资源描述：
《机率论为何要建立在机率空间上面》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、機率論為何要建立在機率空間上面?蔡聰明一.一些問題的提出出概念(concepts)與公理,最後結晶為理論(theory)。事實上,任何概念或理論都是這樣機率論是研究隨機現象的學問。它要對產生的,用來承載或組織豐富的、既有的經驗隨機現象建立機率模型,並且求算有趣事件知識,進一步又可當作開拓新知的根據地。的機率及推演出各種極限定理、機率法則,研機率論的公理化醞釀了約30年,從究隨機過程等等。1900年到1993年,正值現代數學公理化思潮機率模型長得什麼模樣?它的理型的高峰期。(ideasandforms)是什麼?機率的概
2、念起源於賭局(gamesof今日大家都會說,機率論的出發點是機chance),從盤古開天地以來就出現,長率空間(Ω,F,P),其中Ω為樣本空間久不斷地累積經驗知識,一直到1713年(samplespace),代表隨機實驗的所有可J.Bernoulli提出弱大數法則,標誌著數學能發生結果;F為事件(events)所構成機率論的誕生。接著又有DeMoivre(1718的σ代數(σ-algebra);P為一個機率測年)與Laplace(1801年)的中央極限定理,度(probabilitymeasure),用來度量事件Ga
3、uss的誤差之正規分佈律(1809年)以及發生的「確定程度」(thedegreeofcer-Poisson極限定理(1832年)等各種機率法tainty)。「probability」一詞日文翻譯成「確則(thelawsofchance)之獲得,其中也出率」,我國早先的譯名是「或然率」、「概率」,但現了種種詭論(paradoxes)。到了1900年,目前通行的譯名是更佳的「機率」。公理化的時機成熟,Hilbert提出著名的23個機率空間的理型是怎麼來的呢?它當然問題,其中第6個就是關於物理學與機率論的是長久演化與試誤(
4、trialanderror)的產物,公理化問題。於是許多數學家開始嘗試解決經過人為的選擇與創造才得到的。從長期累機率論的公理化問題,一方面繼續開拓機率積的直觀經驗知識(intuitions)出發,提煉論的領域,一方面作各種試驗。結果在193356機率論為何要建立在機率空間上面?57年才由俄國偉大數學家Kolmogorov(1903-二.初等機率空間的出現1987年)完成機率論的公理化(幾乎跟Von甲.隨機實驗與命題演算Neumann的量子力學公理化同時完成),提所謂「隨機實驗」(randomexperi-出機率空間的
5、理型作為機率論的基礎。從此ment)是指其出現結果有種種可能之實驗,機率論作為一個數學理論完全確立。Kol-事先完全無法預料。例如丟一個銅板100次mogorov的機率空間模型,普遍被數學家所就是一個隨機實驗。接受。在這麼單薄的假設下,居然開展出那麼對於一個隨機實驗,我們想知道各種有豐富的結果,這是機率論的榮耀。趣的事象發生的機會大小。這些事象通常以機率論為何要採用「機率空間」的理型?「命題」(propositions)或「敘述」(state-這樣做有什麼優點?不這樣做又有什麼缺ments)的方式來出現,例如令p表示
6、「正點?還有沒有其它選擇?取捨的標準何在?面的次數介於45次到58次之間」,這就是關這些問題都是初學公理化機率論的人最於丟100次銅板的隨機實驗之一個事象。我易產生的困惑。如果回答說,這樣取的「機率們稱p為一個隨機命題。空間」是全測度為1的特殊測度空間,使得測古典邏輯所研究的「敘述」都具有明確度與積分論的工具都可以搬過來用,這只是的真假值,不能時真時假或沒有真假值,但是在機率論中的敘述則不然。作隨機試驗下來,一個平凡的(ordinary)答案,還是不能解如果丟出53次正面,則p成立;如果丟出40惑。次正面,則p不成立
7、。因此,每一個事象都Lebesgue在1902-1903年就創立測度「說不準」(uncertainty)。衡量一個事象真確與積分論,為什麼要等到1933年(相差30的程度就叫做該事象的機率。年)機率論才完成公理化呢?因此,「機率空假設p,q,r,···為一族命題,那麼我們間」的出現必有更深刻的道理存在,不論是內就可以談論命題的三個運算:在的或外在的理由。1900年到1933年之間正是數學家找尋機率模型的試誤與演化階段。名稱記號意義機率空間的出現,我們分成四個階段來否定∼∼p表示「p的否定」討論:(i)隨機實驗與命題演
8、算算,(ii)翻之命題譯成集合論的語言得到初等機率空間之理型,或∨p∨q表示「p或q」,即(iii)用各式各樣的例子來試驗初等機率空p、q至少有一個成立之命題間的理型是否合用,(iv)最後抽取出Kol-且∧p∧q表示「p且q」,即mogorov的機率論公理系統。p、q同時成立之命題本文我們要用一些具體的例子來闡明:機率空間是公理化機率論的最佳選
