f分布t分布与卡方分布.docx

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1、§1.4常用的分布及其分位数1.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，ZHX：的i分布称为自由度等于n的2分布，记作Z〜2(n),它的分布密度P(z0其他,n式中的.=0称为Gamma®数，且■1=1,113/8113/8旳=石。•/2分布是非对称分布'具有可加性'即当Y与Z相互独立，且Y〜2(n),Z〜2(m)，贝UY+Z〜2(n+m)。证明：先令Xi、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服

2、从N(0,1),再根据2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令y=x2+x2+…+x2,z=xn1+xn2+…+xnm，Y+Z=X+X■+12n113/8113/8即可得到Y+Z〜2(n+m)2.t分布若X与Y相互独立，且X〜N(0,1),Y〜2(n)，贝UZ=x丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z〜t(n)，它的分布密度P(z)=.n-(n)请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t113/8分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3.F分

3、布若X与Y相互独立，且X〜2(n)，丫〜2(m),则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于nmm的F分布，记作Z〜F(n,m),它的分布密度n-ip(z)=z2-(mnz)2,z0nm其他。220,请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z〜F(n,m)时，—〜F(m,n)Z4.t分布与F分布的关系若X〜t(n)，则Y=X〜F(1,n)o证：X〜t(n),X的分布密度P(x)=<2丿2113/812；Y=X2的分布函数FY(y)=P{YVy}=P{X2

4、>0时，Fy(y)=P{-y

5、变量X的分布函数为F（X），实数a满足0入}=1-F（入）=a的数入,双侧a分位数是使P{X<入1}=F（入1）=0.5a的数入仆使P{X>入2}=1-F（入2）=0.5a的数入2。因为1-F（入）=a,F（入）=1-a,所以上侧a分位数入就是1-a分位数X1-a；F（入1）=0.5a,1-F（入2）=0.5a，所以双侧a分位数入1就是0.5a分位数X0.5a,双侧a分位数入2就是1-0.5a分位数X1-0.5a。2）标准正态分布的a分位数记作ua，0

6、.5a分位数记作u0.5a，1-0.5a分位数记作u1-0.5a。P(x)P(x)J£Ox113/8当X〜N(0,1)时，P{XVUa}=Fo,i(Ua)=a,P{X

7、a,P{Xu1-a}=1-F0,1(u1-a)=a,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，ua=-u1-ao例如，u0.10=-u0.90=-1.282,u0.05=-■u0.95=-1.645,u0.01=-■u0.99=-2.326,u0.025=:-u0.975==-1.960,u0.005=-u0.995=-2.576。又因为P{

8、X

9、VUi-o.5a}=1-a，所以标准正态分布的双侧a分位数分别是U1-0.5a和-U1-0.5a。标准正态分布常用的上侧a分位数有：a=0.10,u

10、0.90=1.282;113/8a=0.05,u0.95=1.645;a=0.01,u0.99=2.326;a=0.025,u0.975=1.960;a=0.005,u0.995=2.576。