若干机率论与分析学的关连与互动

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1、若干機率論與分析學的關連與互動謝南瑞1.前言函數的話,或許他會落入邏輯迷陣中,而無微積分的創見了。我們不禁會問:中山大學黃文璋教授囑筆者寫些有關有無其它處處不可微分的連續函數?利機率論的可讀之文。坊間有關趣味機率論之用機率論的一個經典結果,我們可以答曰:書藉多矣,不勞我再添一筆。或許寫些有,且有許多。進級的東西吧!?機率論自1933年由A.N.Kolmogonov提出植基於測度論的公定理(L´evy,Paley,Wiener,Zygmund,...):設體系以來,不到60年間其已密切關連於幾乎每條Brown路徑Wt(w)都是處處不可微分。

2、我們甚至有更強的結果:幾乎每條各數學分枝;豈不見隨機分析、隨機幾何、隨機微分方程式等之名乎。另一方面,機率Brown路徑Wt(w)都滿足論之應用層面亦大有進展;豈不見隨機微

3、Wt(w)−Ws(w)

4、limsup=1。0

5、與圖形,絕大多數是病態的(在微這或者代表是某些(自認)幽默的用語,或者小尺度下)。這個觀點,也就是碎形幾何學的代表是某些須嚴格定義的數學名詞,等等。濫觴。後者則是混沌學說的基礎;誠所謂Whatamass是也。2.處處不可微分的連續函數3.由Brown運動至L´evy在高微教程中,我們都習知可利用三角級數造出Weierstrass函數。這是個處過程處不可微分的連續函數。顯然,這是個相英國植物學工作者RobertBrown,於當病態的函數。如果Newton不幸知道這個18-28年發表有關懸浮於水中之花粉的不規12數學傳播十六卷四期民81年12

6、月則運動的觀察論文。從而我們有Brwon運之X[a,b]為期望值0且變異數b−a時,我動這個物理名詞。它的數學建構是什麼?附們得到所謂Wiener過程,此為Brown運動帶一提,愛因斯坦憑其智慧,不須嚴密的數的數學模型(N.Wiener於1923年首先研究學,即已推導出有意義的有關Brown運動此模型,故名之以紀念)。之物理結果。以X(t),t∈[0,∞),表時一般而言,任一滿足上述兩假定的隨機軸[0,∞)中某個時刻t之質點(例,花粉)位過程,我們皆可設定其樣本路徑為右連續且置。顯然,我們只能視X(t)為隨機的;亦左極限存在之函數;且名之

7、為L´evy過程,以即,我們只能談X(t)的機率分佈而無法標紀念偉大(但不幸)的法國機率學派開山祖師示其至某個精確值(否則,花粉就不是附有精PaulL´evy。除了某些特殊情形(例,Wiener靈似地活動,引Brown原文之用語)。我們過程與Poisson過程)外,L´evy過程的樣本以X(t,w)或Xt(w),w∈(Ω,F,P)表此路徑之不連續點集是可數但處處稠密的。這隨機性。視Xt(w)為一隨機運動(隨時間t而又獲得了?多病態的函數。演化),則為所謂隨機過程矣。當我們固定w,而考慮t→Xt(w),則我們得到4.局部時一條樣本路徑。對每

8、個[0,∞)之子區間I=我們將Witner過程的樣本路徑稱之[a,b],我們以X(I)或X[a,b]表增量X(b)−為Brown路徑。考慮一種情況的BrownX(a)。路徑Wt(w)的平準集Lx(w)={t∈假定:1◦對任意k(k≥2)個不重疊[0,1]

9、Xt(w)=x},x∈R。的I1,...,Ik,X(I1),...,X(Ik)為獨立的。2◦X[a,b]與X[0,b−a]有相同的機率分佈。我們聲明:上述的假定多少是自然且合理的—以物理眼光思之。2◦表示增量X[a,b]之機率分佈不因時間的推移而改變,所謂定常也。1◦表示質點運動純由外在

10、介質而引發,而質點自身全無貢獻(無精靈附體)也。定理(L´evy,...):幾乎每條Brown路定理(Ito,L´evy,...):若隨機過徑的每個平準集都是一個完美(即,自我稠密程X(t)滿足上述兩假定且每條樣本路徑皆為之閉集)且其Lebesgue測度為0。連續,則增量X[a,b]為Gauss分佈。我們知道,任一Gauss分佈皆由我們知道,在函數論中Cantor集其期望值與變異數所決定。當上述定理中是個零測度的完美集。由上述定理,我們獲若干機率論與分析學的關連與互動3得許多此種病態的點集。我們可證明,上述定理中之水平集的Hausdorff

11、維度為1/2,是以其不同於Cantor集。客我再敘述一次:B.Mandelbrot視病態的函數與病態的點集為新科學(碎形與混沌)的基石。我們將[0,∞]視為時軸,Lebesgue測度是上面最自