+4(Y1+yi)=0,即n=4m,代入l方程得x=my+4m,即x—m(y+4)=0,则直线l过定点(0,-4)'所以直线l过正点(0,-4).【点睛】自线与圆锥曲线相交，宜线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，倡助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题．18.(2021辽宁大连市第一中学高三期中）在平面直角坐标系xOy中，点D,E的坐标分别为(-2,0),{2,0),p是动点，且直线DP与EP的斜率之积等千－一．（I)求动点P的轨4X迹C的方程；（2）已知直线y=kx+m与椭圆－＋y2=1相交千A,B两点，与Y轴交千点M,4

17若存在m使得DA+301抎4沉4,求m的取值范围ll【答案）(I)~+/=l()(x土士2(2)(-1，一一2）U(-一2，I)4【分析】(I)根据直线DP与EP的斜率之积列方程，化简求得动点P的轨迹C的方程(2)利用向世的坐标运符，由百4+3项j=401订得到X1=-3x2,联立直线y＝虹＋m与椭圆：x2—+y2=l'化简写出根与系数关系、判别式，求得关丁m的不笐式，并山此求得m的取仇4池围．(I)设P(x,y)，则kEP知＝士点＝－』（x红2),X所以可得动点P的轨迹C的方程为—+y2=l(x-:;:;土2).4(2)设A(斗,y,),B(Xi,Y2)，又M(O,m.)，由OA+3啼＝40A了得(x1+3环y1+3y2)={0,4m),x1=-3x2联立{y/kx+1n可得(4炉＋1}x'+8压＋4m2-4=0—+y2=14·:!).=(8km)2-4x(4k2+l)x(4m2-4)>0,即64K2一16m'+l6>0.·.4k'-m'+l>D,且｛二言，4km4km4m2-4义X1=－坛＼x2=，则x1?x2-3斗＝()2=4炉＋14k2+11-4k2+1'\16k2m2-4k2+m2-1=0,m-1m2-l＼炉＝代入4k2-m2+1>0得+1-m2>0,~

182y=xX。＄忘4拆【答案］(1)—O),A(-xi,y1),B(x1,y1),C(易，动，D（－屯Y2),x2+(y-1)2=r2其中X1>Xz>0,Yi>Y2>0，联立{，消X,列出不等式组，解得即可得出答y=x-案；（2)根据题恣：四边形ABCD为等腰梯形，则ls梯彤ABCD=－伲＋2动(Yi飞）＝（X11++xz)(YX1-y2)，利用韦达定理求得Y1+Yz,Y1Y2,可得2s梯形ABCD=f二飞二可[二了勹寻，正/』』）,再利用导数即可归霆(I)解：设圆的方程为x2+(y-l}2=r2(r>O)，根据圆与抛物线都关于Y轴对称，则可设A(－坏Yi),B(芍,Y1),C(易,yi),D(-x2,Y2),其中Xl>X2>0,yl>y2>0,联寸t2=+_y-1)2=r2'消X得）产＿y-r2+1=0,CDy=x-,4,2、Alrl+1>。__--rIJ§§则勹。解得所以圆M的半41令的值泣围为Vr－>,_2O』(2)根据题意四边形ABCD为等腰梯形，则1s梯形ABCD=i(2xl+2凸）（y1飞）＝（x1飞）（yl-y2),山＠得Yi+Y2=1,Y1Y2=I－户，斗＝石，X2＝丘，故S梯形ABCD=（x1飞）（Yi-y2)=.J(y1五）2-4yly2[忑言了了=~二，亨<,.<1'

19令I＝卢，tE（吟），则S梯形ABCD=』五忙门』三了了二＝✓-8t3-4t2+2t+l,l令f(t)=-8t3-4r2+2t+l,tE伈－），则f'(t)=-24t2-St+2=-2(6t-1)(2t+1),2令f'(t)>0，则O

2022(I)x2千＝2,~－~=l,a=b＝五，c=2，所以F;(-2,0),F(2,0)，则D(-1,0),22打－O且线MN的方程为y=——(x-2)＝石(x-2)，即打x-y-2石＝o,3-2所以D到直线MN的距离为1—石—2司迈3而=~=-·豆2五4(2)直线MN的斜率不存在时，x＝易＝2，环飞Y1=2y2-2Y1=2(y2-Y1),YiY2百线MN的斜率存在时，kMF,=kNF2,=，整坪得斗）广飞Yi=2(y2-Y1).x1-2x2-2综上所述，x心－X2Y1=2(Y2-yl)成立(3)依题，意可知直线MD的斜率存在目不为0,yl设直线MD的方程为y=~(x+l)，代入双曲线x2-y2=2并化简得：x1+l(x1+1归－Yi(x+l}2-2(x1+1)2=0G),由千矿—l=2,则y~＝矿－2代入＠并化简得：(2x1+3)x2-2（式－2)x-3式－4X1=0,—3式—4X1—3x1—4y1-yl设P(x。,y。)，则环＝，x。=，代入）1＝－—(x+l)，得Yo＝一—一，即2x.+32斗＋3x1+l2x1+3P(—3xl-4-yl]2x1+3'2x1+3)'-y2yl2x2+32x,+3_-2(x必飞Y1)—3(Y2—yl)所以朽＝=－坛－4＿－3x1-4x1-x22x2+32x1+3=--4(y2飞）—3(y2飞）＝（－7)为－yl=7kl'X厂乌凸－易k所以~=7是定值．k2221.(2021·广西玉林模拟预测）设椭圆E沪f=l(a>b>0)过M[I亨），N(✓彗）两点，0为坐标原点（1)求椭圆E的方程；（2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAJ＿＠沪若存在，写出该圆的方程，并求IABI的取值范固；若不存在，说明理由．—x2--244$【答案）（I)+y2=1(2)存在，x2+y2=－,—司ABI~✓5455

21x2.y2✓3【分析】（I)根据椭圆E:—+—a2.b2=l(a>b>O)过M[l，了）叶五，归）两点，直接代入方程解方程组，解方程组即可．（2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B，且＠让玩，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y=kx+m,｀厂kx广，根据如丽，结合书达定理运算XIX2+yly2=0，同时满足t,>0,则存—+y=l4在，否则不存在；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到4§IAB|＝汇言(x＼飞）2-4xix2=Il+95l，结合题意求解即可，当切线斜率不16k乓亏＋8k存在时，验证即可(I)将M,N的坐标代入椭圆E的方程得尸产，解得矿＝4，b2=1所以椭圆E—+—=l矿4b2x2的方程为—+y2=l.4(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x2+y2=R2,其中O

22卢l(－4气）2-4x44:::：三三厂勹(l+(kl2:＼`26K2)＝孚巳严干孚厂／二兰I1+16K2+9\+8'k由16k气气，得1b>O)的左、右焦点分别为E、F2,2-b2a过右焦点E与x轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆C上．已知IEE|＝2,AMNE的周长为4五(I)求椭圆C的方程；（2)若线段PQ的中点在y轴上，求三角形F.QP的面积；（3)是否存在以F.Q、F,P为邻边的矩形印PEQ,使得点E在椭圆C上？若存在，求出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，说明理由yx2✓2,~,-e-J..IIn1-,1,c-,J.,•.fi【答案】(1)—+xy2=l;(2)—;（3)存在，且Q点坐标为（－巨—2)'(－2飞，土抎~)22［分析】(I)D.MNF;的周长是4a,求得a,由焦距得C,然后求得b得椭圆方程；(2)线段PQ的中点在y轴上，得Q点横坐标，代入椭圆方程得Q点纵坐标，此时QE..Lx轴，易得其面积：(3)假设存在以EQ、印P为邻边的矩形F;PEQ，使得点E在椭圆C上，设P(l,t),Q(x1,y1),E(x2,Y2)，由平行四边形对角线互相平分把E点坐标用P,Q点坐标表示，然后把Q,E坐标代入椭圆方程，利用垂直得向记的数旦积为0,得出XI,yI,t的关系，结合起来可得t=O或t+Yi=0'再分别代入求得开Yi，得结论．

23{2c=2x(I)由已知，所以a=✓2,c=l,从而b=［了二了＝l'椭圆方程为—+y2=1:4a=4心2(2)显然Xp=1，线段PQ的中点在y轴上，则XQ=-I,QF;J_X轴，1-五y2=l士ll五52+,y=2所以s!PQ卜~=-;;-IYIXIFiF2I＝－又一x2=~2222(3)假设存在以F;Q、F,P为邻边的矩形F;PEQ，使得点E在椭圆C上，设P(l,t),Q(x,,y,)'E(xz,Y2),肛－1,0),因为四边形FiPEQ是矩形，一定为平行四边形，所以X1=Xi+2'Y1=Y,+1'P,Q都在椭圆上，｛（x／：2f=1+yl=l，变形得t2+2ylt+2x1+2=0O,+(yl+t)2=I2又QF;..LPE，所以冗？万P=O，即（x1+l,y1)-(2,t)=2(x1+l)+yif=0,2x1+2=-ty1@,＠代入G)得t2+Y/=0,t=0或Y1=-t,五五t=O时，x1=-1,y,＝士一一，此时P与庄重合，Q点坐标为（－I，土—-）;22yl=—t时，x1=-2+✓2(-2-✓2舍去），Yl＝士J；万勹2,Q点坐标为(—2+[，士J三万-=;)五所以存在满足题意的Q点，其坐标为（－l，士)，（－2+5，土五万言）·2【点睛】本题考查求椭圆标准方程，直线与椭圆中的存在性命题．解题方法是假设存在，设出点Q的坐标，由平行佣边形求出E点坐标，然后把Q,E的坐标全都代入椭圆方程，再由垂直得向址的数丛积为0,得出X1,Y1,t的关系，从而达到求韶的目的．本题考查学生的逻辑思维能力，运算求解能力，屈于难题．B卷（建议用时90分钟）一、单选题1.(2021·江苏南京师大附中高三期中）已知直线x+y-k=O(k>O)与圆x2＋沪＝4交于不$、丿同的两点A、B,0是坐标原点，且有IOA＋沉沁—-丿和，那么k的取值范围是（3A.(✓3,+oo)B.［五，＋00)c［五，2句D.［五，2五）【答案］C【分析】由题设，丙无可11为等腰1:,.AOB底边中线长度的2倍，因斗为底边长度，而k是

24直线在坐标轴上的截距，由已知条件并结合数形结合思想及圆的性质，求k的范围石【详解】设AB中点为C,则OC上AB,·:I驮＋氓沧—|豆订，3✓3.-;-;::..,-;-;::,_~r:;,=,..,:nr,2.I:.12玩准—|职,...瓦|~2和OCI,·:1玩丫＋－闷和＝4,34:.I改归，．．直线x+y-k=O(k>O)与圆x守＝4交千不同的两点A、B,:.I固长4,:.4>囡归，．．．4>千~1,._.k>O,:.✓2~k<2✓2故选：C2X2.(2021·吉林四平高三期末）如图，Fl、F2分别是双曲线C:·—-工=I(a>O,b>O)a2b2的左、右焦点，过E的直线l与C的左、右两支分别交千点A、B.若“ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（)2§A.4B.石C.D.j53【答案】B［分析】根据双曲线的定义求出在AARF2中，队凡＝2a,IAF2I=4a，则由AABF2为等边三角形得乙F,AF;=120°,再利用余弦正理可得c=✓切，从而可求出双曲线的离心率【详解】解：根据双曲线的定义可得IBF;I-IBF;I=2a'因为AABF2为等边三角形，所以IBF;I=IABI'乙F,AF2=120°所以IBF;I-IABI=IAFil=2a,因为1心计一1心计＝2a,所以1心计＝µ冈＋2a=4a，因为在AAEE中，IAFil=2a，凶厅＝4a'

25乙AF,_=120°'所以l~Fil2=IA~l2叶AF;l2-21Mil·IAF;icosl20°,即l4c2=4a2+16a2-2x2ax4a气）＝28a2,所以c＝打a'所以双曲线的离心率为e=5:..＝石：，故选：Ba3.<202H折江省诸暨市第二高级中学高三期中）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数k(k>0,k司）的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点A(-2,0)、B(2,0)，动点C满足1叫＝2|如，则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P,已知点D在圆P上（点D在第一象限），AD交圆P于点E,、丿连接邸并延长交圆P千点F,连接DF,当LDFE=30时，直线AD的斜率为（$-而痀郘cA.B.4D.41313【答案］A【分析】设点C(x,y)，根据IAC1=2IBCI求出点C的轨迹方程，过圆心P作PGJ_DE千点G,求叫PG|、|PA|，可求出sinL.PAG的值，利用同角三角函数的基本关系可求得直线AD的斜率【详解】如图所示，设动点C(x,y)，则成：：了了了＝2£x二了了了，化简可得x气沪－—2Ox+4=0,化为标准方程可得圆P:（X-—)lO＋y264=—339.因为乙DPE=2乙DFE=60°'IP叫＝伊~'则"DPE为等边三角形，4$4石jPGI丁5过圆心P作PG.lDE十点G,则IPGI=IPElsin60°＝一一，sin乙PAG=——=—=——,3IPAI~43$了忘所以cos乙PAG=［三厂平所以kAv=tan乙PAG=－—=－－，故选：A而134

26噜，.＇`,X2y24.(2021浙江高三期末）设双曲线--—=l(a>b>0)的左右焦点分别为Fi,F2．过左焦点E2a"b的直线与双曲线的左支交于点P,交双曲线的右支千点Q,若满足伊勾＝2IQF2l=IF;叫，则该双曲线的离心率的取值范围是（)A.(1,2)B.(1,J历C.(✓2,2)D.（五，＋oo)【答案）B【分析】利用双曲线的定义得到PQ=4a-c,由IPF;I-IWzlb>O可得lb>O,所以矿＞b2=c2＿矿，即2a2>c2，所以有e2<2,即e＜五｝．所以有l

27【分析】将抛物线与圆方程联立可求得P点坐标，由此可知Ys的取俏范围；利用抛物线定义和圆的半径可将t:;.FAB周长转化为Ye+3,由为范围可得所求周长取值范围【详解】由抛物线x2=4y得：F(O,l)，准线为y=-1;设x=t与y=-1交于点D，由抛物线定义知：IAF|＝|俎斗yZ:;\..2=4yX臼由圆Fx2+(y-l)2=4知IBFl=2;由｛：：+=:yy-l)2=4得｛言，即P(2,1)，则m=2,X>0,y>0设B(x8,y8),·.·O

285l:.(-2-x,-y)~%(-1-x，工），．·.』:2y`:—-ly—)x)，解得『y::，．·.c［飞孚l,l5$3$l5·0COM=［飞'3)［了了）＝言＝3故选：A3-x-347.(2021新疆师范大学附属中学高三阶段练习）已知点P是椭圆王－＋义二l上异于顶点的6448动点，F1、E为椭圆的左、右焦点，0为坐标原点，若M是互PF2平分线上的一点，且)叹厮＝0，则匠V的取值范围是（A.(0,2)B.(o句C.(0,4)D.(2,2句【答案）C【分析】延长PF2、EM相交丁点N,连接OM，利用椭圆的定义分析得出IOMJ={IIPFiJ-IPF2II,设点P(x,。,y。)，求出Xo的取值范围，利用椭圆的方程计算得出1|0M|＝－|x。I,由此可得出结果2【详解】如下图，延长PF2、RM相交十点N,连接OM,

29X因为瓦"fi-MP=O,则F;M上MP,因为PM为互PF2的角平分线，所以，IPNl=IPF;|，则点M为FiN的中点，因为0为印片的中点，所以，IOMI=~I21F•2NI=~IIPNI-IP~ll=~IIPF;I-IPF2II,I2IIII•II2设点P(x。,y。)，由已知可得a=8,b=4✓3,c＝心了可了＝4,则－8＜X。<8且X。*0，且32有yi=48--xo,4因＝｀了三＝＼I点＋8x。+16+48-3点＝巨二＝lX。+8=8+1Xo,4422故IPF2I=16-IPPil=8-~x0,所以，IOMI=~IIPF;I-IPF2II=~I~。作(0,4)故选：C2228.(2021江苏南京师范大学附属中学秦淮科技高中高三开学考试）已知双曲线X22而C:-:;-上=l(a>O,b>0)的离心率为－－，双曲线上的点到焦点的最小距离为j5-3，则a2b2双曲线上的点到点A(S,O)的最小距离为（)拆B＿A.I2C.2D.高【答案】B【分析】利用已知条件求得a、C的值，可得出b的值，求得双曲线的标准方程，然后利用两点间的距离公式并结合一次函数的基本性版可求得双曲线上的点到点A(5,0)的最小距离，c而【详解】由已知可得-=—,c-a＝而－3'可得c=✓IO,a=3,h2=c2-a2=I,a3入，2`乒2x所以，双曲线的方程为一－y2=1'设P(x,y)是双曲线.:.__/=1上的点，则y2=—-1'且999x~一3或x~3,

30则IAPI=~飞亡工J亨—10x+24=Jw厂）＋24＝产（曰）勹，所以当x＝江，IAPlmin=JI=1!故选：B222二、多选题9.(2021·广东佛山模拟预测）已知圆C1:x2+y2＝户，圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2,(r>O,且a,b不同时为0)交于不同的两点A(xp),I),B(另,Y2),下列结论正确的是（)A.2ax1+2by1=a2+b2B.a(x,一凸）＋b（y1飞）＝0C.x1+X2=a,y1+y2=bD.M,N为圆c2上的两动点，且IMN|=✓3r,则IOA仁-ONI的最大值为[严了-十r【答案lABC【分析】内圆相减就得到公共弦所在的宜线AB的方程，点A,B代入直线AB的方程，即可判断选项A,B正确；分析出AB的中点恰为C1C2的中点即可得到选项C正确；设MN的中点为H,把求IOM＋丽I的蛟大值转化为求囡沉的报大值，即可判断选项D.【详解】由C2:(x-a)2+(y-b)2=户，得x2+y2+a2+b2-2a,I'.-2by=r2,两圆的方程相减得到百线AB的方程为2ax+2by=a2+b2,因为点A(x"y1)在白线AB!:-.,所以代入直线AB的方程，得2ax1+2by1=a江矿，一0因此选项A正确；又因为B(易,Y2)也在直线AB上，所以代入直线AB的方程，得2ax2+2by2=a2+b2—@,@－＠，得a(x,一x.z)+b(y1-yz)=0,因此选项B正确：因为两圆半径相等，所以AB的中点恰为C凸的中点，所以x,+X2=a,Yi+Y2=b成立，因此选项C正确；设MN的中点为H,则币汀＋丽I＝怀可，当C1,C2,H二点共线时1况仁丽I最大，最大为2嘉可,J+r，因此选项D错误故选：ABCx-y10.(2021·江苏南通模拟预测）已知双曲线C：一－－－=l(a>0,b>0)的左右焦点分别为只、a2b2F1'那么下列说法中正确的有()b222A.若点P在双曲线C上，则kPfj.kPF,=—B.双曲线斗－-~=I的焦点均在以F;F2为a2a2b2直径的圆上C.双曲线C上存在点P,使得IP门＋IPF;l=2aD.双曲线C上有8个点P,使得'6PF;F2是直角三角形

31【答案］BD【分析】设P伈，y。），利用斜率公式以及双曲线的方程可判断A选项的正误；求出两曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断B选项的正误；利用双曲线的定义求出IPF;|、IPF2|，可判断C选项的正误；数形结合可判断D选项的正误．总y;【详解】对千A选项，设点P（如）10)，则—-—=l'矿b2b2(xt-a2)所以，ab2'A选项错误；k所kPF,＝二Y°=2y。2=＃一了X。+CX。-CX。-c忒－C2a对于B选项，双曲线上＿土＝l的焦点为（0，土c)，易知F;(-c,0)、F2(o,c),a2b2以F;Fl为直径的圆的方程为x2+y2=C2，则点（O，士c)在圆x2+y2=C2上，B选项正确；对丁C选项，若双曲线C上存在点P,使得伊几叶PF;I=2a'山双曲线的定义司得IIPF;I—|PF;ll=2a,不妨设IP片I-IPF;.l=2a，解得IPF"il=2a,IPF2l=O,C选项错误；对十D选项，以f'iF2为自才叶的圆x1+Y2=c2与双曲线C有4个交点，过点Fl且垂直千X轴的直线与双曲线C有2个交点，过点E且垂直千X轴的直线与双曲线C有2个交点．综上所述，双曲线C上有8个点P,使得APR片是直角三角形，D选项正确．故选：BD.yiLX2x-.y11.(2021全国模拟预测）已知F;(-1,0),F;(1,0)分别是椭圆C:.;-+=H(a>b>O)a>的a2.b2左右焦点，P在C上，0为坐标原点，若10月＝1,6PF;F2的面积为1，则（)$A.椭圆C的离心率为—-B.点Q[-1，子）在椭圆C上2C.6PF;F2的内切圆半径为§-lD.椭圆C上的点到直线PF1的距离小千2【答案】ABD

32【分析】先根据已知条件得到LF;PF2=90°,再利用丛PF;F2的面积为I,确定点P为C的短轴的一个端点，然后逐项分析即可．I【详解】山IOPI=~IF"iF2I=1,0为F;F2的中点可知，乙F;PF2=90°.2由L::.PF;F2的面积为l，可知—|F;F2l·IYpl=l，所以1叫＝1，所以P为椭圆C短轴的一个端点，2C1✓2则b=1，所以a＝易亡了＝五，所以e=－=—-＝－－，A正确a-✓2-2山A可知，椭圆C的方程为了＋Xy2=l，将点Q(-1，一了五］的坐标代入，可知满足C的方程，B正确；因为6PF;F2为等腰且角三角形，且IPF;I=IPF;|＝五，所以丛PEE的内切圆半径2r=＝✓2-1,C错误；IPF;I+IPF2I+IF;Fil不妨取P(O,l)，则直线PF;的方程为y=x+I,即x-y+l=O,设椭圆C上的点I五cos0—sin0+l||✓3cos(0+(f))+11叫五cos0,sin0)，则点M到直线院的距离d=~=~,其✓2r.,,I,✓3+1中tan(fJ＝—-，则d皿IX=<2,D正确2五故选：ABD.12.(2021·江苏连云港高三期中）在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线y2=x的焦点，UUULII)点A(xpy1),B（七泌）在该抛物线上且位千X轴的两侧，OA·OB=2，则（A.X凸＝6B.直线AB过点(2,0)C."'ABO的面积最小值是2✓2D.""ABO与VAFO面积之和的最小值是3【答案）BCD【分析】设AB:x=my+n'，联立方程后得关千Y的元二次方程，由韦达定理写出Y1Y2=-n,UU.UUIIX凸＝y国＝n2,冉由OAOB=2，即可得n2-n=2,冉结合Y1Y2<0,求解出n=2,从而判断AB，再根据三角形面积公式表示出""ABO与VAFO的面积，由基本不等式可判断CD.x=my+n【详解】设AB:x=my+n,e~，消X可得y2—my—n=O.y=X?ULIULII归2=-n'得X凸＝y况＝Ir,?OA·0B=2,.·.n,2—n=2，则n=2或－l·:Y1Y2<0,:.n>O,:.n=2,X凸＝4,故A错；11AB:x=my+2过(2,0)，故B对：设定点P(2,o),s,,,,.ABo=S,,,,.AaP+s,,,,.aop=—2·1Y,|+—2队122

33＝队－Y2l=IY1+fl：：：：：迈，当且仅当yt＝土✓1时，取等号，故C对；yl1II1又SAABO+SAAFO=ly,-Y2l+::-·IY,l·:-=ly,-Y2l+~IY1I'24819不妨设Y,>0，又FC¼,o),sAABo+sAAFo=)广Y尸芢飞汇为：：：：：2~=3,当且仅9当－Yi=-y2时，取等号，故D对故选：BCD.8【点睛】解决且线与抛物线的综合问题时，要注意：（l）注意观察应用题设中的每一个条件，ll)j确确定直线、抛物线的条件；（2)强化有关直线与抛物线联寸得出一元－佽次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．三、填空题22x-'y13.(2021浙江模拟预测）已知椭圆C:—+—=l(a>b>0),A(0,2b)，若C上任意一点P都a2.b2满足IPAI釭3b，则C的离心率的取值范围为.石【答案】(0,—]32b32b3【分析】利用距离公式将IPAI表不，配方后，分－＞－b和－::;;-b曲种惰况讨论即得CC【详解】设P(x,y)，则IPA|＝汇言三门沪－4by＋a2+4b2=｛沪考卢a2+4b2十孚$3b,C2b3因为yE[-b,b]，当－—＞－bllP2a2<3c2时，IPAIm扎｀＝j矿＋4b曰竺:$3b,2CC~4b44b2(c2+b2),'所以a2+4b江巠9b2,a巨~9(a2-c2)，所以a2c2+4(a2-c2)a2$9a沪－9c4,CC即4a4-12a沪＋9c4$0:.(2矿－3c2)2$0，显然该不等式小成立，2b3当－—－<—b,即2a22::3c2B寸，IPAt11ax=✓如－9c253b，恒成立，2Cc22石沪!l1;l;{T~';{.;_-'fu.{(\.::&由2a2~3c2，得－5－，所以O

34短总路程是【答案】＄［分析】先求出点A(3,0)关于自线x+y=4的对称点A'的坐标，设将军饮马点为P，达到营区的点为M,则要使＇将军饮马”的总路程最短，即IPA'l+IPMI最短即可，从而可得答案．【详解】设占A'(a,b)是点A(3,0)关于直线x+y=4的对称点，则厂勹解得｛言，a-3即A'(4,1)设将军饮马点为P，达到营区的点为M则总路程为：l~+IPM|，则I硝＋IPMI=IPA'l+IPMI要使“将华饮马”的总路程最短，即IPA'l+IPMI最短即可I如图过点A'与直线y=－—x+l垂直的直线为程为：）1-1=2(x-4)，即y=2x-72由{:::rx7+)解得二16占（尽－i）在第四象限内1即过点A'作线y=--:-x+l的垂线，垂足小在可行域内，所以当M点与点B里合时，2凇'|+|PMI有最小俏，即IPA'l+IPM悖IPA'l+IPB栓IA'BI=✓(4-2)2+(1-0广＝J5故答案为甚5”.X15.(2021,．四川南充一模）已知0为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p>O)上一点A到焦点F的距离为4,设点M为抛物线C准线l上的动点，给出以下命题：＠若1:,.MAF为正三角形时，则抛物线C方程为y2=4x;

35＠若AM.ll千M，则抛物线在A点处的切线平分LMAF;＠若材F=3万，则抛物线C方程为y2=6x;＠若IOMl+IM朴的最小值为2j5，则抛物线C方程为y2=8x．其中所有正确的命题序号是【答案）＠＠＠＠【分析】根据抛物线的标准方程及抛物线的几何性屈依次判断即可．l【详解】CD若1::,.MAF为iF三角形时，p=~IAMl=2,故＠正确；2＠若AM..ll千M，设A（x。,y。)，过A的切线m方程为：x=ty-ty。+Xo,代入l=2px得y2—2pty+2pty。—2x。=0,~=(-2pt)2-4(2pty。-2x。)＝0,又Q沁＝2px0,:.(tp-y。)2=0,ypt=_Q_，所以过A点的切线的斜率为k=—,py。k=y。-O=－凶因为MF＿仁--.e_--p，所以过A的切线m..lMF,又1AM、|＝|AFI,22故抛物线在A点处的切线平分LMAF,＠正确12p＠若厮＝3万，则A、M、F二点共线，AF=4,MF=l2，由三角形的相似比得—=—,p=3164故＠正确；＠设B(-p,O)则A（三P怎阮言吓O、B关千准线l对称，IOMl:::IBMI,IOMI+IMAI=IBMI+IMA?:.I=IABI=1（叶）2＋（士二）2=2而，1Q4—-p>O，解得p=4'故＠干确．故答案为0@@＠22216.(2021浙江模拟预测）已知直线l:y=kx+m与离心率为e的椭圆C:土+~=l(a>b>O)a2.b2交于A,B两点，且直线l与X轴，Y轴分别交于点C,D若点C,D三等分线段AB,则k2+e2=b2=nr5【答案】l【分析】联立自线和椭圆方程，可得CD的中点也为AB中点，即可求'LliK江e互冉根据b2IABI=3JCDI,由弦长公式可化简得出—2.m

36【详解】由题可得C(－严，0}D(O,m)，中点M（奇启y=kx+m联立方程组{X2y2可得(b2+a2K2)卢2km矿x+a五－a沪＝0,-+-a2.b2=l2klna2a22ni22-a2b2设A(xl'y1),B（马必），则X1+X2=-b2+a2k2勹,,,x..凸,..,＝b2+a2k2,22/ana'm囚为点C,D二等分线段AB,所以M也为AB中点，所以－＝－一，b2+a2炉kb2矿－c2整理可得K三.;-=,=l-e2，即炉＋e2=1;a-a-畸硝＝3IC凶，所以IAB|＝豆＼I(－b;三］2-4xo/2/f=3~整理可得(-2kma2)2-4xa2m2—a2b2=9m2,矿＋矿妒矿＋a2炉k2b24a2归归－霆9m闭又妒＝了，所以仿＋b2)2-4x扩＋b2＝勹了一，解得h2=5矿，即:=5故答案为：l:5.yX四、解答题17.(2021浙江丽水·高三期中）如图，已知抛物线C1:沪=4X,椭圆C2:~+y2=l.过点4E(m,0)作椭圆G的切线交抛物线C1千A、B两点（其中m>2)．在x轴上取点G使得乙AGE＝乙BGE.（］）求椭圆G的右焦点到抛物线G准线的距离；（2)当心扭G的面积为24拉忭L求直线AB的方程．

37G【答案）（］）✓3+1;(2)X＝土✓Sy+3.【分析】(I)由方程求得焦点坐标，准线方程后可得距离．（2)设直线AB方程为X=ty+m,设A(x"y1),B(x2,y2),G(x。,y。)，直线方程与椭圆方程联立，由判别式为0得m,t的关系，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得Y,+Y2,Y1Y2,可计算出IY,-y2I,由乙4GE＝乙BCE得忨＋灿＝0,代入书达定理的结论可求得Xo'然后计算1::,.ABG的面积，由面积求出m值，得t'从而得直线方程．(1)山已知椭圆的右焦点为磷，0)'抛物线的池线方程为x=—1'所以距离为J3+1;(2)设且线AB方程为x=ty+m,设A(x"y,),B(x2,y2),G(.x:。,y。)，由{f:y勹1得((t2+4)y2+2mty+m2-4=0,4所以!:::..=4m千－4(t2+4)(m2-4)=0,所以矿＝t2+4'叶x=ty+m得y2-4ty-4m=0,所以Y,+Y2=4t,Y,Y2=--4m,y2=4x因为乙4GE=LBGE.所以kAc+ksc=O,Yi,Y2即+=0，代入斗＝ty1+m心＝IY2+m整理得2ty,心＋（m-x。)（Yi+Y2)=0,x1-X。X2-X。-8tm+(m-x。)4t=O,显然压0'所以X。=－m,队－Y2I气(y1+y2f-4yly2=4护二=4品，SiABG=½IGEIIY,-Y2I=4扫二＝24✓2,m4+m3-4m2=72,(m-3)(m3+4m2+8m+24)=0,囚为m>2，所以m=3,则t＝土＄，所以直线AB方程为x＝士石y+3.

3818.(2021·江苏如东高三期中）如图，抛物线C1:y2=2px(p>Q)的焦点为椭圆X22c2.—+?-=I的的右焦点，A为椭圆的右顶点，0为坐标原点过A的直线l交抛物线C千C,43D两点，射线OC,OD分别交椭圆c2于E,F两点(l)求抛物线C的方程，并证明0点在以EF为直径的圆的内部；11(2)记aOEF,aOCD的面积分别为SI'S2'若鸟＝－SI'求直线l的方程．3【答案］(I)y2=4x,证明见解析(2)x=2【分析】（l)山椭圆方程可得焦点坐标以及椭圆Cl的方程，再山直线与椭圆联寸，可得沉·励＜0,又乙EOF=LCOD,即可得证；（2）设直线方程，联立方程组，再设直线OE,OF方程，再联立可得E,F坐标，再根据面积关系解方程．22(I)解：椭圆C2土十-f-=1,可得c=l，右佳点(1,0),A(2,0)，所以上＝1'解得p=2'432抛物线：y2=4x,设直线l的方程为x=my+2,点C（斗汃），D（凸沁），联立｛入“2==m:x+2，得y2-4m:y-8=0,:.y1+y2=4m,Y心＝－8'y'=4x茂郘＝平2+Y1Yi=(1+m2)环＋2m(y1五）＋4=-8-8m2+8m.2+4=-4<0,．．．乙C0D>90°,故乙EOF＝乙C0D>90°,所以0点在以EF为直径的圆的内部；y14y24(2)解：由（I)得直线OE的方程为y=-=:-:'--X=-:-:-X,自线OF的方程为Y=—x=—X'xly1.,\.2)/2

39联立｛：：x，设Y,>0'Y,<0'解得E2岛8$同理可得—+—=l［二，三］，43F[-2嬴8五）瓦＇一二'—|OEl·IOFi•sinLEOF又S2=—llSI'_!_S＝2=1为YF|=23~1,S2丿|OCl·IODl·si1立CODIY1Y2I112益8打即11伈叫＝3|汃Y21，故llxx=3x8,二瓦即＄了玉＄：玉呫(y心）2+3x64[(y1五）2-2y1y2]+64x64=88,即✓9x64+3x64x(l6m2+16)+64x64=88,解得m=0，故直线方程为：x=2.【点睛】(I)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建寸一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变压的等址关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊憤形，[19.(2021天津市第一零二中学高三期中）已知椭圆C的离心率e=—-，长轴的左右端点2分别为A（玉，o),Ai(五o)（l)求椭圆C的方程；（2）设动直线l:y=kx+b与曲线C有且只有一个公共点P,且与直线x=2相交千点Q,求证：以PQ为直径的圆过定点N(I,O).【答案］（1)~+l=l;(2)证叨见解析2［分析】（I)根据离心率、长轴端点和椭圆a,b,c关系可构造方程组求得a,b,c,进而得到椭圆方程；(2)将椭圆方程和直线方程联立可得♦=0,得到k,b之间关系，从而求得P，点坐标：两直线方程联立可求得Q点坐标，从而得到可汀死1'由向兄数垃积的坐标运算可证得NP..LNQ,山此可得结论．x2v2(I)·:椭圆长轴端点在X轴卜，·可设椭圆方程为-+~=l(a>b>O),a1.b1a2=b2+c2c五由题意可得：e=－=—，解得：｀心，椭圆C的方程为·:+y2=1;a2a=J5

40(2)由｛千＋y2=1得(1+2k')x'+4kbx+2b'-2=0,y=kx+b·.·曲线C与直线l只有一个公共点，．．令＝8(1+2k2-b2)=0,即b2=2k2+l,4kb2kb2k2k2扩－2K2l设P(xp,yp)，则斗＝－2(l+2K2)=——-扩=-—b'y/）=kxP+b=－了＋b＝b勹＇气¼);y=kx+b叶x=2得：｛言k+b，即Q(2,2k+b);二·N(l,O)，亚＝［于吐），岛＝（l,2k+b),一一2k_2k+b:.NP•NQ=———l十＝0,即NP..1NQ,:.~人PQ为直径的圆恒过定点N(l,O)bb【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题，解题的基本思路是根据直径所对圆周角为直角可知求解基本思路是证明NP..1NQ,且盺守爪屯＝0,从而利用平面向显数显积的坐标运算证得结论20.(2021重庆模拟预测）已知椭圆C三十y2=l(l)若P(书,y。)在椭圆C上，证明：直4线气:+y。y=I与椭圆C相切；（2）如图A,B分别为椭圆C上位千第一、二象限内的动点，且以A,B为切点的椭圆C的切线与X轴围成ADEF．求SADEF的最小值．yDFX【答案）（I)证明见解析；(2)4xx【分析】(1)联立且线~+y。y=l与椭圆C的方程消元，再借助判别式即可得解．4(2)设出点A,B坐标，利川(1)的结论表示出点D的纵坐标，并表示出丛）EF面积，再设出直线AB的方程，与椭圆C的方程联立借助韦达定理推理计算作答（］）由{f+y。y=．l消去Y可得x飞＋4(1-立。］2＝4y;，结合兰＋兑＝l整理得44x2+4y2=4x2—2江。＋4-4兑＝0,

41显然A=4x(；+16沁－16=0,即直线凸芒＋y。y=l与椭圆C有唯一公共点，4所以直线凸江y。y=l与椭圆C相切4(2)依题意，设且线AB:y＝虹＋m(O;+m)飞（炾＋m)=m（易飞），+Y2Y=14ll442(x2丁）yD＝盂，SADEF=½·Yo厂］＝mxix2,叶y=kx+m消去y并整理得：(1+4k2)x2+8/onx+4m2—4=0,x2+4/=4则：：三，且~,~16(4k'+l-m')>O，即4k三］＞m气1+4k264k2m216(m2-1)16(4k2一m2+l)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x凸＝-=(1+4k2)21+4k2(1+4k于's24(x1飞）24(4k2+1-m2).___4(1-m2)4..._4凇｀=n1产）2=m2(Lm2)2之m2(1-m2)2=m2(l-m2)之（而＋l－m勹,=16,2五S.OEF24，当k=O,m=—一时取得哼号，所以S丛DEF的最小值为4.222xy21.(2021湖北高三期中）已知双曲线C:~-~=2=Il(a>(a>0,b>0)的左焦点为F,右顶点为a-bA(I,O)，点P是其渐近线上的一点，且以PF为直径的圆过点A,IP~=2,点0为坐标原点（l)求双曲线C的标准方程；(2)当点P在X轴上方时，过点P作Y轴的垂线与Y轴相交于点B,设直线l:y=kx+m（如产0)与双曲线C相交于不同的两点M、N,若IBMl=IBNI,求实数1,1的取值范围4$3五【答案）（I)入汇立－＝1(2)m<-—或O

42(2)设M（豆）、N(易汃），将直线l的方程与双曲线C的方程联立，求出线段MN的巾l4石4$点Q的坐标，分析可知kBQ=－一，可得出3-k2=－—m，再结合A>0以及K2=3-——m>Ok33可求得实数m的取伯范围．b(I)解：·:F(-c,O),A(a,0)，双曲线C的渐近线方程为y＝士－x,以PF为且径的圆过a点A，所以，PA.lAF,bbt不妨取占p在y=~x上，设占P(t,~t)，万＝（t-a，了），两＝（a+c,0),囚为PA.lAF,则石．丙＝（t-a)(a+c)=O,可得t=a，则点P(a,b),·.-JPOl=2,则矿＋b2=4,·:a=L则b2=3,所以，双曲线C的标准方程为x2—f=l.(2)解：山题意可知B(o,.J习，设M(x,,y,)、N(七,y2),y=kx+m线段MN中卢Q(x心），联立{,2得(3-K)2入，2－2kmx-m2-3=0,三＝l3依题意{3-K2#02，即｛3－K2士0@,A=(-2km)-4(3-K2)(-m2-3)>03＋矿－K2>02kmm+3x1+x加山书达定理可得_~x+x=3-k2,xI·X2=一3-k2，则凸＝22=3-k3my。=kx。+In=3—k2'3my。-＄3-K2一月14五飞·IBMl=IBNI':.BQ.lMN,:.k:.kBQ=~=~=——，所以，3－K2=——m@,X。K3—K24五4$3$又炉＝3-~m>O@，由©@＠得：m<－－－或O

43yB,，乡}..--_.`、`峰、、`、,,A,X,觅',····,(1)求截口BAC所在椭圆C的方程；（2)点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．＠是否存在m,使得P到片和P到直线x=m的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；＠若LF;PF2的角平分线PQ交y轴千点Q,设直线PQ的斜率为kkk,直线庄、P片的斜率分别为kl'k2'谓问一＋一是否为定值，若是，求出这个定值，幻k1若不是，谓说明理由22Xy8【答案】(1)-+—=l.(2)G)存在m=8＠是定俏－16l23XyIBF;l+IBF2I【分析】(I)设所求椭圆方程为—+—=1'由椭圆的性质求得a=~,b,可得椭a2扩2圆的方程；IPF,I(2)O存在，设椭圆上的点P(x0,y。)，百接计算一一－，即可探索出存在m;dx2.y2y。y。＠由(1)得椭圆的方程为—+—-＝I'设椭圆上的点P(x。,y。)，有勾＝,k2=169X。+2'"x0-2'x-y证叭椭圆—+—=1在点P(x。,y。)处的切线方程为丘:十凶立＝L,再由个光学性质得直线16l216l2PQl_l，由此可求得定值22xy(l)设所求椭圆方程为-+—=1'a2.b2

44yB...,.............,Ax,｀胄参则伲Bi=~「+|B对＝五气了＝5'IB用叶BF2Il由椭圆的性质：IBF,l+IBF;l=2(I，所以a=~=~(3+5)=4,2222b＝嘉亡了＝卢＝2)3，所以椭圆的方程为上+~=l161222(2)由椭圆的方程为王十立－＝l'则E(—2,0),F,_(2,0).1612O存在直线x=8,使得P到片和P到直线·,=III的距离之比为定值．设椭圆上的点P(x0,y。)，如PF2|=J(x。-2)2+y2,P到自线r=n1的距离d=Im-~。|，所以四=[:三了二:=（x。-2)2+l2-：X。2=所以，当m=8时，d[m-X。1{（m-X。)2IPF2I_I=-（定值）．d21即存在m=8,使得P到E和P到直线x=8的距离之比为定值－2y。y。＠设椭圆上的点P(x。,y。)，则kl=,k2=xo+2x。-2'22x-.y又椭圆—+—=1在点P(x。,y。)处的切线方程为址昙业仁I,16l216123x2..2x-.y3x2=·•Y=-证明如下：对千椭圆~—+—+-&=I=I,'~当y>y>OO,,y＝厂二，则4厂了3x。X2y2y-y。=-（x-X。)所以椭圆—+—=l在P(x。,y。)处的切线方程为16124言，又由立＋—＝2y。21可以整理切线方程为：y-y。=－3x。（x飞）＝－兰气x-X。)1612'4归书。'X0X,~。Y即切线方程为4y。(y-y。)＝－3x。(x气。），即3X。x+4~。y=4y。2+3x。2=48'也即上－＋－－=l.1612

4522XyX。X.YoY所以椭圆—+—=1在点P(x。,y。)处的切线方程为—-＋—-=I,1612161222同理可证：当y