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1、准循环LDPC码的构造研究聂静(西北工业大学软件与微电子学院，陕西西安，710072)摘要:低密度奇偶校验(Lowdensityparitycode)码以其接近香农限的性能和相对简单的译码结构而得到信道编码界的广泛关注。性能好的QC-LDPC码不仅具有较低编码复杂度和较少的存储空间，而且在相同的信噪比的情况下，QC-LDPC码的误码率与随机构造的LDPC码相比并没有退化。因此，在实际应用中,QC-LDPC码是一类具有较好应用前景的LDPC码。虽然QC-LDPC码有众多优点，但想构造一个性能良好的码字却并非易事。关键字：线性分组码，低密度奇偶校验(LDPC)码，Tanner图(二分图)，圈长，
2、准循环低密度奇偶校验码(QC-LDPC)・1.LDPC码的基础知识1.1LDPC码的定义及优点LDPC码是低密度奇偶校验码，严格的说，它并不是一种与以往的编码完全没有关系的新码，实际上，它是一种特殊的线性分组码。一个线性分组码可以用校验矩阵来定义也可以用牛成矩阵来定义，LDPC码的定义是通过校验矩阵给岀的。稀疏矩阵(SparsityMatrix)在LDPC码中会经常用到，当一个矩阵中的元素大部分元素都是'0',只有很少一部分元素非'0'时，这样的矩阵就被称为稀疏矩阵。矩阵的稀疏程度与矩阵密度有关，即矩阵屮的非'(T元素所占的比例。当一个矩阵的矩阵密度小于等于0.5时,那么这个矩阵是稀疏的。如
3、下式给出的矩阵矩阵101(1)H=010101它的矩阵密度是0.55,是一个稀疏矩阵。当一个线性分组码的H是稀疏矩阵时，则由H给出的码称为LDPC码。LDPC码的H是稀疏矩阵，非’0'元素和对于'0'元素具有低密度性，低密度校验码的名称也是因此而来的。定义1.1(Gallager,1962用:一个LDPC码被定义为校验矩阵H的零空间，且H具有下列结构特征：(1)每一行有k个“1S(2)每一列有j个“1”；(3)任意两列(行)具有共同“1”的位置个数不大于1;(4)k和j与H的列数、行数相比是很小的。LDPC码之所以引起人们关注，主要归结于自身的许多独特优点：(1)当码长趋近于很大的时候，LD
4、PC码的最小码距和码长的比趋于一个常数而不是零。(2)Mackay和Neal的研究表明，采用优化设计的LDPC长码可以达到Turbo码的性能。最近的研究表明在非规则图上构造的LDPC长码的性能已非常地接近香农限⑴，这也是引起理论界极大关注的主要原因。(3)LDPC码的译码算法是一种基于稀疏矩阵的并行迭代译码算法，并且由于结构并行的特点，在硬件实现上比较容易。(4)LDPC码的码率可以任意构造，也可以打孔得到，有很大的灵活性。1.2线性分组码定义2.1[21：-个长度为n,有姑个码字的分组码C,当且仅当其廿个码字构成域GF(2)上所有n维向量空间F"的一个k维子空间时，称该分组码为(n,k)线
5、性分组码，且CuF”,k称为C的维数。通常情况下，任何(n,k)线性分组码可由其校验矩阵或生成矩阵唯一确定。2.QC—LDPC码的构造2.1基矩阵构造这里的基矩阵其实就是QC-LDPC码定义中的循环子矩阵。构造基矩阵面临的首要问题就是基矩阵的选择。对于规则QC-LDPC码，表示其性能的重要参数是行重和列重。考虑到单位矩阵是行重和列重固定为1的方阵，如果选择单位阵作为基矩阵，就可以构造任意行重和列重的规则QC-LDPC码⑶。当然同时也带来弊端：首先是构造出来的矩阵存在短环；其次是因为H矩阵由基矩阵构成，则H的行数和列数显然和基矩阵的维数有着对应关系，这就注定了代数构造法不能构造任意码长和码率的
6、QC-LDPC码(规则码本身就含有该约束)。然后就是基矩阵的变换规则，对QC-LDPC码而言，可以通过循环平移的变换方式。实现循环平移只需要一个参数即循环平移量。1.2Tanner图构造Tanner提出可以在奇偶校验矩阵屮用基于模m的乘法群结构放置循环矩阵来构造规则的QC-LDPC码，其中m为整数。对一个素数m,整数集｛0丄…,m・l｝的模m加法运算和乘法运算形成一个域，即GF(m)域。GF(m)域屮的非零元素形成一个循环乘法群。令a和b为乘数阶分别为o(a)=k,o(b)=j的两个非零元素，于是我们可以在GF(m)域内构成一个jXk阶的矩阵P,这个矩阵的第(s,t)个元素Pst=hsalo
7、aa2aba2bak-]b(2)abhXa2bH…因此，OWsWj-1,OWtWk・l,此矩阵可称为构造矩阵。由一个jXk的构造矩阵可以构成如式(2.24)的QC-LDPC码的校验矩阵H。1“(3)5其中lx是mXm阶的单位矩阵按行向左循环移位x位所构成的循环移位子矩阵。所以，式3中的校验矩阵H屮第(s,t)位的循环移位矩阵即是将mXm阶单位矩阵按行向左循坏移位ps,t位所得。按照这种方法所得的QC-LDPC
