高中数学用增量法巧证不等式学法指导【试题教案】

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1、用增量法巧证不等式证明不等式基本的方法有比较法、分析法、综合法、反证法等，除此之外我们也可以利丿IJ增量法來证明一些不等式，本文就增量法的儿种变换技巧及使川类型加以阐述，供同学们参考。类型一：当a+b=m(m为常数)时，Wa=-+t,b=--t,H屮t为增量来证明。22(1、1y均为正数，且x+y=l,求证1+—(1+—)»9。IX丿y证明：由x+y=l,可设x=l_t,y二丄+t,不妨设x9-36(2*l-4t2_l-4t2°例

2、2已知a,b,cgR,且a+b+c=l,>RiiEa2+b2+c2>-03证明：设x,y,zgR,贝ij：a=—+x,b=—+y,c=—+z,贝Ux+y+z=O。3332以2(1YflY(1丫12a+b~+c~=—+x+—+y+—+z=-+—(x+y+z)丿丿丿33+(x2+y2+z2)=-+(x2+y2+z2)>-o33当且仅当x=y=z=0,即a=b=c=丄时等号成立。3类型二：当a>b时，可令a=b+t,H.twR,t〉0,其中t为增量来证明。ozh_例3已矢Ua>b>0,求i正——+——〉a+b。ba证明：因为a>b>0,所以【J令a=b+t,JI.tgR,t>

3、0□f+「+b)=ba(b+t)2b2,1(a+b)bb+t-2bt-t2b+tt2t2一+bFh2即—+—>a+boba推广：当a>b>c,可令a-b=x,b-c=y,a-c=x+y,其屮x,ywR,x,y>O,x,y为增最。I14例4已知a〉b>c〉0,求证++>0oa-bb-cc-aIJE明令a-b=x,b-c=y,a-c=x+yfl1)o—+—(xy丿丄+丄+丄no。丄+無丄a-bb-cc-axyx+y—,X+y>2y[xy,xy・・•丄丄2xy其中X,y>0(x+y)>4o•I丄+丄j(x+y)>4olxy丿当且仅当x=y,即a=b=c时等号成立。类型三:利用

4、比例系数增量来证明，如a>b>0时,我们可令a=2b，其中2〉1。如a+b+c=1H寸，令a=——I,b=——at(t>0),c=一+(1+a)l。333n2_h233例5已知a〉b〉0,求证。D等Ra2+b2a3+b3证明：由a>b>0nJ'设a=/lb,其中2>1oa2-b2_/l2b2-b2_-1_j2a2+b2/l2b2+b2A2+1才+1°a3-b323b3-b3/I3-1,2a3+b323b3+b3A3+1才+1即亠>亠，从而竽与才+1才+1+b2a3-b3我们需要不断的学习，丰富我们的知识面，学到老，是我们良好的生活态度!