成考专升本高数(二)第二章笔记.doc

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1、第二章一元函数微分学§2.1导数与微分一、主要内容㈠导数的概念1．导数：在的某个邻域内有定义，2．左导数：右导数：定理：在的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：（或：）3.函数可导的必要条件：定理：在处可导在处连续4.函数可导的充要条件：定理：存在，且存在。5.导函数：在内处处可导。y6.导数的几何性质：是曲线上点处切线的斜率。ox0x㈡求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算：1o2o3o3.复合函数的导数：，或☆注意与的区别：表示复合函数对自变量求导；表示复合函数对中间变量求导。4.高阶导数：函数的n阶导数等于其n-1导

2、数的导数。㈢微分的概念1.微分：在的某个邻域内有定义，其中：与无关，是比较高阶的无穷小量，即：则称在处可微，记作：2.导数与微分的等价关系：定理：在处可微在处可导，且：3.微分形式不变性：不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。一、例题分析例1.设存在，且，则等于A.1,B.0,C.2,D..[]解：∴（应选D）例2．设其中在处连续；求。解：误解：∴结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说可导，所以不一定存在。例3．设在处可导，且，求：解：设当时，例4．设是可导的奇函数，且，则等于：A.,B.,C.,D..[]解：∴

3、(应选A)（结论：可导奇函数的导数是偶函数；可导偶函数的导数是奇函数。）例5．设在处是否可导？解法一：∴在处连续∴∴在处可导。解法二：∴在处连续当时，∴∴∴在处可导。例6．设求a,b的值，使处处可导。解：的定义域：当时，是初等函数，在内有定义，∴不论a和b为何值，在内连续；当时，是初等函数，在内有定义，∴不论a和b为何值，在内连续；只有当时，在处连续；∴当时，处处连续；当时，只有当时，在处可导；∴当，处处可导。例7．求下列函数的导数⑴解：⑵解：⑶解：⑷（为常数）解法一：解法二:⑸解法一：∴解法二:设隐函数求导！⑹解法一：解法二:设⑺解：（对

4、数法）∴⑻解法一：（对数法）∴解法二：（指数法）⑼解法一：（对数法）设∴∴解法二：（指数法）⑽解法一：∴解法二：设例8．已知，求。解：设∴∴例9．求下列函数的二阶导数⑴解：⑵解法一：∴解法二：∴例10．设，求：。解：……结论：对于，若，则例11．设，求。解：……例12．求下列函数的微分⑴解法一：∴解法二：⑵解法一：∴解法一：∴§2.2中值定理及导数的应用一、主要内容㈠中值定理1.罗尔定理:满足条件:yaoξbxaoξbx2.拉格朗日定理：满足条件:㈡罗必塔法则：（型未定式）定理：和满足条件：1o；2o在点a的某个邻域内可导，且；3o则：☆注

5、意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2o若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是型或型时，不可求导。3o应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4o若和还满足法则的条件，可以继续使用法则，即：5o若函数是型可采用代数变形，化成或型；若是型可采用对数或指数变形，化成或型。㈢导数的应用1．切线方程和法线方程：设：切线方程：法线方程：2．曲线的单调性：⑴⑵3.函数的极值：⑴极值的定义：设在内有定义，是内的一点；若对于的某个邻域内的任意点，都有：则称是的一个极大值（或极小值），称为的极大值点（或极小值点）

6、。⑵极值存在的必要条件：定理：称为的驻点⑶极值存在的充分条件：定理一：当渐增通过时，由（+）变（-）；则为极大值；当渐增通过时，由（-）变（+）；则为极小值。定理二：若，则为极大值；若，则为极小值。☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4．曲线的凹向及拐点：⑴若；则在内是上凹的（或凹的），（∪）；⑵若；则在内是下凹的（或凸的），（∩）；⑶5。曲线的渐近线：⑴水平渐近线：⑵铅直渐近线：二、例题分析例1．函数在[-1，0]上是否满足罗尔定理的条件？若满足，求出的值。解：∵是初等函数，在[-1，0]上有定义；∴在[-1，0]上连续。∵

7、在（-1，0）内有定义；∴在（-1，0）内可导。又∴满足罗尔定理的条件。由定理可得：解得：∵不在（-1，0）内，舍去；∴例2。证明：当时，不等式成立。证法一：（采用中值定理证明）设：∵是初等函数，在[0,x]上有定义，∴在[0,x]上连续。∵在（0,x）内有定义∴在（0,x）内可导。∴满足拉格朗日定理的条件，由定理可得：∵∴∴；证毕。证法二：（采用函数的单调性证明）设：∴∴即：∴；证毕。例3．证明：证：设：∴∴∴；证毕。例4．证明：当时，。解：设：，∴∴∴；证毕。例5．求下列极限：⑴解：⑵解：⑶解：令：当时，；⑷解法一：解法二：⑸解：⑹解：

8、⑺解法一：（对数法）设：∴解法二：（指数法）⑻解法一：设：∴解法二：解法三：设：⑼解：例6．解：设：∴例7．解：例8．设：，求a、b的值。解：∵∴……（※）∵∴∴代入（※）式，得