纠错编码技术实验指导书

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1、纠错编码技术实验指导书昆明理工大学信息工程与自动化学院通信工程实验室2010年12月实验一线性分组码的编码与译码一、实验目的1、通过实验掌握线性分组码的编码原理2、通过实验掌握线性分组码的译码3、了解编码与检错能力之间的关系二、实验内容1、自行设置线性分组码或汉明码的参数，计算所设计出的线性分组码或汉明码的所有码字集合；2、利用库函数译码或利用通信工具箱设计译码模块译码；3、整理好所有的程序清单或设计模块，并作注释。三、实验设计原理1、线性分组码的定义将信源的输出序列分成长为的段，按一定的规则将编为长为的码

2、字（码符号序列）。码字共有位，其中k位为信息位，位为校验位，假设共有M个消息序列，则对应的M个码字的集合称为一个分组码，记为C。在上述分组码中，若与的对于关系是线性的，则称为线性分组码。2、生成矩阵和校验矩阵（1）生成矩阵根据线性分组码的定义，可以得出如下所述的一种构成线性分组码的方法。在线性分组码中，假设消息序列分别为这个消息序列的长度都是bit，对应于的码字分别为，，，…，，，均是长度为的二进制序列。这样，对于任意的消息序列，都可以用行矩阵表示为：对应的码字为。定义为该分组码的生成矩阵，则有生成矩阵的行

3、是线性独立的，因此，行的线性组合可以用于生成中的码字。生成矩阵将是秩为的阶矩阵，它完整地描述了编码的过程，有了生成矩阵，编码器的结构就很容易确定，即式（3-5）事实上给出了编码的实现方法。对一个给定的线性码，它的生成矩阵不是唯一的，因为生成矩阵的行可以有多种选择。生成矩阵提供了一种简明而有效地表示线性分组码的方法。阶矩阵可以生成个码字。因此，我们只需要一个生成矩阵而不需要含个码字的查询表。这对大码的储存空间是极大的节省。（2）校验矩阵为了在接收端进行正确的译码，可以定义一个对应于生成矩阵G的矩阵H，称为校验

4、矩阵或监督矩阵，满足或（3-6）即生成矩阵的行与校验矩阵的行相互正交。由于是阶矩阵，故是阶矩阵，0是一个阶的全0矩阵。由和得或（3-7）由于是阶行矩阵，故式中0亦为阶行矩阵。式（3-7）事实上给出了译码的实现方法，因为校验矩阵是已知的，如果接收到的码矢与它转置的乘积为0，则说明接收无误，否则说明存在错误。3、线性分组码的译码（1）用标准阵列译码由标准阵列的构成可知，第一行为码矢，从第二行开始，每一列与本列的第一行元素都只相差一个陪首集。在标准阵列中出现的个矢量都是可能的错误图案，而陪集首选的是本行中重量最轻

5、的矢量，所以就是最小距离译码，即最小错误概率译码。接收到y后，到标准阵列中去找（因为个矢量全部列在其中，总可以找到），如果接收到的字是个合法码字，那么可以下结论说没有错误发生（这个结论可能是错的，就是当噪声把一个合法码字改变成另一个合法码字时，但它的错误概率很低）。如果接收到的码字是一个禁用码字时，我们推测发生了错误。译码器则声明陪集首就是错误图样，然后译码为，这就是在同一列中最上边的那个码字。因此，我们把接收到的字译为包含该字的列的最上边的那个码字。（2）译码表译码我们可以将标准阵列译码和伴随式译码结合起

6、来简化成更为实用的译码表，译码表保留了标准阵列中的个可纠正错误图样（陪集首）与其伴随式之间的一一对应关系，译码器存储该表后，在译码时就可以查表实现从伴随式到错误图样的转换。用译码表译码，译码正确的概率与陪集首的选择有关。根据最大后验概率译码准则，重量最轻的错误图样产生的可能性最大，所以应该优先选择重量小的n重作为陪集首。这样构造的译码表，使得与之间的距离最小，从而使译码器能以更大的正确概率译码，这就是最小距离译码。4、汉明码汉明码是1951年由汉明（R.W.Hamming）提出的能纠正单个错误的线性分组码。

7、它性能良好，既具有较高的可靠性，又具有较高的传输效率，而且编译码电路较为简单，易于工程实现，因此汉明码在发现后不久，就得到了广泛的应用。我们的目的是要寻找一个能纠正单个错误，且信息传输率（即码率r=k/n）最大的线性分组码。我们已经知道，具有纠正单个错误能力的线性分组码的最小距离应为3，即要求其矩阵中至少任意两列线性无关。要做到这一点，只要矩阵满足“两无”——无相同的列，无全零列就可以了。（n，k）线性分组码的矩阵是一个阶矩阵，这里是校验元的数目。显然，个校验元能组成列互不相同的重矢量，其中非全零矢量有个。

8、如果用这个非全零矢量作为矩阵的全部列，即令矩阵的列数，则此矩阵的各列均不相同，且无全零列，由此可构造一个纠正单个错误的（n，k）线性分组码。同时，是所能取的最大值，因为如果，那么矩阵的列中必会出现相同的两列，这样就不能满足对矩阵的要求。而由于是所能取的最大值，也就意味着码率取得了最大值，即这样设计出来的码是符合我们的要求的，这样的码就是汉明码。定义若H矩阵的列是由非全零且互不相同的所有二进制r重矢量组成，则由此得