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时间：2021-12-28
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1、第五章循环码要求掌握的内容根据多项式会写循环码的生成矩阵和校验矩阵会写循环码生成和校验矩阵的系统形式会画循环码的编码电路由生成多项式的根定义循环码第一节循环码定义循环码的生成多项式和校验多项式循环码的生成矩阵和校验矩阵循环码的系统码形式一、循环码定义定义1：设CH是一个[n.k]线性分组码，C1是其中的一个码字，若C1的左(右)循环移位得到的n维向量也是CH中的一个码字，则称CH是循环码。定义2：设是n维空间的一个k维子空间，若对任一恒有则称Vn,k为循环子空间或循环码问题一如何寻找k维循环子空间？ 如何设计[n,k]循环码？——利用多项式和有限域的概念注：1、GF(p)上
2、的n维向量与GF(p)上的多项式之间有一一对应的关系2、模n多项式F(x)的剩余类构成一个多项式剩余类环Fp[x]/F(x)，若在环中再定义一个数乘运算，即则模F(x)的剩余类构成一个n维线性空间，定义为剩余类线性结合代数。问题一转化为如何从模多项式xn-1的剩余类结合代数中寻找循环子空间？定理以多项式xn-1为模的剩余类线性结合代数中，其一个子空间Vn,k为循环子空间(或循环码)的充要条件是：Vn,k是一个理想。循环码是模xn-1的剩余类线性结合代数中的一个理想。问题二如何从多项式剩余类环中 寻找理想？由于1、多项式剩余类环中任何一个理想都是主理想——主理想中的所有元素可
3、由某一个元素的倍式构成2、在主理想的所有元素中，至少可找到一个次数最低的首一多项式g(x),即生成多项式定义：生成多项式g(x)是模xn-1剩余类代数中，一个理想的次数最低的非零首一多项式，它是理想或循环码的生成元。问题三如何寻找生成多项式g(x)？循环码模多项式xn-1剩余类线性结合代数中的理想生成多项式二、生成多项式和校验多项式两个定理定理1:GF(q)(q为素数或素数的幂)上的[n,k]循环码中，存在唯一的n-k次首一多项式g(x)，每一个码多项式C(x)必是g(x)的倍式，每一个小于等于(n-1)次的g(x)的倍式一定是码多项式两个定理定理2:GF(q)(q为素数或
4、素数的幂)上[n,k]循环码的生成多项式g(x)一定是xn-1的n-k次因式：xn-1=g(x)h(x)。反之，若g(x)为n-k次多项式，且xn-1能被g(x)整除，则g(x)一定能生成一个[n,k]循环码两个结论结论1:找一个[n,k]循环码，即是找一个n-k次首一多项式g(x)，且g(x)必是xn-1的因式。结论2:若C(x)是一个码多项式，则反之，若，则C(x)必是一个码多项式ExamplesGF(2)上，x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)试求一个[7,4]循环码。g(x)、xg(x)、x2g(x)、x3g(x)、三、循环码的生成矩阵和校验矩阵g
5、(x)决定生成矩阵，h(x)决定校验矩阵四、循环码的系统码——模g(x)的除
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