一种混沌非线性系统的鲁棒控制

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1、一种混沌非线性系统的鲁棒控制通过应用反馈精确线性化方法给出了受控一类混沌系统的标准型,然后利用标准形将线性部分和非线性部分的分离特点进行了鲁棒控制器的设计,由此设计出原混沌系统的非线性鲁棒控制器。1、受控混沌系统的标准型考虑一下一类混沌系统：（1）其中，未知。首先引入输出信号，构造如下受控混沌系统：其中是控制参变量，其它参数同系统（1）。本文中所采用方法的目的是根据系统（2）本身的特点来设计鲁棒控制器，使得统一混沌系统（2）收敛到指定的平衡点处，显然应满足下列方程：（3）式（2）减式（3）得（4

2、）其中。通过上述分析，要设计鲁棒控制器使得混沌系统（2）收敛到指定的平衡点处，就是使受控统一混沌系统（4）收敛到平衡点（0,0,0）处。为了叙述方便，将式（4）简记为下列的式（5）：（5）其中用代替，代替以及用代替，记为：，，，混沌受控系统（5）为下列含参变量的非线性系统：（6）其中参数同系统（1）。当时，系统（6）的标称系统具有的相对阶为2。而事实上，因此系统（6）的标称系统具有相对阶为2，若将系统（6）化为标准型，只要找到一个满足下式的即可。可取。那么对系统（6）进行如下坐标变换：（7）则式

3、（7）的逆变换为：因为：=则有：取状态反馈为引入的新控制变量。则系统（8）可化为如下标准型：又因为=，，故矩阵的秩因此由上述讨论可知系统（6）与系统（9）是反馈等价系统。如果能构造出系统（9）的鲁棒控制器，那么也就可以得到系统（6）的鲁棒控制器了。3、非线性鲁棒控制器的设计混沌系统的标准型（9）已将系统（6）的线性部分与非线性部分分离出来。这样可以通过构造线性鲁棒控制器使得线性部分的渐近性来控制非线性部分的渐近性。对线性部分：（10）可以通过线性控制律使得子系统（10）的鲁棒稳定。定理1如果线性

4、控制律的参数满足，则线性控制律使得子系统（10）的鲁棒稳定。证明将线性控制律代入式（10）得（11）设系统（11）的特征多项式为，则：当，又，则：故特征多项式方程的所有根的虚部为负，故系统（11）鲁棒稳定。对线性系统（11）来说，渐近稳定意味指数稳定。则由指数稳定的定义知：有（12）对于非线性子系统（13）为讨论问题的方便，现考虑平衡点的镇定，此时，（13）)式变为（14）其他平衡点的讨论类似。为了讨论式（14）在一定条件下的稳定性，现引入引理1。引理1　若非负函数满足下列不等式则证明令，则：又

5、=显然当时式（15）不等式右端均指数趋于0。因此：证毕。现取Lyapunov函数，应用式（12）及不等式可得（16）将引理1应用于式（16）可知，从而即式（14）子系统是指数收敛于原点。说明满足定理1的控制器可使系统（9）鲁棒镇定到原点。通过以上分析可得到下列定理2定理2如果非线性控制器取为其中，为系统（1）的平衡点。则系统（5）指数收敛于。4、仿真这里我们将举例说明定理2的有效性。若取(这是未知参数即扰动项，为了仿真特取此值)。此时，非线性鲁棒控制器为，利用Simlink仿真,结果见图1，系统

6、（5）从t=20开始实施控制，可以看到三分量很快被镇定到原点(由于分量轨迹靠的很近在图中几乎交叉重叠)。图1　受控混沌系统（5）3个分量的相图