宁夏青铜峡市高级中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学Word版含解析

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2021-2022学年宁夏吴忠市青铜峡高级中学高二（上）开学考数学试卷一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（　　）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1B．（x+1）2+（y+1）2＝1C．（x+1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝22．不等式2x+3﹣x2＞0的解集为（　　）A．{x|x＜﹣3或x＞1}B．{x|﹣3＜x＜1}C．{x|x＜﹣3或x＞1}D．{x|﹣1＜x＜3}3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　）A．1B．2C．4D．84．过点（2，1）且与直线3x﹣2y＝0垂直的直线方程为（　　）A．2x﹣3y﹣1＝0B．2x+3y﹣7＝0C．3x﹣2y﹣4＝0D．3x+2y﹣8＝05．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，则c＝（　　）A．1B．2C．﹣1D．6．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（　　）A．B．C．D．7．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（　　）A．﹣B．﹣C．D．28．已知x＞0，y＞0，，则x+y的最小值为（　　）A．6B．12C．18D．249．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9＝2a52，a2＝1，则a1＝（　　）A．B．C．D．210．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，则△ABC的面积是（　　）A．B．C．D．311．已知向量＝（sinA，）与向量＝（3，sinA+cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为（　　）A．B．C．D． 12．直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值等于　　．14．直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝　　．15．若一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的范围是　　．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为　　．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（1）以A（1，1），B（3，2），C（5，4）为顶点的△ABC，求边AB上的高所在的直线方程．（2）若点P在直线3x+y﹣5＝0上，且P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为，求点P的坐标．18．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．19．已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y＝1相切，且圆心在直线y＝﹣2x上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（2，0），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．21．已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn+3，n∈N*．（Ⅰ）求an和bn的通项公式；（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．22．在△ABC中，AB＝，AC＝，AD为△ABC的内角平分线，AD＝2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求角A的大小． 参考答案一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（　　）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1B．（x+1）2+（y+1）2＝1C．（x+1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2解：由题意知圆半径r＝，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：D．2．不等式2x+3﹣x2＞0的解集为（　　）A．{x|x＜﹣3或x＞1}B．{x|﹣3＜x＜1}C．{x|x＜﹣3或x＞1}D．{x|﹣1＜x＜3}解：∵2x+3﹣x2＞0，∴x2﹣2x﹣3＜0，即（x﹣3）（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜3，即不等式的解集为{x|﹣1＜x＜3}．故选：D．3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　）A．1B．2C．4D．8解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{an}的公差为4．故选：C．4．过点（2，1）且与直线3x﹣2y＝0垂直的直线方程为（　　）A．2x﹣3y﹣1＝0B．2x+3y﹣7＝0C．3x﹣2y﹣4＝0D．3x+2y﹣8＝0解：设过点（2，1）且与直线3x﹣2y＝0垂直的直线方程为2x+3y+m＝0，把点（2，1）代入可得：4+3+m＝0，解得m＝﹣7．∴要求的直线方程为：2x+3y﹣7＝0，故选：B．5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，则c＝（　　） A．1B．2C．﹣1D．解：解法一：（余弦定理）由a2＝b2+c2﹣2bccosA得：3＝1+c2﹣2c×1×cos＝1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣2＝0，∴c＝2或﹣1（舍）．解法二：（正弦定理）由＝，得：＝，∴sinB＝，∵b＜a，∴B＝，从而C＝，∴c2＝a2+b2＝4，∴c＝2．故选：B．6．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（　　）A．B．C．D．解：∵（﹣）⊥，∴＝，∴＝＝，∵，∴．故选：B．7．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（　　）A．﹣B．﹣C．D．2解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离d＝＝1，解得：a＝，故选：A．8．已知x＞0，y＞0，，则x+y的最小值为（　　） A．6B．12C．18D．24解：∵x＞0，y＞0，∴x+y＝（x+y）（）＝10+当且仅当即x＝4，y＝8时取等号∴x+y的最小值为18故选：C．9．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9＝2a52，a2＝1，则a1＝（　　）A．B．C．D．2解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8＝2（a1q4）2，即q2＝2，又因为等比数列{an}的公比为正数，所以q＝，故a1＝．故选：B．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，则△ABC的面积是（　　）A．B．C．D．3解：由c2＝（a﹣b）2+6，可得c2＝a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，所以：a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣ab，所以ab＝6；则S△ABC＝absinC＝；故选：A．11．已知向量＝（sinA，）与向量＝（3，sinA+cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为（　　）A．B．C．D．解：∵，∴sinA（sinA+cosA）﹣＝0，∴2sin2A+2sinAcosA＝3，化为1﹣cos2A+sin2A＝3， ∴＝1，∵A∈（0，π），∴∈．∴＝，解得A＝．故选：C．12．直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]解：∵直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|＝＝2，∵点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，∴设P（2+，），∴点P到直线x+y+2＝0的距离：d＝＝，∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d＝∈[]，∴△ABP面积的取值范围是：[，]＝[2，6]．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值等于　﹣　．解：由约束条件，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z＝2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣＝﹣．故答案为：． 14．直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝　2　．解：圆x2+y2+2y﹣3＝0的圆心（0，﹣1），半径为：2，圆心到直线的距离为：＝，所以|AB|＝2＝2．故答案为：2．15．若一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的范围是　﹣3＜k＜0　．解：∵一元二次不等式对一切实数x都成立，∴k≠0，且满足，即，解得﹣3＜k＜0，故答案为：﹣3＜k＜0．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为　9　．解：由题意得acsin120°＝asin60°+csin60°，即ac＝a+c，得+＝1，得4a+c＝（4a+c）（+）＝++5≥2+5＝4+5＝9，当且仅当＝，即c＝2a时，取等号， 故答案为：9．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（1）以A（1，1），B（3，2），C（5，4）为顶点的△ABC，求边AB上的高所在的直线方程．（2）若点P在直线3x+y﹣5＝0上，且P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为，求点P的坐标．解：（1）由A（1，1），B（3，2），C（5，4），所以直线AB的斜率为KAB＝＝，所以△ABC边AB上的高所在的直线斜率为k＝﹣2，所求的直线方程为y﹣4＝﹣2（x﹣5），化为一般式方程为2x+y﹣14＝0．（2）由点P在直线3x+y﹣5＝0上，设P（x0，5﹣3x0），P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为，即＝，化简得|4x0﹣6|＝2，解得x0＝1，或x0＝2；当x0＝1时，y0＝5﹣3×1＝2，当x0＝2时，y0＝5﹣3×2＝﹣1，所以点P的坐标为（1，2）或（2，﹣1）．18．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．解：（1）∵等差数列{an}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得a1＝﹣7，d＝2，∴an＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9；（2）∵a1＝﹣7，d＝2，an＝2n﹣9，∴Sn＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，∴当n＝4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16．19．已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y＝1相切，且圆心在直线y＝﹣2x上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（2，0），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．解：（1）设圆心的坐标为C（a，﹣2a），则＝．化简，得a2﹣2a+1＝0，解得a＝1． 所以C点坐标为（1，﹣2），半径r＝|AC|＝＝．故圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2．（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0由题意得，解得k＝，则直线l的方程为y＝（x﹣2）．综上所述，直线l的方程为x＝2或3x﹣4y﹣6＝0．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：（1）由已知2cosC（acosB+bcosA）＝c，正弦定理得：2cosC（sinAcosB+cosAsinB）＝sinC，即2cosC•sinC＝sinC，∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosC＝，∴C＝．（2）由c＝，C＝，△ABC的面积为＝absin＝，∴ab＝6，又由余弦定理c2＝b2+a2﹣2abcosC，可得：7＝b2+a2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣18，可得：（a+b）2＝25，解得：a+b＝5，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．21．已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn+3，n∈N*．（Ⅰ）求an和bn的通项公式；（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．解：（Ⅰ）数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝2n2+n，n∈N*，则：an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），＝2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝4n﹣1，当n＝1时，a1＝3符合通项公式， 所以：an＝4n﹣1．由于：数列{bn}满足an＝4log2bn+3，n∈N*．则：4n﹣1＝4log2bn+3，所以：，（Ⅱ）由（Ⅰ）得：设cn＝，则：Tn＝c1+c2+…+cn＝3•20+7•21+…+（4n﹣1）2n﹣1①②①﹣②得：﹣（4n﹣1）2n﹣1，整理得：．22．在△ABC中，AB＝，AC＝，AD为△ABC的内角平分线，AD＝2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求角A的大小．解：（Ⅰ）在△ABD中，由正弦定理得：，在△ACD中，由正弦定理得：，因为：sin∠ADB＝sin∠ADC，，故：．（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理得：，在△ACD中，由余弦定理得：，又：，解得：，又：，故：．