基于能力考查的数学创新试题的编制研究

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学校编号图书分类号学号密级福建师范大学教育硕士学位论文基于能力考查的数学创新试题的编制研究黄燕华学科专业方向指导教师张胜元申请学位级别论文提交日期年月论文评阅人论文答辩日期年月答辩委员会主席学位授予单位福建师范大学学位授予日期年月日年月 福建师范大学教育硕士学位论文中文摘要本学位论文是研究以能力考查为主的数学创新试题的编制文章从基于能力考查的数学创新试题的基本特征入手,在讲述这类创新试题的编制原则的基础上,重点介绍了以考查数学能力为主要目的的数学创新试题的编制方法文章主要是通过对近几年屡屡出现的颇具有代表性的数学高考创新试题进行归纳分析,以考查数学能力为中心点,以研究性、理解性以及推陈出新这三大类型的创新题的立意、背景、问题等三个方面为立足点来介绍了以考查能力为主的数学创新试题的编制方法特别是对开放性的数学创新试题中的开放型试题、探索型试题、实践型试题作了重点阐述。结果表明数学创新试题的编制如果能够以考查学生的数学能力作为主导思想,那么这个主导思想将为创新试题的命制起了导向的作用,也可以为社会输送更多的能力型的人才,这正是社会发展所需要的关键词中学数学,能力考查型创新题,基本特征,编制原则,编制方法 福建师范大学教育硕士学位论文'一一冲,,,,,,一礴 福建师范大学教育硕士学位论文中文文摘世纪,随着人类社会经济的飞速发展,对具有独立工作能力和良好科学素质,特别是具有创造能力和付诸实现能力的新型人才的需求也越来越多当今时代背景下新的竞争焦点是依靠科技进步发展经济,科技要进步依靠的是高素质的人才,特别是能力型的人才所以可以说各国经济竟争乃至综合国力的竞争,核心是能力型人才的竞争培养具备高素质的能力型人才与受教育的程度是息息相关的就数学教学而言,对学生的能力要求越来越高从近年来各地高考试卷的分析来看以能力为主要考查方向的创新题比重越来越大,在教学中引起了越来越多的重视,比如文献」中重点在于结合历年全国各地高考试卷研究上述三类创新题型的编制问题在考察功能方面,作者阐述了创新题对学习新知能力的考查、对合情推理能力的考查、对数学思想方法灵活运用的考查在文献」中作者探讨了从定义新运算、创设新情境、给出新概念、提供新规则这四个数学创新试题的呈现方式对学生的灵活运用知识的能力、在新的情境下分析和理解问题的能力、理解能力、判断能力、思辨能力和构造能力以及归纳能力、分析和解决问题的能力进行了数学能力的考查在课标理念的引领下,当前的教育注重对学生的综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题等能力培养笔者认为,从课程标准看,数学创新试题,应当突出考查学生的探究能力、创新意识因此从能力考查角度探索数学创新题是有研究意义的因此对能力考查创新题的编制进行系统研究也是一个必须直面的课题在参考文献的基础上,本文拟对从能力考查角度探索数学创新题以及它的编制方法进行探讨主要分成三个部分第一部分是引言,这一部分分析了选题的背景和意义、以考查能力为主的创新试题的编制的研究综述以及本文的研究思路和研究方法等第二部分是本文的正文部分,共分成三章第一章是基于能力考查的数学创新试题的基本特征一是基于能力考查的数学创新题的界定以能力考查为主要指导思想的创新题就是那些“思路设计开阔,情景新颖脱俗并能对学生的学习潜能做有效地考查”的试题这些试题主要是以数学知识为基础,以所提的问题为中心,但是却不局限于单一的知识点,而且能把数学知识、方法、定理融合在一起,引导学生从新颖的信息、情境和设问中获得解题的思路,并能对问题进行合理有效的分析,从而培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力,综合与灵活应用所学的数学知识、思想和方法进行思考、探索和研究问题的能力,最后达到能够创造性地解决问题的目的二是基于能力考查的数学创新题的特征,能力考查型数学创新题具三个特性第一是新颖性,主要体现在试题的题型新、内容新、解法新,要求学生在掌握已有的理论知识的基础上具备获取新信息、学习新知识以及能在此基础上提出新定义、定理、公式,从中发现数学的一般规律的能力内容新,是指在试题中涉及到的内容是中学数学教学内容中没有遇到过的新知识,它可以是新的定义、新的概念、新的规则或新的定理等,要求学生读懂并理解这些新知识所蕴涵的数学规律,然后根据这个新的知识作进一步演算或推理,其目的是考查学生独立获取信息、加工信息、掌握新定义的本质以及利用所学的知识来解决问题的数学学习能力解法新,是把数学各方面知识进行有机结合、衔接自如,达到解法新颖灵乡 第一章基于能力考查的数学创新试题的基本特征活第二是灵活性,要求学生能够根据客观条件的发展与变化,及时改变思维过程,寻找新的途径第三是技巧性三是基于能力考查的数学创新题的考查方式设计新颖题型及问题背景,考查探索创新能力对常规问题进行拓展和演变,考查变通力由形式向非形式化转变,考查数学转化能力创计新背景,考查理解以及综合应用知识的能力第二章是基于能力考查的数学创新试题的编制原则通过编制试题来考核学生的学习情况,检查教师的教育教学情况,是教学过程中很重要的环节之一,因而试题的命制者在命题中必须做到科学、全面、真实、公平,尽量提高命题的质量,使得考试能真正起到促进引导学生学习和改进教师的教学方法以及提高教学效果的作用即通过基于能力考查的数学创新题的编制依据、编制原则、编制的注意事项第三章是基于能力考查的数学创新试题的编制方法作为考查学生的数学创新能力为主要目的的数学创新题,在编制上就应该以能力考查为中心点和立足点,主要是通过近年来全国各地高考试卷中涉及的创新题为主要的例子来阐述三种不同类型创新题在编制方法,以及在编制的过程中是如何考查学生的数学能力的即研究性创新题,这种创新题与研究性学习密切相关,在编制时主要是以开放性、探究性以及实践性的形式呈现出来,着力于考查考生用己掌握的数学知识和方法,去研究、分析、判断、解决问题的能力探究型,探究型试题的编制主要是将创新能力的考查融于数学的基本问题之中,构造具有一定深度和广度的数学问题这种试题注重问题的多样化,体现思维的发散性,考查考生灵活利用基础知识、基本方法、基本技能进行创新的解决基本问题的能力实践型,以鲜活的生活实际作为背景的应用型问题,可以考查学生运用所学数学知识,分析、解决实际问题的实际操作能力实践型的数学创新题就是基于上述能力考查的基础上来编制的第三部分是结论部分从能力考查角度探索数学创新题的编制具有积极的意义数学创新题型的设计已不仅仅是高考专门命题人员的工作,而是素质教育对广大中学教师提出的新的要求中学教师参与创新题型的设计与编制,也不仅仅是为了应付高考,而是通过这种题型的训练,激发兴趣,发展能力,提高素质,而且为数学创新思维的培养推广提供了生动有趣的素材,所以作为在一线工作的中学教师应该在教学的过程中处处留心,积累有助于编制数学创新试题的有用素材,同时把这些宝贵的经验用于教学中,那么将更加有力地推动素质教育的全面开展萝 目录目录中文摘要··························································································……工························································································……工中文文摘··························································································……引言····························································································……第一章基于能力考查的数学创新试题的基本特征··································。····……基于能力考查的数学创新题的界定················································……基于能力考查的数学创新题的特征················································……基于能力考查的数学创新题的考查方式··········································……本章小结·…,··········································································……第二章基于能力考查的数学创新试题的编制原则····································……基于能力考查的数学创新题的编制依据·······································……基于能力考查的数学创新题的编制原则·······································……基于能力考查的数学创新题编制的注意事项·································……本章小结···········……”·……,'·················……“···“··················……第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法··································……研究性创新题········································································……巧理解性创新题········································································……推陈出新题···········································································……本章小结··············································································……参考文献··························································································……福建师范大学学位论文使用授权声明·······································,········,··…`··…致谢·······················································……`································…… 引言引言“创新”二字已经成为时代发展的需要,众所周知,只有不断创新才能持续发展在数学教育领域里,追求创新越来越引起教育学者的重视,可以说在创新方面的研究是百花齐放、硕果累累,特别是作为选拔人才的高考试题年年出新,受到大家的关注高考试题不断地出现新颖的题型,给考生和教育者提供充分的想象、探索和灵活应用知识的活力空间诸如年全国高考第巧题、年上海高考第题、年全国高考新课程卷第题、年北京高考第、福建高考第题、第年四川理科第题、年北京文科第、题、年高考数学试题四川卷理第题等,试题立意新颖,突出创新能力和数学阅读能力,具有“突出能力,着力创新”的特色这与《普通高中数学课程标准》仁〕中要求学生“对新颖的信息、情境和设问,选择有效的方法和手段收集信息,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题”相吻合高考的这一重大变化引起了教育界的专家学者的高度重视,创新题型研究,也引起越来越多一线教师和教育研究者关注各报刊、杂志纷纷出现了一些点评有关于数学创新试题的好文章比如在文献「」中,作者探讨创新题的概念界定,并把创新题分为新背景型、开放型、探究型三类在考察功能方面,作者阐述了创新题对学习新知能力的考查、对合情推理能力的考查、对数学思想方法灵活运用的考查该论文重点在于结合历年全国各地高考试卷研究上述三类创新题型的编制问题在文献【」中作者探讨了从定义新运算、创设新情境、给出新概念、提供新规则这四个数学创新试题的呈现方式对学生的灵活运用知识的能力、在新的情境下分析和理解问题的能力、理解能力、判断能力、思辨能力和构造能力以及归纳能力、分析和解决问题的能力进行了数学能力的考查再比如文献〔〕中,针对数学创新试题的新信息、开放性、探究问题、创设新的情景等主要特点以及创新题对教学的启示进行了探讨其特点也是就高考中出现的创新试题为例来论述其他关于数学创新研究方面的文献如文献〔〕中也提出了许多不同的观点,表现出仁者见仁、智者见智,可以说是各抒已见这些文献资料大都是围绕对创新题的类型为切入点来展开论述的,而且概括的也不全面所以笔者认为对创新题的比较全面的概括以及更进一步的研究还是很有必要的虽然对数学创新试题的研究层出不穷,但是对数学创新试题的编制还没有形成比较一致的界定,缺乏一定的科学依据从《高考考纲》、《普通高中数学课程标准》对学生能力的要求为依据,以历年高考创新题为素材,对各文献的研究成果进行归纳分析总结的基础上,笔者认为从考查学生能力为切入点研究创新题型,更能体现创新题的编制意义,更能充分培养学生的创新精神和实践能力,培养学生自主的、开放的学习形成能力符合新的课程标准更能发挥数学科考试的区分选拔功能和对中学数学教学的积极的导向作用而且对于创新试题的难度的控制也是值得研究的下面,笔者就针对如何既能适应学生能力水平,又能充分发挥、培养学生的灵活应用能力、探究能力和创新意识的能力入手,从基于能力考查的数学创新试题的基本特征、编制原则、编制方法三章对创新试题的编制研究进行探讨论述第一章主要论述了基于能力考查的数学创新题的界定、特征、考查方式通过历年` 福建师范大学教育硕士学位论文出现的高考创新试题对新颖性、灵活性、技巧性三个特征进行分析第二章是通过编制依据、编制原则、编制的注意事项来说明基于能力考查的数学创新题的编制的理论依据第三点的注意事项主要是围绕创新题的难度的控制来进行论述的第三章是在前两章的论述的基础上对研究性、理解性、推陈出新这三大类数学创新试题的编制方法进行研究探讨 第一章基于能力考查的数学创新试题的基本特征第一章基于能力考查的数学创新试题的基本特征基于能力考查的数学创新试题的界定对于一般的数学能力,按照通常的提法主要有数学运算能力,空间想象能力和逻辑思维能力这种提法虽然具有比较强的概括性,但是自从高考命题出现以“能力立意”为主要宗旨后,对数学能力的理解己经是多种多样了,对数学能力的考查方式也是推陈出新那么数学创新试题作为考查数学能力的一个载体,到目前为止,还是没有一些权威机构对其做出比较准确的界定纵观历年高考试题的命题特点,可以看出以能力考查为主要指导思想的创新题就是那些“思路设计开阔,情景新颖脱俗并能对学生的学习潜能做有效地考查”的试题这些试题主要是以数学知识为基础,以所提的问题为中心,但是却不局限于单一的知识点,而且能把数学知识、方法、定理融合在一起,引导学生从新颖的信息、情境和设问中获得解题的思路,并能对问题进行合理有效的分析,从而培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力,综合与灵活应用所学的数学知识、思想和方法进行思考、探索和研究问题的能力,最后达到能够创造性地解决问题的目的归纳起来主要有以下几点能力考查学习新知识的能力提出新定义、定理、公式,从中发现数学规律的能力变化条件或结论来推广现有数学结论的能力能够把数学知识应用到各个学科领域中的能力巧妙地进行逻辑联接作出严密论证的能力基于能力考查的数学创新试题的特征基于能力考查创新题的界定,能力考查型数学创新题具有下列三个特性新颖性新颖性主要体现在试题的题型新、内容新、解法新,要求学生在掌握己有的理论知识的基础上具备获取新信息、学习新知识以及能在此基础上提出新定义、定理、公式,从中发现数学的一般规律的能力一题型新【例】年高考数学理科江苏卷设和刀为不重合的两个平面,给出下列命题若内的两条相交直线分别平行于刀内的两条直线,则。平行于刀若外一条直线与内的一条直线平行,则和。平行设和刀相交于直线,若内有一条直线垂直于,则和刀垂直直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直上面命题中,真命题的序号写出所有真命题的序号【解析考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行的判定定理真命题的序号是评注本题题型新颖,传统里的选择题都是单选题,而这里却是以多选的填空题的形式呈现出来,在试题的题型方面具有一定的创新性。要求学生具备阅读理解能力以及综合应用所学的数学知识的能力【例】年高考数学理科海南卷为了测量两山顶,间的距离,飞机沿水平方向在,两点进行测量,,,,在同一个铅垂平面内如示意图,飞 第一章基于能力考查的数学创新题的基本特征机能够测量的数据有俯角和,间的距离,请设计一个方案,包括①指出需要测量的数据用字母表示,并在图中标出②用文字和公式写出计算,间的距离的步骤解方案一①需要测量的数据有点到,点的俯角,戏点到,的俯角,八,的距离如图所示“②先计算根据正弦定理二,气'几接着计算根据正弦定理二八一戏'最后计算根据余弦定理了,,一,一八方案二①需要测量的数据有点到,点的俯角,,八点到,点的府角,几,的距离如图所示马②先计算根据正弦定理刀材二,“'戊接着计算根据正弦定理刀万二八一八'最后计算根据余弦定理人石二寸刀材',一又几。评注本题题型的新颖性表现在设计时避免了应用常规思路,即不直接从微观的角度考查三角形知识的基础面,而是从三角形知识的实际应用着手,从宏观的角度考查这一部分知识在实际操作方面的应用,更加具有实用价值这种类型的试题有助于学生在学习过程中拓展思路、提高总结能力和实际操作的能力二内容新内容新是指在试题中涉及到的内容是中学数学教学内容中没有遇到过的新知识,它可以是新的定义、新的概念、新的规则或新的定理等,要求学生读懂并理解这些新知识所蕴涵的数学规律,然后根据这个新的知识作进一步演算或推理,其目的是考查学生 第一章基于能力考查的数学创新试题的基本特征独立获取信息、加工信息、掌握新定义的本质以及利用所学的知识来解决问题的数学学习能力【例年高考理科数学北京卷设是整数集的一个非空子集,对于,如果一必且必,那么是的一个“孤立元”,给定,,,,,,,,,由的个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有个【解析】依题意可知,“孤立元”必须是没有与相邻的元素,那么无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素因此,符合题意的集合是,,,,,,,,,,,,,,,,,共个评注本题出现了中学数学教学内容中没有的新知识,主要考查集合的有关知识,这种题型关键是掌握新定义的本质,遵循新定义的法则,向已有的知识进行转化,即可求解三解法新【例】年高考理科数学四川卷设是己知平面上所有向量的集合,对于映射,舀。,记云的象为句若映射满足对所有云,石。及任意实数兄,产都有兄产二兄十产,则称为平面上的线性变换现有下列命题①设是平面上的线性变换,则伪②对任设,则是平面上的线性变换③若石是平面上的单位向量,对云。设句云一石,则是平面上的线性变换④设是平面上的线性变换,云,石。,若云,石共线,则句,刃也共线。其中真命题是写出所有真命题的序号解析令云石二,兄产二,则井,所以①正确由石产孙石洒,兄句产习二厉筋石刀习,即兄声兄声,所以②正确由兄石刀习二石产石一若,兄句十声孙二石一石刀石一石,即兄产笋元产,所以③不正确由石兄云,云一筋二句一兄习冷刃兄石,即句,石也共线,所以④正确评注本题是把高等数学知识中的线性变换的相关知识与高中数学中的向量进行有机结合的新颖题,它们衔接自如,设计巧妙,解法新颖灵活灵活性灵活性是指能够根据客观条件的发展与变化,及时改变思维过程,寻找新的途径要求学生把隐藏在问题情境中的数学本质挖掘出来,培养学生综合运用己学知识解答数学问题的能力【例】年高考数学理科江西卷数列气的通项汀。''—一其前项和为 第一章基于能力考查的数学创新题的基本特征求凡。求数列气的前项和兀”汀月万月兀解由于—一丁一“了一,又、…、一、一,一—,“、一—,`、…一—一、一,`'`'一二——十…—一凡一凡一、一一又一二凡一一二卞,—一一一凡二一才厂、刀二一'一一一任,刀瓦一车二些丝刀·“·`一告替【二罕,一合,·等··…罕,,两式相减得`,一,`一…,,二一一一一—二一一二,,一一,一一生“一`一'`”刀毛二重一评注本例题中的递推数列不是等差数列,也不是等比数列,一也不可化归为等差或等比数列来求解本题是对常见数列问题的推广和延伸,在运用与等差及等比数列类似知识、方法解答时,是不能机械效仿的,而必须采用灵活,变通的方法,技巧性例设集合和都是自然数集合,映射峥把集合中的元素映射 第一章基于能力考查的数学创新试题的基本特征到集合中的元素,则在映射下,像的原像是简解二,取特殊值,则满足该方程,故选评注对于超越方程”二是不能用常规的解方程的方法来求解,而是要通过取特殊值的方法来探索求解本题的解法具有一定的技巧性基于能力考查的数学创新题的考查方式设计新颖题型及问题背景,考查探索创新能力【例】年高考数学文科安徽卷设函数少二一,一的图像可能是【解析】由己知二一,一的两个零解为、一和二从图形可以看出当时,…当时,则,当时,则选本题要完整作出·一。,一的的图像,对于处在高中阶段的学生来说是不可能的,因而属于非常规问题,但这种试题也有特殊的方法即只要求对图象中的一部分进行考虑,所以只要对局部的图形做分析比较就能够得出正确答案本题考查了学生运用特殊化方法和综合运用知识进行探索的能力以及部分地解决问题的能力对常规问题进行拓展和演变,考查变通力汀汀、例已知且,其中任,则关于。的值,“任又一百,创以下个答案中,可能正确的是一一乙或一或一生解注朴题是将一道传统试题中的。。。亚的亚改为,并保留了俪一一丫,二二、,,,人、',,、,,,、二、,`,之拼的·大于而小于的特点,此时如果个选项也都是与有关的式子,则本题就体一”一一'一'一”一一”一”、,··一·一现不出它的创新价值,经过修改以后其最大的创新是四个选项都是与无关的常数,从原题的确定性的解答变为对改装题的探索性的尝试把一道常规的三角解答题拓展成一道非常规的探索性求解题,重在考查学生的变通力以及探索知识之间的联系能力 第一章基于能力考查的数学创新题的基本特征由形式向非形式化转变,考查数学转化能力【例】年高考数学理科江苏卷按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为。元,如果他卖出该产品的单价为元,则他的满意度为望一如阴果他买进该产品的单价为。元,则他的满意度为一竺如果一个人对两种交易卖出或买刀进的满意度分别为气和气,则他对这两种交易的综合满意度为了石可现假设甲生产、两种产品的单件成本分别为元和元,乙生产、两种产品的单件成本分别为元和元,设产品、的单价分别为,元和。元,甲买进与卖出的综合满意度为梅,乙卖出与买进的综合满意度为气求瓜和凡关于,、。的表达式当月互。时,求证瓜凡一“一“”一“、,,,、、,,,,一`、一,,,设力导二,当、。分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大最大的”“一一综合满意度为多少记中最大的综合满意度为戈,试问能否适当选取,、,的值,使得梅之凡和气之气同时成立,但等号不同时成立试说明理由注脚。月刀解析阵一冬二,愧刀。,,。,气。【,`,。。,』气一力︸口、一一﹂口二一一,以、︸当一蚤·”,、,。,一脚。。。气”,八、一一一丁一一一二二二,梅气州。乙《嫩。乃脚。艺`门,、口产、口了一脚。又,八乙、白、,二一。盯,刀阵,。、,`、`,、。—咬—、—一之勺—丑刀召刀一出。任,勺,得,口—任—,一,,一一故兰——民脚。,份一时,刀俪甲乙两人同时取到最大的综合满意度为方法一由知气亚 第一章基于能力考查的数学创新试题的基本特征月俪,。由梅之凡—伶舰,望旦丝互,,,,令三一二,三滋口一,,贝。、,。粤【斗,〕,。。夕粤俪,。同理,由气气—仔二乙另一方面,、任下,、任艺,匕,、〔。丁,艺,又之二,一白、,丑。仪白、,,二,即。。刀二盯,,联寺亏乙所以不能适当选取,、刀的值,使得阵之气和气全气同时成立,但等号不同时成立。评注本题以市场经济为背景的应用题,提供的材料非结构化、非形式化考查学生考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力等数学转化能力创设新背景,考查理解以及综合应用知识的能力在命制数学创新题时,往往通过改变常见问题的背景条件、创设新颖的背景来考查学生的理解能力例年高考数学文科四川卷设矩形的长为,宽为,其比满天。已口,—万一翔吕这种矩形给人以美感,称为黄金矩形黄金矩形常应用于工艺品设计中下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本甲批次乙批次根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值比较,正确结论是甲批次的总体平均数与标准值更接近乙批次的总体平均数与标准值更接近两个批次总体平均数与标准值接近程度相同两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定解注用以上各数据与或的差进行计算,以减少计算量,答案为本题设置了常应用于工艺品设计中的黄金矩形为新颖的背景,又与数学中的统计知识联系密切,主要是考查学生通过阅读题干中所提供的信息,从而利用所学的统计知识来解决问题的能力本章小结文献〔叼从探索能力、变通力和综合应用能力等主要方面来阐述数学创新试题的考查方式,从中体现出数学创新试题的特点本章通过数学创新试题的界定、考查方式来体现出数学创新试题的新颖性、灵活性和技巧性三个基本特征,特别是从题型新、内容新以及解法新三个方面体现出创新试题的新颖性。 第二章基于能力考查数学创新试题的编制原则第二章基于能力考查的数学创新试题的编制原则通过编制试题来考核学生的学习情况,检查教师的教育教学情况,是教学过程中很重要的环节之一,因而试题的命制者在命题中必须做到科学、全面、真实、公平,尽量提高命题的质量,使得考试能真正起到促进引导学生学习和改进教师的教学方法以及提高教学效果的作用基于能力考查数学创新题的编制依据近年来数学试题的命制始终贯彻“在考查基础知识的同时,注重对能力考查”的原则在考查学生对基础知识、基本技能、基本数学思想和方法的掌握程度的同时,注重对学生的数学思维能力、计算能力、空间想象能力、数学应用的实践能力特别是数学创新能力的考查同时还要兼顾试题的基础性、综合性和现实性的有机结合,重视试题的层次性,合理调控综合程度,关键的是数学试题不要刻意追求知识的覆盖面的多少在编制过程中主要以下面三个方面为依据。以《课标》为依据《数学课程标准》明确指出义务教育阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展它不仅要考虑数学本身所具有的特点,更重要的是要遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生己有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学知识理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面也能够得到进步和发展能力的要求已经引起了社会各界的越来越多的重视因此,我们要充分注意学生各种数学创新能力的培养与训练,以《考试大纲》为依据《考试大纲》指出“既要重视考查数学基础知识的掌握程度,又要注意考查进入高校继续学习的潜能”,贯彻“总体保持稳定,深化能力立意,积极改革创新”的指导思想能力型的人才已经成为社会发展的需要从教学大纲和考试大纲可以看出新增的数学内容在高考中的要求绝对不是简单复制数学知识,而是趋向于对学生的数学能力,特别是数学创新能力的考查回顾近几年的新课程数学高考试卷,很多都是通过新增知识与传统知识的有机结合来进行数学能力的考查所以数学试题的编制要依据遵照教育部考试中心编制的《考试大纲》这个大前提,其考核要求也要与《考试大纲》基本吻合而且依据考试大纲编制试题,构成数学试卷,这样就可以做到编制试题时有纲可依,也可以使数学试题不受少数命题人员或教育行政部门的一些工作人员的个人意志所左右以相应的教材为参考依据自年教育部率先在广东、山东、宁夏、海南等省自治区推行普通高中新寸介卜课程实验以来,全国高中数学教科书版本发生了很大的变化,其中在全国应用比较广泛的有四种一是人教版,就是由人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教课书二是北师大版三是江苏教育版四是西南师范版因为各个省、地区所使用的教材不同,所以在编制试题时要根据考试对象所学习的教材版本的不同来编制不同的试题,做到有的放矢,使得学生的数学能力能够得以最大程度的发挥 第二章基于能力考查数学创新试题的编制原则能力考查型数学创新题的编制原则编制原则亦即命题原则,它是编拟试题、组成试卷时所应遵循的行为准则基于能力考查的创新题是一种独立的题型,在编制时主要要掌握以下几个原则基础性原则基础性原则要求的是命题者应严格按照考试大纲中所规定的数学知识范围来确定具体题目所涉及的考查目标,简言之就是要切合学生的实际情况考核层次应以教材中对该类问题的讲解水平为度,重点考核考生在具体的问题情景下知识与技能的迁移及创造性应用能力关注学习者情感、态度与价值观等非智力因素,鼓励考生的创新精神梯度原则《考纲》指出考题要符合学生的认识规律,由浅入深,拾级而上,逐步提高让每个学生都能得到不同程度的发展创新试题的编制也是如此难度要一层一层地深入要让学生在审题的过程中能够找到解题的切入点,进而层层突破,要让大部分的学生通过解答创新题而使其数学创新能力得到锻炼,创新题的考查价值才得以真正的体现创新原则题目的编制要求其本身要有助于学生经历观察、理解、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点,在编制创新试题时可以从各个方面来创新,比如题型、解法、题目的背景、条件或者所提的问题,以此来从各个角度考查学生的数学创新能力还要从教学内容和学生基础等方面去考虑如何创新,克服不从客观实际出发的主观主义和形式主义的做法,做到有的放矢即对同一知识点,应尽可能采用不同的角度、不同的方式设计题目,使学生的思维能处于一个动态的过程之中,逐渐培养学生的各种创新能力能力考查型数学创新题编制的注意事项由于数学创新试题是一个新出现的题型,对于它的编制既要保留一些原有的数学试题的风格,有要具有一定的创新性,但是新鲜的产物往往会有一些还需要去改进的地方,对于创新试题也不例外,在编制时更需要注意它的各个方面的体现价值我觉的数学创新题型的设计应考虑以下几个注意点一一是注意激发学生具有创造性的思维活动与人们常规的、正向的思维顺序相反的一种思维方式叫做逆向思维,其实质就是一种发散的思维而发散思维的培养是培养创新意识和创新能力的重要手段只有突破常规才能形成创新,才能激发学生的创造性思维,逆向思维则是突破常规的一条很好的途径可以通过逆用公式、逆用法则、逆用命题、举反例、反证法等等途径来实现二是注意挖掘出重要的数学思想方法将常规问题进行推广或引申,在这个过程中其思维是发散的、其过程是探索性的、其成果是具有创造性的丫这种题目要求学生能够从题目所给的信息中挖掘出所学的类似知识和数学思想方法,而且在解题的过程中不能机械效仿,而是要在原来知识、方法的基础上通过灵活、变通来解决问题三是注意与大多数学生的能力水平相适应试题的创新目的是加快提高学生的思维能力水平,然而学生接受新知识的一般规律是在旧知识的基础上接受新知识的,是在已有的经验的基础上对所学新知识进行迁移影 第二章基于能力考查数学创新试题的编制原则响这是因为新旧知识之间是有内在联系的,而且对创新题的难度系数难以控制因此对创新题的难度的控制是一项极为重要同时也是非常困难的工作在编制创新题的过程中,一方面要积极探索,大胆实践,同时应进一步研究试题的稳定与创新的关系,处理好试题创新与试题难度的关系,体现出“新题不难,难题不怪”的特点编制创新题不仅要切合高中的数学教学实际,还要与大多数学生的能力水平相适应笔者认为可以从控制计算量、阅读量、试题的取材背景、以及学生对试题的适应程度等主要方面来有效地控制试题的难度虽然计算能力是数学能力的一个重要的组成部分,但是创新题还是应该控制其计算量,过于繁琐的计算只会打击学生解题的自信心,过难过繁的计算消耗学生的时间和精力,将会影响对基本概念、方法和其他实践能力的考查比如年高考数学福建卷理的第题已知函数工''十且,一一。试用含的代数式表示,并求的单调区间令一,设函数在,处取得极值,记点,,,,,,,,请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势,并解释以下问题若对任意的“,,线段与曲线均有异于,的公共点,试确定的最小值,并证明你的结论若存在点,,`,使得线段与曲线有异于、的公共点,请直接写出的取值范围不必给出求解过程本题主要考查函数、导数等基础知识的综合应用,属于探讨创新题本题难度较大,平均得分分第一问,有一定基础的学生求导一般能求出,但是因式分解不过关,被卡住了,仅得分第二问,难度大,综合性强,全省没有得满分的考生,得分率才对学生的计算能力有较高的要求,即使对解题方法掌握的同学也会由于计算的过于繁杂而得分不高笔者认为阅读量过多是学生得分率不高的另外一个很重要原因,一又如年石家庄市模拟试题定义,,,分别对应下列图形山曰母③回④①②那么下列图形中回巾回可以表示,的分别是 第二章基于能力考查数学创新试题的编制原则通过观察可得“”对应“”对应“—”对应“口”对应,故选本题看似新颖,但从考查功能上看只单纯的考查了学生识图辨别能力及观察能力,与数学知识点本身没有多大关联,这是编题者在编题过程中,因过分注重创新性导致脱离学科知识因此创新试题的取材背景要贴近课本、贴近学生生活实际,有效地控制试题的难度,切合我国中学数学教学的实际,为大部分学生所接受本章小结本章阐述创新试题的编制依据,从基础性、梯度以及创新等三个方面说明数学创新试题的编制原则,并分析数学创新试题编制的有关注意事项,特别是从控制计算量、阅读量、试题的取材背景、以及学生对试题的适应程度等方面来有效地控制创新试题的难度 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法在近几年的数学学科《考试说明》中反复强调命题中坚持能力立意的指导思想能力立意命题就是首先确定试题在能力方面为考查的目的,然后根据能力考查的要求,选择适当的数学内容,设计恰当的设问方式将试题呈现出来作为考查学生的数学创新能力为主要目的的数学创新题,在文献〔」中,作者阐述了创新题对学习新知能力的考查、对合情推理能力的考查、对数学思想方法灵活运用的考查重点研究新背景型、开放型、探究型这三类创新题型的编制问题其在编制上就体现出了以能力考查为中心点和立足点下面笔者将以近年全国各地高考试卷中涉及的创新题为主要的例子来进一步阐述三种不同类型创新题在编制方法,以及在编制的过程中是如何考查学生的数学能力的研究性创新题这种创新题与研究性学习密切相关,在编制时主要是以开放性、探究性以及实践性的形式呈现出来,着力于考查考生用己掌握的数学知识和方法,去研究、分析、判断、解决问题的能力开放型一是以一定的知识结构为依托,从知识网络的交汇点寻找编制试题的切入点面对实际问题情景,学生可以分析理解问题情景,根据自己的理解构造具体的数学问题,然后尝试求解形成的数学问题并完成解答【例年高考数学理科湖北卷如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行,若用,和分别表示椭圆轨道工和的焦距,用和分别表示椭圆轨道工和的长轴的长,给出下列式子①,一②,一,。一。。。卜。,④丘代一气几其中正确式子的序号是①③②③①④②④解由题意知,卜,卜几,故①错误对于轨道有卜,一。,对于轨道有卜一几所以一,一故②正确扮、于'之一·一一,卜鱼二丘代…丘卜丘即卜从而③正确,④错误评注以一定的知识为试题背景,编制出开放题,主要考查学生的建模能力和应用 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法数学知识解决实际问题的能力二是从封闭题出发引申出开放题平时我们所接触到的习题大多是具有完备的条件和确定的答案,我们把它称为封闭题,在编制试题时如果能够做到在原有封闭性问题的基础上,使学生的思维向纵深发展,发散开去,启发学生有独创性的理解,这样就有可能使封闭题引申出开放题在研究性学习中首先呈现给学生封闭题,解答完之后,进一步引导学生进行探究,如探究更一般的结论,探究更多的情形,或探究该结论成立的其它条件等,这就是编制此类试题的方法例】年上海高考题命题底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱椎是正三棱椎命题的等价命题可以是底面为正三角形,且的三棱椎是正三棱椎解只要能找到与“顶点在底面的射影为底面中心”的等价条件即可,如①侧棱相等②侧棱与底面所成的角相等③侧棱在底面的射影相等评注本题是一道条件开放题,只要寻找其成立的一个充分条件即可对学生来说这种题目具有较大的自由度,从而就有较大的思维空间【例】年上海第题已知函数定义域为,值域为有反函数少一,,则方程厂二。有解二。,且小二二。川的充要条件是,二一`满足分析本题结论开放,答案不唯一根据反函数的知识,从代数方程、不等式、符号角度考虑,可得充要条件为广,。,且卜。刃·从函数与反函数图象的几何角度考虑,可得充要条件为一,的图象在直线的下方,且与轴的交点为,等评注编制结论开放的开放型试题一般有两个方法一是从结论出发来探求结论成立的条件是否具备二是从题设条件出发考证可能的结论成立的理由是否充分,不管选择哪种方法,用意都是考查学生较高的数学理性思维能力,并能根据题目的不同特征,习惯性的使用直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等对题目进行剖析【例】年高考福建卷把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题若函数。的图象与的图象关于二对称,则函数注填上你认为可以成为真命题的一件情形即可,不必考虑所有可能的情形评注本题是条件开放,结论也开放要求考生能根据所填的对称问题寻求相应的答案,对考生发散思维的要求较高【例年高考数学理科试题四川卷如图,正方形所在平面与平面四边形五刀石尸所在平面互相垂直兮是等腰直角三角形,,,创二`求证万尸上平面工设线段的中点为尸,在直线上是否存在一点,使得尸材平面若存在,请指出点的位置,并证明你的结论若不存在,请说明理由 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法工工工求二面角一刀一的大小。本题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识,考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识,考察应用向量知识解决数学问题的能力解法一一因为平面一平面,二平,平面平面二,所以平面所以上石厂因为剑为等腰直角三角形,二,所以乙咬五万二。又因为乙搜万尸二。,所以尸石刀''',即万尸上刀万,所以五尸上平面存在点,当为线段的中点时,平面。。“二、、,、、一二、,、甲。,,,,且又匕匕阴甲息仪,〕生」安八刊,刊,则到二一万刀二尸所以为平行四边形,所以因为在平面内,不在平面内,所以平面由一,平面土平面,易知,一平面作一,交的延长线于,则从而,上平面作于,连结,则由三垂线定理知,一因此,艺为二面角一一的平面角因为二,了二“,所以艺“,艺设,,则,二,二万之二·立在■中,艺“,二工万万互在■中,二兰二返万 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法故二面角一一的大刁、为。。鱼解法二因为■为等腰直角三角形,,所以又因为平面上平面,〔平面,平面平面,所以一平面所以一因此,,,两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系一设,则,,,,,,,,,,,,因为,乙',所以乙“从而,,一合,合·所以万一,一告,合,丽一”,一,``,死·,。,。·丽。丽生一生一厅。丽二所以土,土因为平面,所以土平面一一,一日︵从而尸材二一、,、于是尸材·二一,一一,一·,一一,一一一所以一,又一平面,直线不在平面内,故平面设平面的一个法向量为不,并设不,,一,`、一、刀,一,,刀尸一二立``乓一伙一一一刀一、认日门曰尸刀厂一去,则,,从伙,, 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法取平面的一个法向量为蔺,,不,动补梁二牛一咨丁一擎而伙·一一小自又`一曰用`厂。一廿一八二阴、人一小一刀,—抓评注本题有多种解题方法,可以用几何法也可以用空间向量的方法比较起来两者都有它自己的优缺点几何法过程比较简单,而向量法却是方法简单,计算量很大三是为体现或重现某一数学方法编制开放题【例】年高考数学理科试题江苏卷在平面上,若两个正三角形的边长的比为,则它们的面积比为,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为,则它们的体积比为本题答案为分析本题以平面几何的知识类比到空间几何的知识中去,这是解立体几何的常用的方法把类比的这种数学方法隐藏在题目中,以此为着眼点来编制开放题,考查学生应用数学思想方法解题的能力四是以实际问题为背景,体现数学的应用价值编制开放题在数学的实际应用问题中,问题的条件往往不能完全确定下来,即条件的不确定性可能是因为实际的需要,它的不确定性是合乎常理的例如第届国际数学教育心理会议的公开课上有一个题“在一块矩形地块上,欲辟出一部分作为花坛,要使花坛的面积为矩形面积的一半,请给出你的设计”这是一道数学界公认的开放题,花圃的图案形状没有确定性的要求,对它的形状解题者可以进行任何丰富的想象,这样几何图形的应用也得到充分的展示,这种以生活中的实际问题为背景编制的开放题往往有趣而富有吸引力总之,以生活实际问题为背景编制出设计类型的开放题,可以培养学生数学创新精神和生活实践能力探究型探究型试题的编制主要是将创新能力的考查融于数学的基本问题之中,构造具有一定深度和广度的数学问题这种试题注重问题的多样化,体现思维的发散性,考查考生灵活利用基础知识、基本方法、基本技能进行创新的解决基本问题的能力一、基于考查学生归纳、类比、联想、推广等数学思维方法编制试题类比法是通过两个特殊对象的比较,从而作出其中一个特殊对象的结论的编制试题的方法由于由此得到的结论具有或然性,因此,所得新题必须经过严格的推敲推广法是扩大题目条件中有关对象的范围,或扩大结论的范围从而编制试题的方法类比、推广与数学思想、数学方法融和,再结合知识的交汇点命题,深化了对学生的各种数学能力和素质的考查【例】年高考数学文科浙江卷设等差数列。的前项和为,则 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法凡,凡一凡,凡一,又。一成等差数列类比以上结论有设等比数列戈的前。项`一,、。,一,积为兀,则一卫烦又城导仁乙双夕不兀几【解析】对于等比数列,通过类比,有等比数列戈的前刀项积为兀,则兀兀'几厂`。二、,,一三二刁乏又寺仁匕致夕不例就是基于考查学生的类比的思想方法为主要目的来编制试题,是一类创新试题,此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力【例】年高考数学理科上海卷己知两个圆,夕,①与,一,②,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程,将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为命题的推广是数学创造力的前沿哨所、数学创新问题的最高境界,也是培养创新意识的最后归宿可以培养学生的观察、分析、猜测、概括、表述等创造性的思维的能力例就是建立在这个基础上来编制试题的二、基于考查学生发现数学规律的能力来编制试题发现法是培养学生数学创新能力的一种非常重要的方法例年高考数学理科湖南卷将正乙分割成,任个全等的小正三角形图,图分别给出了,的情形,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于乙的三遍及平行于某边的任一直线上的数当数的个数不少于时都分别一次成等差数列,若顶点,,处的三个数互不相同且和为,记所有顶点上的数之和为,则有,,…,创可沙图解析当时如图所示分别设各顶点的数用小另义〔介写字母表示,,夕一夕,一,夕,少 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法戈夕,曰一一参贝二一而厂、一。,十。二二,,、,、,,十生工一““'“““'`一所以二由上知、、、中分别有三个数,个数,个数、个数相加,若一中有一,卜个数相加,则八中就有气一,个数相力口,又因为二且,,卜警·,·鲁,,`卜,,卜鲁,…可得厂了一,卜粤因此·,一,`·粤一`,卜粤·苦些竺旦里、一—十一十—十一十一十一·会二,二【例】年广东高考卷在德国不莱梅举行的第届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第堆只有层,就个球第、、、…堆最底层第层分别按图所示方式固定摆放,从第层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第堆第层就放一个乒乓球,以表示第堆的乒乓球总数,则二,答案用表示、盈鑫解析设第堆从上而下第层乒乓球的个数为气,易得,几二,气二,…,气,,,…,,。,所以有气气一气,气一,一气…一,,一…·'··,··一、合〔`··……,·…,,、…。,工「工。。、、工。,、。、、二丝竺丛竺且,一、`、'、`」评述本题是一类递推型数列创新题,求解的关键是通过观察特殊情形发现”与”一`之间的变化规律,在考查特例的基础上,总结出题干中所隐含的数列的一般性规律,进而用递推型数列的有关性质,方法来解决问题 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法【例】年高考数学文科湖北卷”古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如……心口自`图,他们研究过图中的,,,,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数类似地,称图中的,,,二这样的数成为正方形数下列数中及时三角形数又是正方形数的是解析】由图形可得三角形数构成的数列通项同理可得正方形数构成“”苦`”`,的数列通项瓦矿,则由久矿。从可排除、,又由。一粤。知。必为奇数故选评注此题以古代文明为背景,具有浓郁的时代气息,巧妙的构思、独特的设计,新颖的情境,考生对此既觉得是已见过的熟悉的材料又感到它的新鲜性,有利于考查考生的能力水平本题堪称年高考试题之精华三、基于考查学生数学建模能力来编制命题数学建模是数学的思想方法中的一种,它是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻划并解决实际问题的一种强有力的数学手段数学建模可以培养学生应用数学对问题进行分析、推理、论证和运算的能力数学建模体现了用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力可以考查学生独立查找文献进行自学的能力以及组织、协调和管理的能力,学生如果具备这种能力那么在后续学生和生活中将受益无穷应用数学建模解决实际问题可以提高学生的学习兴趣编制这类试题要从以下几方面考虑一是要有很强的实际背景,注意从实际生产、生活和科研中去挖掘题材二是要能激发学生的创造性思维,给学生留下足够的思考空间三是命题的难度要适合大部分的学生,必须具有严密的语言叙述和逻辑关系例年江西高考卷,」奋一”一'一一”一请您设计一个帐篷它下部的形状是高为的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为的正六棱锥如右图所示试问 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大本题是有关于最优化的数学应用题,关键是要根据中学己经学过的求最值的数学模型一元二次函数、三角函数、均值不等式、导数等选择一个最简单、准确的数学模型来解题高考命题创新本着与时俱进的原则,在设置问题时力求背景新颖并富有时代感以社会热点以及时事为背景来设置相关的应用题【例】年高考文科上海卷在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续天,每天新增疑似病例不超过人”根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是甲地总体均值为,中位数为乙地总体均值为,总体方差大于丙地中位数为,众数为丁地总体均值为,总体方差为【解析】根据题目所提供的信息可知,连续天内,每天的新增疑似病例不能有超过的数,选项中,中位数为,可能存在大于的数同理,在选项中也有可能选项中的总体方差大于,叙述不明确,如果数目太大,也有可能存在大于的数选项中,根据方差公式,如果有大于的数存在,那么方差不会为,故答案选【例】年高考理数学湖南卷在一个特《峨娜定时段内,以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域点正北海里处有一个雷达观测站某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东'且与点相距扼海里的位置,经过分钟又测得该船已行驶到、`。,、」,。,廿、。俪。。、。、`铭八刁乙栩尔斗十口气岁安甲口二—,口夕夕归`匀点相距护西海里的位置工求该船的行驶速度单位海里小时工工若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域,并说明理由解如图,万,而,匕。,。。鱼出二丁,八。口。夕。,牌`代以卜、厂一万叹—雳刃一—俪一一由余弦定理得了梦口一·、石 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法所以船的行驶速度为万一二万海里小时工工解法一如图所示,以为原点建立平面直角坐标系,设点、的坐标分别是,,,,与轴的交点为一万由题设有,二,二一连上八乓二匕侧沥。。一夕,夕匕以沥。一所以过点、的直线的斜率二,直线的方程为二一又点,一到直线的距离写豁翌一拉所以船会进入警戒水域解法二如图所示,设直线与的延长线相交于点在■中,由余弦定理得,一乙搜·,,一,俪扼义石'从而。姗。一币兀石歹云,丽一`巨亚在剑中,由正弦定理得,几、叹一—入力。乙,月,万。七。一下扼一一一卫下」竺尸`份,八'一乙咬丫——由于二,所以点位于点和点之间,且一过点作上于点,则为点到直线的距离在■口尸万中,·匕·创·。一创 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法、五气石、所以船会进入警戒水域解注例和例两个例题都是要建立相应的数学模型来解题,例要建立排列、组合的数学模型,例与物理学科的知识相结合,需要通过建立解三角形的知识的数学模型来解题实践型以鲜活的生活实际作为背景的应用型问题,可以考查学生运用所学数学知识,分析、解决实际问题的实际操作能力实践型的数学创新题就是基于上述能力考查的基础上来编制的【例】年高考数学文科浙江卷某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价表如下高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量高峰电价低谷月用电量低谷电价单位单位千瓦时单位元千瓦时单位千瓦时元千瓦时及以下的部分及以下的部分超过至的超过至的部分部分超过的部分超过的部分若某家庭月份的高峰时间段用电量为千瓦时,低谷时间段用电量为千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元用数字作答【解析】应付的电费由二部分组成,高峰部分为低峰部分为,这二部分之和为就是所要求的答案评注本题的背景是有关于生活中的实际问题,颇有探究价值通过对实际生活中的电费的计算,除了考查函数的概念,更侧重的是考查了分段函数的应用,而且对题干的理解能力和运算能力也有较高的要求【例】年高考数学理科浙江卷设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿轴跳动,每次向正方向或负方向跳个单位,经过次跳动质点落在点,允许重复过此点处,则质点不同的运动方法共有种用数字作答本题是一个实际操作的应用题型,能够增强学生动手操作能力,又能考查学生的探究性活动的能力,活动的最大作用是有利于创新,这是现代教学的基本要求,也是新课程标准的一个亮点理解性创新题基于考查学生理解并独立获取信息、加工信息的学习能力来编制试题编制这种试题时,题干涉及到了新的信息,如新概念、新符号、新的定理或法则等,要求学生读懂并理解,然后根据这个新的知识作进一不演算或推理,其目的是考查学生独立获取信息、加工信息的学习能力 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法例年高考数学理科北京卷点尸在直线二一上,若存在过的直线交抛物线二扩于,两点,且,则称点尸为“沼'点”,那么下列结论中正确的是直线上的所有点都是“点”直线上仅有有限个点是“沼点”直线上的所有点都不是“才点”直线上有无穷多个点点不是所有的点是“沼点”解注本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力属于创新题型本题采作数形结合法易于求解,如图设,,,一,则一,一一,丫,御,上,一一,消去,整理得关于的方程二,一一二脚,一''■一,一,一,一恒成立,方程恒有实数解,…应选例】年高考数学理科江西卷定义集合运算,,设,,,,则集合的所有元素之和为分析由题意得,二,,,其所有元素和为,故选基于通过图表解读考查分析表格,处理数据的能力来编制试题图表是工厂的产值、产量及生活中一种常见的数学应用形式,常见的形式有表格、柱形图、折线图、饼图、面积图、股价图、曲线图等解决这类问题的关键是识图、制图,学生要较好掌握例年高考数学文科湖北卷下图是样本容量为的频率分布直方图根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在【,内的频数为,数据落在,内的概率约为,【例年数学理科江苏卷某校甲、乙样本分据】 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法两个班级各有名编号为,,,,的学生进行投篮练习,每人投次,投中的次数如下表学生号号号号号甲班乙班则以上两组数据的方差中较小的一个为'【解析】考查统计中的平均值与方差的运算甲班的方差较小,数据的平均值为,一,,,一,,故方差例、例在文字描述的同时,辅于了直观图像,使问题的设计及呈现的方式新颖独特,对问题所显现出的数据、信息的提炼与加工能力要求较高例则是通过给予的表格考查考生分析表格,处理数据的能力对题干中给定资料的理解数学学习的最基本的要求是读懂数学课本,学会阅读数学书籍、资料这类创新题目往往集语文、数学、信息技术等学科于一体,内容丰富、形式多样、格调新颖,随着素质教育的深入开展,会显得更加多姿多彩【例】年高考数学理科安徽卷某地有、、、四人先后感染了甲型流感,其中只有到过疫区肯定是受感染的对于,因为难以断定他是口受一`还、一是二受一感染二的,,于一是。假,,定一他,受一和,受感染,的,概,一率都二是立一同样、二也,假,,定一受一、和感染的概率都是工在这种假定之下,、、中直接受感染的人数就是一个随机变量写出的分布列不要求写出计算过程,并求的均值即数学期望本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识体现数学的科学价值解随机变量的分布列是一﹄一一一一群一、工、生、工旦附的分布列的一种求法共有如下种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是工①②③④⑤⑥一一一一一·一一一一一一一`叱卜 第三章基于能力考查的数学创新试题的编制方法在情形①和②之下,直接感染了一个人在情形③、④、⑤之下,直接感染了两个人在情形⑥之下,直接感染了三个人推陈出新题这种试题是从学生已有的知识结构出发来编制试题,推陈出新,考查学生的创新能力这类试题的特点是在试题中有一个命题并指出一个方面,要求考生通过类比或推广的方式得出一个正确的新命题,或用尝试、验算,观察、猜想发现新的结论这个新命题或新结论通常是中学教学内容中没有的,其目的是考查学生创新思维能力【例】年高考数学理科浙江卷观察下列等式以心一,一,弓心心,,吼十以十喋十侧了'一,召疏碟召拿峪`,,,由以上等式推测到一个一般的结论对于任',以。,代。,呱十,…毗习·—答案`卜,一”,卜,解注这是一种需类炸推理方法破解的问题,结论由二项构成,第二项前有卜,二项指数分别为一,,,一,例年北京高考卷己知次多项式尺二十广,二十二气,如果在一种算法中,计算,,,…,的值需要一次乘法,计算。的值共需要次运算次乘法,次加法,那么计算以的值共需要次运算下面给出一种减少运算次数的算法几,凡尺、二,,,…,一利用该算法,计算只的值共需要次运算,计算只的值共需要次运算例题是从一个命题得到一个新的正确的命题,考查了学生数学创新能力例题是通过验算、观察的方法得到一个新的结论,同时也考查了学生对“一般到特殊”或“特殊到一般”的这个重要的数学思想方法的应用本章小结本章从数学创新试题的三大类型即研究性创新题、理解性创新题、推陈出新题来阐述数学创新试题的编制方法研究性创新题与研究性学习密切相关,在编制时主要体现在开放性、探究性以及实践性等三个方面而理解性创新题是通过对新信息、图表、题干等方面信息的理解来说明其编制方法最后是从学生己有的知识结构出发,推陈出新来编制推陈出新题 结论结论从能力考查角度探索数学创新题的编制具有积极的意义数学创新题型的设计己不仅仅是高考专门命题人员的工作,而是素质教育对广大中学教师提出的新的要求中学教师参与创新题型的设计与编制,也不仅仅是为了应付高考,而是通过这种题型的训练,激发兴趣,发展能力,提高素质,而且为数学创新思维的培养推广提供了生动有趣的素材,所以作为在一线工作的中学教师应该在教学的过程中处处留心,积累有助于编制数学创新试题的有用素材,同时把这些宝贵的经验用于教学中,那么将更加有力地推动素质教育的全面开展 参考文献参考文献〔」中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准实验北京人民教育出版社,,一。付小云课标课程背景下高中数学创新题的编制研究【福建师大硕士论文,〕刘建中,年高考数学创新试题分析【上海中学数学一刘智强近三年上海高考数学创新试题特点分析及启示数学教学研究一【」周湖平点击年高考数学创新试题【高中数学教与学一杨恩彬柯跃海陈清华基于选拔的高考试题编制研究一一一创新题编制研究几福建中学数学一〔张圣官高考填空题中的创新题型【上海中学数学一【毛仕理,童先鹏年高考数学创新试题赏析【数学通讯一傅钦志高考中的创新题赏析高一、高二、高三】数理天地高中版一【』郑运强盘点年高考数学创新题上【中学生数理化一【】郑运强盘点年高考数学创新题下【中学生数理化肠一【】章水云数学高考中的新题型【高中数学教与学一〔〕徐卫东高考数学热点追踪一类比推理题【高中数学教与学,一谢广喜高考数学创新试题命题方向分析【中学教研数学一【黄爱民盘点年高考数学创新题下【中学生数理化一〔徐明高考数学试题新亮点一一一类比题数学通讯一〕丁明忠陈铁山吴启发创新立意出活题一一高考数学新题型探索之二〔数学通讯一〔王勇高考数学选择题中的创新题型分类解析中学数学杂志高中一郝文良高考考查学生数学创新能力的四大热点】中学数学月刊一【刘利民浅析高考考查数学创新能力的方式【数学教学研究一【〕孙大志高考数学解答题中的八类创新题【数学大世界高中版的一【孟胜奇孟森解答高考数学创新题的存在问题与对策中学教研数学一白美林高考数学创新题举例中学数学月刊【一【冯广仲高考题对创新能力的考查〕中学数学一〔王勇各地对高考数学填空题中创新题型的预测中学数学一〔张圣官例析《填空题》高考创新题型【数学大世界高中版一王月梅,潘巨灵,肖利新型教学模式与学生创新能力的培养吉林师范大学学报自然科学版一〕侣海金良年全国高考中的探索型、开放性问题新动向【创新篇高考命题测一〔戴志祥赏析年数学高考中的能力型创新试题【河北理科教学研究一〔叼彭海燕以集合为载体的年高考创新试题中学数学研究肠一【】田彦武年高考数学创新试题分析及启示数学教学研究一【】刘绪良,齐龙新,田芝如何编制具有丰厚背景的应用问题〔中学数学杂志中一 福建师范大学学位论文使用授权声明福建师范大学学位论文使用授权声明本人姓名黄燕华川二学号了一专业学科教育·数学所呈交的论文论文题目基于能力考查的数学创新试题的编制研究是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果。本人了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定,即学校有权保留送交的学位论文并允许论文被查阅和借阅学校可以公布论文的全部或部分内容学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。保密的论文在解密后应遵守此规定学位论文作者签名青该竿指导教师签名石总风生乞签名日期 致谢致谢本论文从立题、开题、方案确定到论文撰写及修改定稿都在我导师张胜元教授的精心指导下完成的,导师渊博的知识、敏锐的思维、严谨求实的治学态度和宽以待人、严于律己、乐观向上的生活态度,给我留下了深刻的印象,并将会使我受益终生。在本文的撰写过程中,张老师至始至终给予关心和悉心的指导,并提出了富有建设性的意见和建议,令我感动不已,深刻体会到有恩师的指点,真是三生有幸啊在论文完成之际,谨向我的张胜元老师致以最崇高的敬意和最衷心的感谢在学习和论文的撰写过程中,数计学院很多老师都给予了我各方面的帮助和很多的建议与意见。本次学业的完成,不是我学习的终点而是一个新的起点。我要用新的理念和知识,潜心研究中学数学教学,在此向各位老师表示深深的谢意同时,诚挚地感谢本文所引资料的著者,也特别感谢评阅我论文的各位专家。最后,还要感谢我的家人长期以来对我学业的支持和鼓励,是他们为我顺利完成学业创造了条件。由于本人水平有限,因此文中难免出现错误和不完备的地方,恳请各位专家、学者不吝赐教,我将在以后的学习和工作中不断地充实和完善