初中数学诸法皆用 一题多证学法指导 教案

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1、诸法皆用一题多证耿化彪平行四边形的判定方法主要有：（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。平行四边形的上述判定方法，分别从边、对角线、角三个角度，给出了确定一个四边形是平行四边形的根据。根据问题的特征，灵活地选用平行四边形的判定方法，可以培养同学们分析问题、解决问题的能力。题目如图1，点E、F为平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的两点，且AE＝CF。求证：四边形EBFD是平行四边形。证法1：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，A

2、B∥CD。∴∠BAC＝∠DCA。∴∠BAE＝∠DCF（等角的补角相等）。∴△BAE≌△DCF（SAS）。∴∠BEA＝∠DFC（全等三角形的对应角相等）。∴BE∥DF（内错角相等，两直线平行）。同理可得：DE∥BF。∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（1））。证法2：同上证法，可得△BAE≌△DCF。∴BE＝DF。同理可得：△DAE≌△BCF（SAS）。故DE＝BF。∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（2））。证法3：同证法1可得△BAE≌△DCF。∴BE＝DF。∠BEA＝∠DFC。∴BE∥DF。∴四边形EBFD是

3、平行四边形（判定方法（3））。点悟：上面的三种方法都借助了△BAE≌△DCF，只是最后几步出现了差异。证法4：如图2，连接BD交AC于点O。∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO。又∵AE＝CF，∴AO＋AE＝CO＋CF，即OE＝OF。∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（4））。点悟：这种方法能够紧紧抓住条件的整体特征，巧妙构造出了四边形EBFD的对角线，从而非常简洁地证明了四边形是平行四边形。但作出辅助线是一个关键，也是一个难点。证法5：可根据前面证法所得到的△BAE≌△DCF和△DAE≌△BCF，

4、得到∠EBF＝∠FDE，∠BED＝∠DFB。∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（5））。点悟：这种方法从角的角度证明了所给的四边形是平行四边形。放大镜：上面这些证法中，证法3、证法4最简便，值得重视。