数学实验上机指导

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1、数学实验上机指导Î抛射曲线实验Î飞行航程计算实验Î定积分计算实验Î动物养殖问题Î人口模型与人口预测Î圆周率的计算实验ÎMATLAB主要命令函数附：标准实验报告与试题应用数学学院2007年2月实验一抛射曲线实验古代一位将军曾说过：我向空中射一支箭……不知道它将落向何处。欧洲文艺复兴时期，列奥纳多·达·芬奇在他的绘画作品中表现了炮弹的轨道是一条抛物线这一事实。抛射体在初速度作用下，由确定的发射角产生空间运动轨迹，形成抛射曲线。研究抛射曲线的数学模型，并通过实验可以明确抛射体射程和落点之间关系。在现实世界中，投蓝问题、掷标枪问题、高压水龙头灭火问题等等，都将引出抛射曲线问题。当初始速度为常数时，可以

2、调整发射角使抛射体到达预定的目标（落点）。一、问题分析考虑发射点和落点在同一水平线上简单情况。首先建立平面直角坐标系，设坐标原点为发射点。记抛射体的初始速度值为v0，发射角度为α，于是初始速度向量为v=[vcosα,vsinα]00对每一确定的发射角α，抛射曲线的参数方程为⎧x=v0cosα×t⎪⎨1（1.1）2y=vsinα×t−gt⎪0⎩22其中g是重力加速度近似值为9.8(米/秒)。对于发射角度在区间,0[π]2/内变化时，所有发射角对应的曲线形成曲线族。图1.1抛射曲线族发射点到落点的距离是射程，初始速度不变时落点仅与发射角有关。由参数方程（1.1）中y的表达式，令12vsinα×t−

3、gt=002解之，得落点所对应的参数值2vsinα0t(α)=（1.2）g代入参数方程（1.1）中x的表达式，得射程计算公式122vv00x=×2sinαcosα=sin2α（1.3）1ggπ显然，当发射角α=时，对应的抛射曲线射程最远。2二、计算机仿真取Δα=π/60。在区间[0，π2/]内插入等分点，α，α，…，α，对每一个1229α=k×Δα（k=1，2，…，29），计算对应曲线上点坐标，并绘曲线，记录落点的坐标。k形成曲线族，输出最远射程所对应的发射角α。为了简便，取初始速度v0=100（米/秒）。maxMATLAB程序（最大射程与最大发射角仿真）%----抛射曲线仿真程序%----2

4、007/01/24g=9.8;v0=100;dalpha=pi/60;alpha=0;xmax=0;alpha0=0;fork=1:29alpha=alpha+dalpha;vx=v0*cos(alpha);%计算初速度向量第一分量vy=v0*sin(alpha);%计算初速度向量第二分量Talpha=2*vy/g;%计算飞行时间t=(0:16)*Talpha/16;x=vx*t;y=vy*t-g*t.^2/2;%计算航点plot(x,y,'k'),holdon%绘抛射曲线x0=max(x);ifx0>=xmaxxmax=x0;alpha0=alpha;%求最大射程和最大发射角x1=x;y1=

5、y;endendplot(x1,y1,'r')%绘最大射程对应的抛射曲线xmax%显示最大射程数据Amax=round(alpha0*180/pi)%显示最大发射角度程序运行结果：xmax=1.0204e+003Amax=45o由此可知，最大射程为1020.4（米），最大发射角为45。三、弹道数据计算公式弹道数据包括射程、发射角及炮弹飞行时间，由式（2）和式（3）得如下计算公式2vsinα0（1）已知发射角计算飞行时间：t(α)=；g22v0（2）已知发射角计算射程：x(α)=sin2α；g12（3）已知射程计算发射角：α(S)=arcsin(gS/v)。02【问题1】当抛射体的发射点和落点不

6、在同一水平线上时。假定发射点坐标为（0，h），记抛射体初始速度值为v0，发射角度为α。抛射曲线的参数方程为⎧x=v0cosα×t⎪⎨12y=h+vsinα×t−gt⎪0⎩2设落点的高度为H，则抛射体最远射程的数学模型为maxx=vcosα×t01（1.4）2st..gt−vsinα×t+(H−h)=002当H>h时，落点高于发射点；当Hh时，判别式非负对应实际问题的意义；2．用拉格朗日函数方法求解数学模型（4），并分析(H–h)和v0的联系。【问题

7、2】根据网址为http://wqzb.military.china.com/military/html/784/index.html的网站上关于54式122毫米榴弹炮资料，炮弹初始速度为:515米/秒。下表中已有一些数据，对确定目标其射程为已知，为使炮弹击中目标需调整发射角，对不同目标计算发射角和炮弹飞行时间，将计算结果填入表中空白处。目标目标1目标2目标3目标4距离10公里15公里20公里27公