f分布t分布和卡方分布

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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流f分布t分布和卡方分布【精品文档】第113页如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流§1.4常用的分布及其分位数1.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z=的分布称为自由度等于n的分布，记作Z～(n)，它的分布密度p(z)=式中的=，称为Gamma函数，且=1，=。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y～(n)，Z～(m)，则Y+Z～(n+m)。证明:先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互

2、独立且都服从N(0,1)，再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X，Y+Z=X+X+…+X+X+X+…+X，即可得到Y+Z～(n+m)。2.t分布若X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～(n)，则Z=【精品文档】第113页如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z～t(n)，它的分布密度P(z)=。请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3.F分布若X与Y相互独立，且X～(n)，

3、Y～(m)，则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作Z～F(n,m)，它的分布密度p(z)=请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z～F(n,m)时，～F(m,n)。4.t分布与F分布的关系若X～t(n)，则Y=X～F(1,n)。证：X～t(n)，X的分布密度p(x)=。Y=X的分布函数F(y)=P{Y0时，F(y)=P{-

4、密度相同，因此Y=X～F(1,n)。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：4.常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F(x)，实数α满足0<α<1时，α分位数是使P{Xλ}=1-F(λ)=α的数λ，双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5

5、α的数λ2。因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-【精品文档】第113页如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流α分位数x1-α；F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u0.5α，1-0.5α分位数记作u1-0.5α。当X～N(0,1)时，P{X

6、根据标准正态分布密度曲线的对称性，当α=0.5时，uα=0；当α<0.5时，uα<0。uα=-u1-α。【精品文档】第113页如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出u1-α，然后得到uα=-u1-α。论述如下：当X～N(0,1)时，P{Xu1-α}=1-F0,1(u1-α)=α，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α。例如，u0.10=-u0.90=-1.282，u0.05=-u0.95=-1.645，u0.01=-u0.99=-

7、2.326，u0.025=-u0.975=-1.960，u0.005=-u0.995=-2.576。又因为P{X