部编版第38周 应用同余问题

《部编版第38周 应用同余问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三十八周使用同余咨询题专题简析：同余那个观点最后是由巨年夜的德国数学家高斯发觉的。同余的界说是如此的：两个整数a，b，假如它们除以统一天然数m所得的余数想同，那么称a，b关于模m同余。记作：a≡b〔modｍ〕。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比方，12除以5，47除以5，它们有一样的余数2，这时咱们就说，关于除数5，12跟47同余，记做12≡47〔mod5〕。同余的性子比拟多，要紧有以下一些：性子〔1〕：关于统一个出版，两个数之跟〔或差〕与它们的余数之跟〔或差〕同余。比方：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的跟是2+4=6。“32+19〞除以5

2、的余数就恰恰即是它们的余数跟6除以5的余数。也确实是说，关于除数5，“32+19〞与它们的余数跟“2+4〞同余，用标记表现确实是：32≡2〔mod5〕，19≡4〔mod5〕，32+19≡2+4≡1〔mod5〕性子〔2〕：关于赞同个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。性子〔3〕：关于赞同个除数，假如有两个整数同余，那么它们的差就必定能被那个除数整除。性子〔4〕：关于赞同个除数，假如两个整数同余，那么它们的乘方依然同余。使用同余性子的要害是要在准确了解的根底上灵敏应用同余性子。把求一个较年夜的数除以某数的余数咨询题转化为求一个较小的数除以那个数的余数

3、，使庞杂的题变庞杂，使艰苦的题变轻易。例题1：求1992×59除以7的余数。使用同余性子〔2〕可将1992×59转化为求1992除以7跟59除以7的余数的乘积，使盘算简化。1992除以7余4，59除以7余3。依照同余性子，“4×3〞除以7的余数与“1992×59〞除以7的余数应当是一样的，经过求“4×3〞除以7的余数就可明白1992×59除以7的余数了。由于1992×59≡4×3≡5〔mod7〕因此1992×59除以7的余数是5。训练1：1、求4217×364除以6的余数。2、求1339655×12除以13的余数。3、求879×4376×5283除以

4、11的余数。例题2：曾经明白2001年的国庆节是礼拜一，求年的国庆节是礼拜几多？一礼拜有7天，请求年的国庆节是礼拜几多，就请求从2001年到年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中，假如咱们能充沛应用同余性子，就能够不用算出那个总天数。2001年国庆节到年国庆节之间共有2个闰年7个闰年，即有“366×2+365×7〞天。由于366×2≡2×2≡4〔mod7〕，365×7≡1×7≡0〔mod7〕，366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4〔mod7〕答：年的国庆节是礼拜五。训练2：1、曾经明白2002年除夕是礼拜二。求年除夕是礼拜几多？

5、2、曾经明白2002年的“七月一日〞是礼拜一。求年的“十月一日〞是礼拜几多？3、明天是礼拜四，再过365的15次方是礼拜几多？例题3：求2001的2003次方除以13的余数。2001除以13余12，即2001≡12〔mod13〕。依照同余性子〔4〕，可知2001的2003次方≡12的2003次方〔mod13〕，但12的2003次方依然是一个非常年夜的值，请求它的余数比拟艰苦。这时的要害确实是要寻出12的几多次方对模13与1是同余的。经实验可知12的平方≡1〔mod13〕，而2003≡2×1001+1。因此〔12的平方〕的1001次方≡1的1001〔m

6、od13〕，即12的2002次方≡1〔mod13〕，而12的2003次方≡12的2002次方×12。依照同余性子〔2〕可知12的2002次方×12≡1×12≡12〔mod13〕由于：2001的2003次方≡12的2003次方〔mod13〕12的平方≡1〔mod13〕，而2003≡2×1001+112的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12〔mod13〕因此2001的2003次方除以13的余数是12。训练3：1、求12的200次方除以13的余数。2、求3的92次方除以21余几多。3、9个小冤家坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子均匀分给他们

7、，最后剩下几多粒？例题4：天然数16520，14903，14177除以m的余数一样，m最年夜是几多？天然数16520，14903，14177除以m的余数一样，换句话说确实是16520≡14903≡14177〔modm〕。依照同余性子〔3〕，这三个饿数同余，那么它们的差就能被m整除。请求m最年夜是几多，确实是求它们差的最年夜条约数是几多？由于16520—14903=1617=3×7的平方×1116520—14177=2343=3×11×7114903—14177=726=2×3×11的平方M是这些差的条约数，m最年夜是3×11=33。训练4：1、假定2

8、836、4582、5164、6522四个整数都被统一个两位数相除，所得的余数一样。除数是几多？2、一个整数除