2008实变函数及泛函分析初步试题.

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1、5浙江省2008年1月高等教育自学考试实变函数与泛函分析初步试题课程代码：10023一、单项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设Q是I=［0，1］中有理数的全体，从R1来看，边界Q=（）A.IB.QC.I＼QD.φ2.设R是实数集，P是Cantor三分集，x∈P，下列叙述正确的是（）A.x是P的内点B.x是P的外点C.x是P的界点D.x是P的孤立点3.设f(x)在闭集ERn上R可积，I1=(R)，I2=(L)，则有（）A.I1＜I2B.I1=I2C.I1

2、＞I2D.不能比较4.设An(n=1，2，…)是一列递增集合，F=，则F与G的外测度满足（）A.m*F＜m*GB.m*F=m*GC.m*F＞m*GD.不能比较二、判断题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。1.完全集是没有邻接余区间的闭集.（）2.Cantor三分集中必含有内点.（）3.外测度为零的集是可测集.（）4.设f(x)=0a.e.于E,则=0.（）5.设f(x)是［a，b］上有界变差函数，则f′(x)在［a，b］上可积.（）6.y=f(x)在［a，b］满足Lipschitz条件，则y=f(x)在［a，b］能

3、表示为两个增函数之差.（）三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1.设An(n=1，2，…)是一列集合，则=_________.2.设A2n-1=［0，］，A2n=［0,n］，n=1，2，…，则=_________.3.设Sn=(n，+∞)，则=_________.════════════════════════════════════════════════════════════════════54.设f(x)=，则x∈R＼Q，f(x)在x的振幅ω(x，f)=_________.5.设h(x)与g(x)是E

4、上两个非负实函数，它们分别是某个实函数的正部与负部的充分必要条件是_________.6.设f(x)是ERn上实函数，则对任意实数a，=_________.7.设E是函数f(x)=的图象上的点构成的集合，从R2来看，闭包=_________.8.设Gn=(-1-，1+)，n=1，2，…，则=_________.9.设fn(x)=，则=_________.10.设I1,I2分别是Rp，Rq的区间，E=I1×I2，当xI1，则截面Ex=_________.四、完成下列各题（本大题共3小题，第1与第2小题各8分，第3小题10分，共26分）1.设f(x)是［a，b］上可微函数，证明

5、f′(x)在［a，b］上可测.2.证明.3.设f(x)是［0，1］上有界变差函数且在x=0连续,如果对任意的1＞ε＞0，f(x)在［ε，1］上绝对连续,证明f(x)在［0，1］上绝对连续.════════════════════════════════════════════════════════════════════