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1、销售运输最优问题及其模型简介随着科技的发展,数学模型已广泛应用到社会生活的各个领域。随着经济的发展，道路交通运输成为了世界各国经济贸易的重要环节之一。因此，如何确定一条运输成本最低的路线，使商家获得最大利润变得尤为重要。本题就是关于销售运输最优方案的确立问题，在运输总量不变的情况下，考虑各路线运输成本的高低。在假设无分散运输的情况下，我们建立了动态规划模型，分阶段讨论运输的最优解，得出总路线的最优解，从而解决了求最短运输费用问题,这一模型具有广泛的实际意义。关键字：动态规划，分阶段，最少运费（一）
2、问题重述一、概述在日常生活中，我们经常遇到求最短路径或者最少运费路径的问题。其中主要考虑的就是运输成本的问题，在运输货物数量一定的条件下，综合考虑各方面因素，从而得出最佳运输方案，使运费成本最少，以保证商品产家获得最大利润。二、解决的问题如图所示，弧上的数字为相邻两节点间的单位运费，现将总量为Q的某种产品从产地一运往销售地七，求总运费最少的运输方案。②15④201289①10⑤10⑦14③81213⑥（一）问题分析由题干可知，从产地一运出的货物总量是一定的，若不考虑分散运输，则问题转化为求最短运输
3、路径的问题，这样可以将问题简化求解。我们可将整个过程分为三个阶段，①运往②或③为第一阶段，②运往④或⑤以及③运往④或⑥为第二个阶段，剩下的运输路径为第三阶段，通过比较每一阶段的子问题即最少运输费用，来得出总的路线所需的最少运输费用。（四）模型假设1、运输过程中不考虑分散运输类型；2、任意相邻两点间的运输路径相等；3、不考虑运输时间对运输成本的影响；4、两点间货物的单位运费表示它们之间的距离。（五）模型建立与求解一、问题的分析我们把整个过程划分3个阶段,用K表示,K=1,2,3K=1(第一阶段):从
4、一级结点①结点到二级结点(②,③);K=2(第二阶段):从二级结点(②,③)到三级结点(④，⑤,⑥);K=3(第三阶段):从三级结点(④，⑤,⑥)到终级结点⑦，其中包括从4到5,5到6的路径。从一个路径的每一结点到达下一路径的那个结点,是由阶段初的地点、阶段未的地点所确定,图中用结点间的连线表示,再将本阶段的两地点间所需的单位运费作为两结点间的距离,标在结点间的连线上,这样就转化为求解决从地点1经地点B（2,3）、地点C（4，5，6）至终点7的最少运输费问题就转化为寻找从一级结点①至终级结点⑦的一
5、条最短路径问题。求最短路径问题有两种解法:顺序递推法和逆序递推法。顺序递推法即从前向后求解,逆序递推法即从后向前求解。因为从①至⑦的最短路径与从⑦至①的最短路径相同,所以两种解法的结果是唯一确定的;并且若某一路径为最短路径,则它的任一子路径也必为最短路径。二、模型的建立建立相应动态规划模型来求解运输过程中的最短路径。将图形转化为：B115C1201289①10C210⑦14B281213C3第一阶段第二阶段第三阶段阶段变量用k表示；阶段指标表示k阶段与所选择的路段相应的路长；指标函数=表示k至三阶
6、的总路长。表示第k阶段点到终点⑦的运输成本；递推公式=min{+}，k=3，2，1；每两个点间距离是一定的,用d(i,j)表示,且d(i,j)=d(j,i)。K=1时,考虑第一个阶段。第一阶段的最短路程记作(Bi)，i=1,2,则=20,=14。K=2时,联合考虑前两个阶段。第一阶段、第二阶段至Bi（2,3）结点的最短路程之和记为，其中i=1,2,3。f2(C1)=min{d(B1,C1)+f1(B1),d(B2,C1+f1(B2)}=min{20+15,14+10}=24,即从①结点至C1结点最
7、短路径为①—B1—C1,从①结点至C2结点仅有一条路径①—B1—C2，f2(C2)=d(B1,C2)+f1(B1)=20+12=32。从①结点至C2仅有①—B2—C2一条路径，则f2(C3)=d(B2,C3)+f1(B2)=27.K=3时,联合考虑前三个阶段。前三个阶段至⑦结点的最短路程记作f3（⑦）。由图可知，从c1到⑦有两段路径，即直接从c1至⑦或从c1至c2后再至⑦,通过比较可以看出前者更加节约运输成本，即运输路线为c1直接运往⑦。同理可得，从c2直接运往⑦为最优方案。则f3(⑦)=min{
8、d(c1,⑦)+f2(c1),d(c2,⑦)+f2(c2),d(c3,⑦)+f2(c3)}=min{9+24,10+34,12+27}=33。综合以上三阶段可得，最短路线为①——B2——C1——⑦，即为①——③——④——⑦，总运输费用最少f=f3=33。（六）分析与讨论动态规划模型具有静态规划模型无法比拟的优越性。如能得到全局最优方案;可以得到一组最优解;在计算时,可以利用实际知识和个人经验提高求解效率。但是它也具有一些缺点,如没有统一的标准模型;用数值方法求解时存在维数灾等。在上
