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1、教育在线BBS论坛成人高考专版成考专升本高数（二）第四章笔记第四章多元函数微积分初步§4.1偏导数与全微分一.主要内容：㈠.多元函数的概念1.二元函数的定义：zf(x,y)(x,y)D定义域：D(f)2.二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。(而一元函数是平面上的曲线).二元函数的极限和连续：1.极限定义：设z=f(x,y)满足条件：1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。9教育在线BBS论坛成人高考专版(点(x0,y0)可除外)1limf(x,y)Axx0yy0则称zf(x,y)在(x0,y0)极限存在，且等于Ao1.连续定义：设z=f(x,y)满足条件：1
2、在点(x0,y0)的某个领域内有定义。2limf(x,y)f(Xo，y0)xX0yyo则称zf(x,y)在(x0,y0)处连续㈢偏导数：定义:f(x,y),在(x0,y0)点f(xox,yo)f(x0,yo)fx(xo,y°)limnx0xf,y0)lim°f(x0，y0y)f(x0，y0)y0yfx(x0,y0),fy(x°,y°)分别为函数f(x,y)在(x°,y°)9教育在线BBS论坛成人高考专版处对x,y的偏导数。zf(x,y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为：f(x,y)zfx(x,y)Zxxxf(x,y)zfy(x,y)——zyyy㈣.全微分:1.定
3、义:z=f(x,y)若zf(xx,yy)f(x,y)AxByo()其中，A、B与x、y无关，o()是比寸7―y7较高阶的无穷小量。则：dzdf(x,y)AxBy是zf(x,y)在点(x,y)处的全微分。3.全微分与偏导数的关系定理：若fx(x,y),fy(x,y)连续，(x,y)D.则：zf(x,y)9教育在线BBS论坛成人高考专版在点(x,y)处可微且dzfx(x,y)dxfy(x,y)dy㈤.复全函数的偏导数：1.设：zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)zfu(x,y),v(x,y)9教育在线BBS论坛成人高考专版则:二卫-uxux9教育在线BBS论坛
4、成人高考专版zuzvuyvy9教育在线BBS论坛成人高考专版9教育在线BBS论坛成人高考专版2.设yf(u,v),uu(x),vv(x)dydxyduudxydvyvdxf[u(x),v(x)]9教育在线BBS论坛成人高考专版9教育在线BBS论坛成人高考专版0,zf(x,y),且Fz0（六）.隐含数的偏导数:1.设F（x,y,z）9教育在线BBS论坛成人高考专版9教育在线BBS论坛成人高考专版y0,yFzf(x)，且Fy0则2FxxFz2.设F(x,y)9教育在线BBS论坛成人高考专版9教育在线BBS论坛成人高考专版则或FxdxFy（七）二阶偏导数:Zfxx(x,y
5、)—2—L)xxx2fyy(X")2—(―)yyy9教育在线BBS论坛成人高考专版2fxy(X，y)———(二)xyyx2zzfyx(x，y)-L)yxxy结论：当fxy(x,y)和fyx(x,y)为x,y的连续函数时,则：fxy(x,y)fyx(x,y)(八).二元函数的无条件极值1.二元函数极值定义：设z(x,y)在(x0,y0)某一个邻域内有定义，若z(x,y)z(x0,yO),或z(x,y)z(x0,y0)则称z(x0,y0)是z(x,y)的一个极大(或极小)值，称(x0,y0)是z(x,y)的一个极大(或极小)值点。☆极大值和极小值统称为极值,9教育在线B
6、BS论坛成人高考专版极大值点和极小值点统称为极值点。1.极值的必要条件：若zf(x,y)在点(Xo,y0)有极值，且在(Xo,y0)两个一阶偏导数存在，则：fx(x0,y0)0fy(x0,y0)01使fx(x0,y0)fy(x0,y0)0的点(x0,y0)，称为zf(x,y)的驻点。2定理的结论是极值存在的必要条件，9教育在线BBS论坛成人高考专版9教育在线BBS论坛成人高考专版例：zzxzy而非充分条件。22yx12x0解出驻点2y0x0y09教育在线BBS论坛成人高考专版z(0,0)1x0,y0时，z(0,y)y211当x0,y0时，z(x,0)x211驻点不一
7、定是极值点。1.极值的充分条件：设：函数yf(x,y)在(Xo，y0)的某个领域内有二阶偏导数，且(x0,y0)为驻点，2若：pfxy(x0,y0)fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)八日fxx(Xo,yo)0时，f(xo,y。)为极大值。当：p0且fxx(X0,y。)0时，f(X0,y。)为极小值。当：p0,f(x0,y0)不是极值。当：p0,不能确定。求二元极值的方法：1求一阶偏导数，令两个一阶偏导数等于零，解出驻点。9教育在线BBS论坛成人高考专版2求出p,根据极值的充分条件，判断驻点是否是极值点。3若驻点是极值点，求出极值。9
