初中数学巧添平行线 多法证一题

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1、初中数学巧添平行线多法证一题崔凤岩颜伏刚http://www.DearEDU.com证线段成比例，往往要通过添平行辅助线，构成人教版《几何》第二册214页的图5—9、5—10的两个基本图形，即“”型和“”型图形，再利用平行线分线段成比例定理进行证明。但在具体的证题过程中，到底过哪一点作平行线恰当，不少同学感到茫然。这里向同学们介绍一个添平行线的方法：以比例式的一边为基准，若前、后项的两条线段有公共端点且在同一直线上，则就把这两条线段的三个端点，分别看成某一三角形一边的两个端点和一个内（外）分点，经过这三点都可作两条平行线。（但过分点作平行线，往往会使证明过程变复杂）。现以《几何》第二册25

2、5页第17题为例说明如下。题目：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。求证：AE：ED=2AF：FB分析：要证明的比例式中的线段AE、ED和AF、FB，都是有公共端点且各在同一直线上，E、F分别是AD和AB的内分点，所以，至少可以分别过A、E、D、F、B各作两条平行线（如图1—9），同时，考虑到AD是中线，还可以过C点作平行线（如图10—11）。另外，根据题设条件，不添辅助线，直接用梅勒劳斯定理也可证明。这样就得到该题的12种证法。证法1：如图1，过点A作AG//BC，交CF的延长线于G。则：而，所以图1证法2：如图2，过点A作AG//FC，交BC的延长线于G。

3、则：而所以即：图2证法3：如图3，过点E作EG//AB，交BC于G。则：①②③得：而所以所以即：图3证法4：如图4，过点D作DG//AB，交CF于G。则：所以图4证法5：如图5，过点D作DG//CF，交AB于G。则：所以图5证法6：如图6，过点F作FG//BC，交AD于G。则：所以所以即图6证法7：如图7，过点F作FG//AD交BC于G。则：①②③得：而所以所以从而图7证法8：如图8，过点B作BG//AD，交CF的延长线于G。则：所以即图8证法9：如图9，过点B作BG//CF交AD的延长线于G。则：即所以即：图9证法10：如图10，过点C作CG//AB，交AD的延长线于G，连结CG。则易证

4、CG=AB，DG=AD所以而EG=ED+DG=ED+AD=AE+2ED所以所以即：图10证法11：如图11，过点C作CG//DA交BA的延长线于G。则易证：AG=AB，CG=2AD所以而FG=AF+AG=AF+AB所以所以即：图11证法12：如图12，可看成直线FE分别截△ABD的三边于F、C、E，则由梅勤劳斯定理立即可得：而所以图12