必刷卷04-2022年新高考数学考前信息必刷卷（含答案解析）

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绝密＊启用前2021年高考数学考前信息必刷卷第四模拟注意事项：I.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的I.已知全集U=R,集合A={l,2,3,4,5},B={xERIx~2}，则团中阴影部分所表示的娱合为（)A.{l}B.{O,1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】A【解析】根据图像可知，阴影部分表示An仇B),~B={xlx<2}，所以An(i\iB)＝杠｝．故选：A2.若z(2－矿＝－i(i是虚数单位），则复数z的模为（)1-3ll-51Bc-DA.一42【答案】D(—2l—i—i-i(3+4i)43.【解析】因为z(2-i-l)＝－i，所以z=====—-—l(2-i)24-4i+i23-4i(3-4i)(3+4i)2525-'所以|zl=J（昙（卢『4，故选D3.已知sin（气）＝cos（气－a)，则cos2a=C)

1五石。l＿A.B.C.2D.2【答案】A✓31.1石【解析】·:sin（千a)=COS（千叶，...—cosa+~sina=~cosa+—sina,可得tana=L22222__,_2_cos2a—sin2a1—tan2a.·.cos2a=cos~a-sin~a=~==0．故选：A.2cos2a+sin2al+tan2a)4.已知平面向谥a,b满足（记b)-b=2,且忖＝1,叫＝2,则1妇闪＝(A.$B.5C.1D.2✓3【答案】C【解析】山（a五）b=2及IEl=2,可得江＋1矿＝2,可得i扣－2,|如月＝盂了心＋2a•b+b2＝扩＋2x(—2)+22=1，故选：C5.SG技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+｀，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功s......-····---..,...-.··---·····-··-..••---••s率N的大小，其中—叫做信噪比按照香农公式，在不改变W的悄况下，将信噪比—从1999提升至儿，NN)使得C大约增加了20%，则入的值约为（参考数据：lg2：：：：：：。.3,10邓~9120)CA.7596B.9119c.ll584D.14469【答案】B【解析】由题可知Wlog2(1+1999)x(l+20%)=Wlog2(1+J)，即1.2xlog22000=log2(1+A)，所以lg2000_lg(l＋入）l.2x=，即lg(l+J)=l.2xlg2000=l.2x(3+lg2)~3.96,lg2lg2所以1+入~103'96~9120'所以入~9119．故选：B22x-y6.已知点F;(-3,0),F;_(3,0)分别是双曲线C:.---=1(a>O,b>O)的左、右焦点，M是C右支a2b2上的一点，ME与y轴交于点P,c.MPF2的内切圆在边PF2上的切点为Q,若忱~=2，则C的离心率)为（

2355c-DlA.—B.3.223【答案】C（解析】设凶WPF2的内切圆在边MF2上的切点为K,在MP上的切点为N,如图所示：X叫PF;I=IPFil'IPQ门PNl=2，肛门即I,由双曲线的对称性可得IPF;I=IPF;I=IP~+IQ勾＝2+1QPil,由双曲线的定义可得IMFil-lMF;I=IPMI+IP凡－IMKl-1幻引=2+IQFi|+|研-IMK|－|KF;.1=2+1瑚－IMNl=4=2a,解得a=2,C3刘EE|＝6，即有C=3,离心率e=－=－．故选C.a27.在二项式(x+—-)”的展开式中，各项系数的和为128,把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相五邻的概率为()3-4B1A._i_C.]_D.—351414【答案】D1111一－K【解析】二项式(x+—-五丘）＂的展开式中第k+l项为T,.,I==CC,~(~xn-k五)=c,~Xn-¾k'则C,？+C,l1+…+c:,'=2"=12s,则n=7,则展开式中有8项，3当k=0,k=2,k=4,k=6时，（7-¾k)EN,即有理项有4项，无理项有4项，

38项重新排列共心种排列数，先排列无理项共A44种排列数，要使得有理项不相邻，心心1则4项有坪项的排列数为A:，所以有珅项都可不相邻的概率为—下－＝—勹A;14故选D8.已知函数f(x)=ax2-x-lnx有两个零点，则实数a的取值范围是()A.(;,1)B.(0,1)C(－OO宁）D(0号］【答案】B【解析】函数f(x)=ax2-x-lnx(x>O)有两个零点lnx+x由题意得方程a=有两个根2X1lnx+x(—+l)x2—(lnx+x)(2x)设g(x)=，则，l—2lnx—XX2g(x)=x=4x3X2设h(x)=l-21nx-x,则h'(x)=__::_1<0X所以h(x)=l-21nx-x在(o,＋叨）上单调递减，又h(l)=0当xE(0,l),h(x)>0,g'(x)>0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，芍XE(l，峦），h(x)O,则g(x)>Oe所以存在X。E(O,l),g(~。)＝0，即在(0,x。)上g(x)

4fyx-2lnx+x所以方程a=有两个根，即g(x)的图象与y=a有两个交点，2X所以实数a的取值池围是(0,1)，故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分．9.CPI是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标同比一般情况下是今年第n月与去年第n月比；环比，表示连续2个统计周期（比如连续两月）内的量的变化比如图是根据国家统计局发布的2019年4月—2020年4月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则下列说法正确的是（)6.05.o`,0l.02,2.0一今4同比1.0--环比0.00/10.0-0.1-1几-0.9-2.0岔令分令七令｀、$$翁、＄令令'§<...~飞令$..令,..,.:r·..~-,.

5对千D,巾环比定义可知，2020年1月至4月间，3月到4月增涨，故D错误；故选AB.10.记数列忆｝的前n项和为S,,，若存在实数H,使得对任意的nEN+，都有IS,,l

6AlB1A车三－－－六寸一一夕BcA.四棱锥8-A,ACC,为“阳马”B.四面体A心CB为＂鳖膊＇2C.四棱锥B和ACC1体积最大为一3D.过A点分别作AE..lAIB于点E,AF..lA1C千点F,则EF..lA1B【答案】ABD【解析】底面为百角三角形目侧棱垂直千底面的二棱柱称为＂堑堵＂所以在堑堵ABC-A,B心中，AC..lBC,侧棱儿\..l平面ABC.在选项A中所以AAI..lBC,又AC..lBC,目AAInAc=A，则BC..l平面MC1C所以匹棱锥B-A,ACC,为“阳马”，故A正确在选项B中由AC..lBC,即AC1..lBC,又~Cl..lC,C1=1.c,cnBC=C，所以~Cl..l平面BB,CIC所以AC,..lBCI'则VA,BCI为直角二角形．又山BC..l平面MC1C，得t:,,.ABC为直角三角形由＂堑堵＇的定义可得凶CIC为直角二角形，t:,,.CC,B为直角三角形所以匹面体A1C,CB为＂鳖脱“，故B正确在选项C中．在底面有4=AC2+BC2~2AC-BC，即ACBC三2当且仅当AC=BC时取等号．ll24V8_,1iAcc,=~S.4iAcc,xBC=~AA,xACxBC=-;;-ACxBC冬－，所以C不正确3333在选项D中山上面有BC..l平面AA1C1C,则BC..lAF,AF..lAIC且A,CnBC=C，则AF..l平面AIBC所以AF上A,B,AE上AIB且AFnAE=A，则~B上甲面AEF，则AB..lEF，所以D正确故选：ABD.冗12.已知f(x)=1-2cos2(wx+.;)(w>O)，下面结论正确的是（)3A.若f伈）＝l，f化）＝－l，且忱－对的最小值为兀，则w=2

7亢B.存在(J)E(l,3)，使得j{x)的图象向右平移－个单位长度后得到的图象关千y轴对称64147C.若f(x)在[0,2兀］上恰有7个零点，则Q的取伯范围是［一－，一－）24.24冗冗2D.若f(x)在[-—,—]上单调递增,则(J)的取值范围是(0，一］643【答案】BCD【解析】依题意f(x)=-cos(吵x＋气],(1)>0,-1汀(x):s;1对千A选项，若f（斗）＝l,f伈）＝－l，月Ix!－矿的最小值为冗，T冗冗l则—＝冗⇒=＝冗⇒(JJ=—2|2(JJ|2(JJ2'故A选项错误．对丁B选项，当{i)=2时，f(x)=-cos(4x＋气］，向右平移：个单位长度后得到y=-cos[4(x－飞］＋了－］＝－冗2兀cos4x,其为偶函数，伤象关千Y轴对称故B选项正确2冗2冗2兀对千C选项，O:s;x:s;2冗，则~20Jx+~~4{f)冗十,333l玩2冗17冗茬f(x)在[0,2冗］上有恰有7个零点，则——~4{i)兀＋—－＜——,2324147解得一－~{i)<—-，故C选项正确2424冗冗()J冗2冗2冗{))冗2冗对千D选项，——::;X:s;—，则—十:s;2()JX＋三十，64.33323,V`竺兰+2>2KK冗＋--33贝I若f(x)在［一气］上递培，~冗＿冗,CtJ+＿3<2冗冗2-即｛霆6K+22，由寸－kEZ,(JJ＞0,故k＝0,0＜衅2咚4k+i..3所以D选项正确．故选：BCD

8三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.以抛物线y2=2x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为［答案】(X-」］2+y2=12【解析】抛物线y2=2x的住点为(l½,o)，准线为x=—2'优点到准线的距离为l'1所以圆的圆心为(½,oJ.半径为1，故圆的标准方程为(X-；]+y2=114．我国有＇三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山，中岳嵩山某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字l—5,他让甲、乙、丙、丁、戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下：甲：2是泰山，3是华山；乙：4是衡山，2是嵩山；丙：1是衡山，5是恒山；丁：4是恒山，3是嵩山；戊：2是华山，5是泰山．老师提示这五个学生都只说对了一半，那么五岳之尊泰山图片上标的数字是.【答案】5【解析】若甲：2是泰山是正确的，则戊：2是华山，5是泰山都是错的，故甲：3是华山足正确的；戊：5是泰山是正确的；丙：l是衡山是正确的；丁：4是恒山是正确的：乙：2是嵩山是正确的，故五岳之尊泰山图片上标的数字是5.15.2021河南信阳高三期末（文））函数f(x)满足下列性质：(1)定义域为R，值域为[1,+oo).(2)图象关千x=2对称．f(X1)-f伈）(3)对任憩X1,x2E(-oo,0)，且X1-:;t:.X2，都有<0.X1-x2请写出函数f(x)的一个解析式（只要写出一个即可）．【答案】f(x)=x2-4x+5

9【解析】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式/(x)=(x-2/+l.此时f(x)对称轴为x=2,开口向上，满足(2)'f(x,)—f伈）因为对任意X1,易E(-

10c。EA四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在啤C中，已知内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(1+J订c=2b,A＝王．6(1)求C;(2)若丽·它＝1+J，求C.冗【解析】(I)·;（心）c=2b,A=;;6结合正弦定理得三）sinC~2sinB~2sin［子－C)~2(½cosC＋孚sinCJ.:.sinC=cosC;...CE(O，冗）;冗:.C=.:...:....;4l五五＄丘(l+F5)(2)由(I)得：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=~x—+—x—=;22224abcc·sinA.c·sinB·:—=-—=－—⇒a=;b=·sinAsinBsinC·--sinC•~sinC•！玑1＋句c·sinAxc·sinB五：．百·石l=abcosC=~xcosC=c2x.-L-—x-----4x—=l＋扛；sinCsinC五五222.·.C2=4;.·.C=2（负值舍）即c=2.

1118.甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{a,,}的前n项和为Sn'已知＿~，(1)判断S1,s2,S3的关系；4(2)若a1飞＝3，设b,,＝互忆，1|，记｛九｝的前n项和为T/j，证明：T,1<—12I"I'"J••."3甲同学记得缺少的条件是首项m的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（I)问的答案是S,,S3,鸟成等差数列如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题11_113【解析】(])山题怠可得S,=a,I,'S2=4+a2=a,-al=-a,,S3=a,+生+a3=a14+al=aI'2'22'4'4可得S,+S2=2S3,即S,,S3,鸟成等差数列：(2)证明：由a1一生＝3，可得al—-a,=3,解得a1=4,4b,,飞囚＝卢4日）＇］＝¾n且）／I'2勹l-l-1-I＼则TIIT＿＿＿-+22+33-+....+n.n211-丿'3221418l／1l＼—-一-门.-＋.-+T-+..+1-4.-2“3＼481622心+勹，]/1-1-1-161-l\/上面两式相减可得|_++十.+n-II-l-..2n3\282112II+（＼~11-1--2221＿＿-－-印_'32l-_24(.n+2化简可得T,,=1(1—2'i+l],n+2._4由1-~<1,可得Tn<—.2'1+l3

1219.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA.l底面ABCD,PA=AB,E为线段PB的中点pcAB(1)证明：点F在线段BC上移动时，A灶千为直角三角形；(2)若F为线段BC的中点，求二面角A-EF-D的余弦值．【解析】(I)证明：因为PA=AB,E为线段PB的中点，所以AE..lPB,因为PA..l底面ABCD,BC乙平面ABCD,所以PA..lBC,又因为底面ABCD为正方形，所以BC..lAB,又PAnAB=A，所以BC..l平面PAB,·:AEc平面PAB,:.BC.lAE,因为PBnBC=B,所以AE..l平面PBC,囚为FE乙平面PBC,所以AE.lEF,所以点F在线段BC上移动时，A灶汗~为直角三角形．(2)由题总，以AB,AD,AP所在自线分别为X,y,Z轴建立空间且角坐标系，令PA=2,则A(0,0,0),B(2,0,0),E(l,0,1),F(2,1,0),易知平面DAF的一个法向扯为－~=(0,0,1):设平面AEF的法向址为m=(x,y,z)，则示．冗下＝示冗万＝0,可得：2x+y=O,x+z=O,取m=(1,-2,-1),所以cos伍沁＝—1=—五lx拓6拓由困可知；二面角A-EF-D的平面角为钝角，因此余弦值为－6

13.Lf'2220.已知椭圆C1:土-+~=1Ca>b>O)的右顶点与抛物线c2:y2=2px(p习O)的焦点重合．cla2.b21的离心率为－，过G的右焦点F且垂直于x轴的直线截c2所得的弦长为4Ji2Cl)求椭圆C1和抛物线c2的方程；(2)过点M(3,0)的直线［与椭圆G交千A,B两点，点B关千x轴的对称点为点E,证明：直线AE过定点lcl【解析】（I)什IG的离心率为－，可得一＝一，所以a=2c'2a2p因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点币今．口，所以a=~,p=2a,2所以可得p=4c,过C1的右焦点F且垂臼十x轴的白线截c2所得的弦长为4✓2,k令x=c代入抛物线的方程：可得y2=2p·C,所以旧＝4罕＝24c,即4✓2=2•2✓立，觥得c=l,所以a=2,p=4c=4由扩＝a2-c2可得扩＝4-1=3,所以椭圆cl和抛物线C2的方程分别为：王＿十2;.-=1,y2=8X;43(2)由题意可得直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为：x=my+3,设A(x"y,),B(Xi,Y2),山题意可得E（汪飞），x=my+3百线与椭圆联立：{勹3x2+4/-12=0'整理可得(4+3m2)y2+18my+15=0,~=18宜－4(4+3m2)-15>0,

14-18m15可得矿<7,Y,+Y2=~,Yy1lYy2=2=~2,4+3m4+3m直线AE的方程为：y-Y,=~(X-XI)'Xi-X2y1+y2yIX1+y凸Y凸－y,x2整理可得.:y=x-+x！一易斗－x2x1-x2y1+y2..Y2(my1+3)+y1(my2+3)_-18..,24x-x+m(y,飞）m(y,飞）（y1飞）（4+3m2),.,(y,飞）（4+3m2)=-l8(3(y1-y2)(4+3m2)X-2)所以当x=％时，y=O,即过定点（扣），所以可证百线AE过定点（扣）21.调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n=4,分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令X=|1-a1|+|2－叫＋13-勺+|4-a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述（如第二次排序时的序号为1,3,2,4,则X=2).(1)写出X的所有可能值构成的栠合；(2)假设a,,a2,a3,a4的排列等可能地为I,2,3,4的各种排列，求X的数学期望；(3)某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有X:<::;2.(i)试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；(ii)请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由［解析】(I)X的可能值集合为{0,2,4,6,8},在I,2,3,4巾奇数与偶数各有两个，

15所以a2'a4中的令数个数等丁a,,a3中的偶数个数，因此11－叫叶3—叫引2—a21计4—a41的奇偶性相同，从而X=(11-叫+|3－叫）十(12－叫＋14－叫）必为偶数，X的仙非负，且易知具仙不大丁8.由此能举出仗得X的值等于0,2,4,6,8各伯的排列的例千．(2)可用列表列出I,2,3,4的一共24种排列，如下表所示：aIa2a3a4Xala2a3a4X1234。31244l24323l426I324232144l342432416I423434I28l43243421821342412362l4344l32623l4442136234l6423l624I3643I28243I6432I8计算每种排列下的X仙如上表所示，在等可能的假定下，得到--------x。2468--

16p243274292I4424413794EX=Ox—+2x—+4x—+6x—+8x—=5.242424242441(3)Ci)首先P(X:S:2)=P(X=O)+P(X=2)＝—=－，将三轮剌试都有X:s;2的概率记做p,246II由上还结果和独立性假设，得p=六·=—一．621615(ii)山丁p=——＜是一个很小的概率，2161000这表明如果仅凭随机猜测得到二轮测试都有X:s;2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，小是靠随机猜测．22.已知函数f(x)=xlnx+ax+l,aER.(1)如果关于x的不等式f(x);:::o在x>O恒成立，求实数a的取值范围；e(x-I)(2)当立1时，证明：引1nx:s;x2-sin(x-I)-1.ex【解析】(I)由f(x）习0,得xlnx+ax+l~O(x>O)整理，得—a:S:lnx]恒成立，即—a:S:(lnX+±)min.lllx-l令F(x)=lnx+~．则F'(x)＝－-勹-=-—.2xxxx函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo）上单调递增1．·.函数F(x)=lnx+－最小值为F(l)=1X:.-a~l，即a~-1.:.a的取伯范围是[—l,＋心）X—1(2)由(1)，当a=-l时，有x1nx>x-l，即lnx~一一－．Xe(x-1)要址::;;lnx,e｀俨

17e(X-1)_.,,x-1nne,,,1利片正x之lH寸三一一一－11P-－三一，．e-'xe-'x构造俅数G(x)=ex-e.x(x~l).则G'(x)=ex-e.．芞x~l时，G'(x)以0.:.G(x)在[1产）上单调递增e1:.G(x)~G(l)=O在[1,+oo）上成立，即矿＞ex,证得勹·<-e·X卑xE[l产）时，e（：X-1)红lnx成立构造函数H(x)=lnx-x2+I+sin(x—l)(x~l)1-(2x2+x-l)-(x+1)(2x-1)则H'(x)=~-2x+cos(x-1)之＝XXX．当x>l时，H'(x)<0,:.H(x)在[1心）卜单调递减:.H(x)