计算方法教学大纲

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1、计算方法教学大纲课程简介本课程是面向全校有科学计算要求的各工科专业的本科生而开设的。介绍近代计算机常用的计算方法及基础理论。主要内容有插值法、曲线拟合、数值微分和积分、方程求根、线性与非线性方程组的解法、常微分方程数值解法。预修课程微积分、线性代数、常微分方程、计算机语言。教学内容与教学基本要求一、数值计算中的误差（4学时）教学内容：误差的种类及其来源，绝对误差、相对误差，有效数字，误差的传播与估计，算法的数值稳定性。基本要求：1．知道误差的种类及其来源。2．理解绝对误差、相对误差和有效数字的概念。3．知道误差的传播对于计算精

2、度的危害，知道数值运算中应注意的若干原则，知道误差估计的一般公式。4．了解算法的数值稳定性的概念。二、插值法（6学时）教学内容：拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式，分段低次插值，三次样条插值，数值微分基本要求：1．了解插值法的概念，知道插值多项式的存在唯一性。2．掌握拉格朗日插值法，能写出其基函数。3．理解差分、差商的概念，能写出牛顿向前、向后插值公式。4．了解分段低次插值的概念及其意义。5．理解三次样条插值，掌握其求法。6．理解数值微分，知道常用的数值微分公式及其阶。一、曲线拟合的最小二乘法（4学时）教学内容：曲线拟合的最小

3、二乘法基本要求：1．知道最小二乘原则。2．会用描图法确定函数类，能写出法方程组。3．掌握线性最小二乘问题的求法。二、数值积分(8)教学内容：构造数值积分的基本方法，牛顿—柯特斯公式，龙贝格算法，高斯型求积公式*。基本要求：1．了解数值积分的概念及构造的基本方法。2．了解牛顿—柯特斯公式，熟练掌握梯形公式、辛普生公式及其复合公式。3．知道上述积分公式的代数精度及误差估计。4．了解龙贝格算法的原理，掌握其算法。5．知道高斯型求积公式。五、非线性方程（学时数8）教学内容：二分法，迭代法的一般理论，牛顿迭代法，正割法。基本要求：1．了

4、解非线性方程的一些基本概念，如：有根区间、代数基本定理、单根、重根。2．掌握二分法，会用二分法求非线性方程根的较好近似，了解其误差估计，知道二分法的优缺点。3．了解迭代法的一般过程，知道什么叫迭代法收敛（局部收敛），知道迭代法收敛的一些充分条件。4．了解牛顿迭代法的原理，掌握牛顿法的迭代过程，了解牛顿迭代法的局部收敛性，知道牛顿迭代法的是平方收敛的，了解重根的收敛情况。5．了解正割法的原理，掌握正割法的迭代过程，知道正割法的收敛速度。6．了解迭代法的收敛阶的意义，了解Aitken加速法。六、解线性方程组的数值方法（学时数8）教

5、学内容：解线性方程组的直接方法高斯消去法及各种变形：选主元高斯消去法、追赶法、平方根法；迭代法：雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、超松驰迭代法（SOR方法）。基本要求：1．掌握高斯消去法的消元过程与回代过程，了解高斯消去法所需的计算量与存储量。2．了解主元对舍入误差的影响，掌握列主元及全主元高斯消去法。3．了解矩阵能三角分解的条件，掌握Doolittle分解与Crout分解的分解方法。了解分解所需的计算量。1．掌握求解三对角线性方程组的追赶法。2．理解对称正定矩阵的Cholesky分解的原理，会用Cholesky分解求解方程组

6、，了解Cholesky分解所需的计算量。3．了解向量和矩阵的范数的意义，会求“1、2、∞”三种向量范数，会求矩阵的行、列范数，知道谱范数的求法。4．掌握求解线性方程组的雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、SOR方法，了解松驰因子对SOR方法收敛速度的影响；了解高斯—塞德尔迭代法、SOR方法收敛的一些充分条件。5．了解线性方程组条件数的意义，了解条件数对解的精度的影响，知道病态方程；了解线性方程组解的迭代改善法。七、常微分方程的数值解法（学时数8）教学内容：解一阶常微分方程初值问题的欧拉方法，龙格—库塔方法，阿达姆斯方法，阿达姆斯

7、方法预测—校正方法，讨论算法的稳定性及收敛性。基本要求：1．掌握欧拉公式及隐式欧拉公式，理解局部截断误差的概念，知道欧拉公式（及隐式）的精度是一阶，了解各种欧拉公式的变形。2．掌握二、三阶龙格—库塔公式的导出方法，知道几个常用的二、三阶龙格—库塔公式，知道经典龙格—库塔公式，会用龙格—库塔公式求常微分方程初值问题的数值解。3．了解线性多步法，知道显式和隐式阿达姆斯公式的导出方法，会分析阿达姆斯公式的局部截断误差，会用阿达姆斯公式求常微分方程初值问题的数值解。掌握阿达姆斯预测—校正方法，会进行事后误差分析。4．了解稳定性及收敛性

8、的意义，知道龙格—库塔公式及阿达姆斯公式的稳定区域。5．了解方程组和高阶方程的求解方法。