高弹第三章应变状态(1)

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1、第三章应变状态物体变形位移与应变的基本关系－几何方程应变状态分析位移的单值连续性质位移定义：位置的改变。记号：、、正负：沿坐标轴正向为正，负向为负。分类:与形变有关的位移与形变无关位移（刚体位移）形变定义：形状的改变（长度的改变和角度的改变）线应变（正应变）：线段单位长度的伸缩。记号：记号：(以弧而非角度表示)正负：直角变小为正，变大为负正负：伸长为正，压缩为负切应变(剪应变)：两方向线段夹角的改变。bacdOxycbadOxyabcdabcdab和ad之间夹角减小ab和ad之间夹角增大oyxPABP’B’A’A’’B’’线段PA的转角为：同理线段PB的转角为：则剪应变为：PA

2、的正应变:同理线段PB的正应变为：形变与位移之间的关系若位移确定，则形变完全确定物理方面：当物体变形后各点的位置完全确定时，任一微分线段上的形变（伸缩和转角）即可完全确定。数学方面：位移函数确定，其导数即可确定，即形变分量即可完全确定。若形变分量确定，则位移分量不完全确定，未定项为刚体位移和刚体转动量：当形变确定时，与形变有关的位移可确定；与形变无关的刚体位移尚未确定，需通过边界上的约束条件才能确定。物理方面：保持物体的内部形状不变的情况下，物体还可做刚体运动—平移和转动。数学方面：由形变分量求位移分量是一个积分过程，要出现与积分变量无关的任意函数，这些任意函数是未定项。ozx

3、yxyP绕轴的转动角度刚体位移：和形变为零的位移几何方程位移分量和应变分量之间的关系几何方程又称柯西方程几何方程——位移导数表示的应变应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形原因是没有考虑单元体位置的改变——单元体的刚体转动刚性位移可以分解为平动与转动刚性转动——变形位移的一部分，但是不产生变形。微分单元体的刚性转动与协调相关转动矢量描述微分单元体的刚性转动转动分量刚体转动位移增量变形位移增量位移增量是由两部分组成的变形通过应变描述坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化。应变分量的转轴公式应变张量主应变与主应变方向应变状态——应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分

4、量均可确定。因此应变状态就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。主应变与应变主轴切应变为0的方向应变主轴方向的正应变应变主轴——主应变——应变状态特征方程l，m，n齐次线性方程组非零解的条件为方程系数行列式的值为零展开主应变确定——应变主轴方向变形应变不变量第一，第二和第三应变不变量一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状态是确定的。应变不变量就是应变状态性质的表现应力张量——应变张量应力不变量——应变不变量主应变/应变主轴与主应力/应力主轴特性类似各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的公式比较—弹性体一点体积的改

5、变量根据小应变假设，略去线应变的乘积项体积应变应变协调方程数学意义：几何方程——6个应变分量通过3个位移分量描述力学意义——变形连续弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束例3-1设ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求其位移。显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和x求二阶偏导数，然后相加可得将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后

6、两式相加并减去中间一式，则对x求一阶偏导数，则分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，则应变协调方程——圣维南（SaintVenant）方程变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。从几何上看，变形前连续的物体变形后应该仍然保持连续，若任意给定六个应变分量，则物体可能出现开裂或

7、重叠现象（参见图），这样的应变场是不协调的，所以可积条件就是保证变形协调的条件，称为应变协调方程。例：二维问题。已知解：上列应变场是否可能？该应变场不可能存在。证明——应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。目标——如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。利用位移和转动分量的全微分，则轮换x,y,z，可得du，dv和dwy，dwz§3.3应变协调7如通过积分，计算出是单值连续的，