10.约束问题与临界值

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1、高中物理解题方法——约束问题与临界值约束问题与临界值　　现行高中物理教材的各种版本中，都未曾提及约束问题。然而，有关约束问题的习题却不少，就是在高考中也常出现这类题型。至于中学物理竞赛试题中更是屡见不鲜，并常以拔高题出现。下面拟就中学物理中有关约束问题，作一浅析。　　1.有关约束问题的基本概念如果某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就说该物体的运动受到约束。那么该曲线或曲面就称为约束。例如：图1中单摆小球被限制在圆弧上运动；图2中物体m沿（光滑或粗糙的）斜面下滑，物体m被限制在斜面上运动；图3中导体

2、ab被限制在导电滑轨MN上运动等等，都属于约束问题。图1中的摆线，图2中的斜面，图3中的滑轨等都叫约束。由此可以看出，约束既是实在的物体，又是某些物体对别的物体运动限制作用的抽象。约束的分类随依据不同而异。按约束随时间改变与否，可分为稳定约束与不稳定约束。例如：图2中，如果斜面体是固定的，则称为稳定约束，如果斜面体是放在光滑的水平面上，当m下滑时，斜面体本身也作加速运动，则称为不稳定约束。按其约束的方向来分，可分为单向约束和多向约束。如图1中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，则称为单向约束；图4中，

3、带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时，除沿杆的方向以外，其他方向都受到限制，称为多向约束。从约束的光滑情况来分，又可分为光滑约束和有摩擦约束。力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力。例如：图1中绳子对小球的拉力；图2中斜面对物体的支持力等等都叫做约束反力。由上述定义可以看出，约束反力是因其起源和作用而得名，在含意上有其狭义的规定性，就性质而言都属于弹力，且都是约束对研究物体的作用力。　　2.约束反力的求解　　约束反力的大小及其变化情况，往往不能预先知道，也不是都能由平衡条件计算出来的，而需要根据物体的运动

4、被限制在约束上这一条件，运用牛顿运动定律列方程求解。高中物理解题方法——约束问题与临界值　　【例1】一质量为m的小球，与长为l的细绳组成一单摆。现将此单摆拉到与竖直线成α角的位置，由静止释放，在摆动途中，摆绳被一钉子A所阻，钉子与摆的悬挂点O相距r，两者连线与竖直线成β角。如图5所示。试求：　　⑴摆绳为钉子所阻后，绳子张力的表达式。　　⑵小球在继续上升的过程中，若摆绳发生弯曲，在此情况下，L、r、β、α之间的关系。【解析】⑴小球从开始摆动到摆绳发生弯曲之间，都属于单向约束问题。小球摆到图示位置B时，是以钉

5、子A为圆心的，以L－r为半径的圆周运动。设绳子对小球的约束反力为T，AB线与竖直夹角为θ，由机械能守恒定律得：………………①由牛顿运动定律得此时法向方向方程：……………………………………………②　　式①②联立解得：⑵若绳子发生弯曲，则T=0，意味着约束解除，由此条件求得：而θ只有在时，绳子才有可能弯曲，故而1＜cosθ＜0，　　即：　　由此得出的L，r，α，β应满足的条件为：3(L－r)＜－2(rcosβ－Lcosα)＜0　　即：　　3.双向约束问题中约束反力的转换　　如果约束从两侧限制物体的运动，则约束

6、反力的方向是可能发生改变的，这一点可以通过下面的例子看出。　　【例2】用细线把质量为M的大圆环挂起来，环上套有两个质量均为m的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动。若两小环同时从大环顶部由静止开始向两边滑下，如图6所示。试证明：如果，则大环会升起来。并求大环开始上升时小环位置θ为多少？【解析】此题中小环受到双向约束。设细线张力为T，小环与大环间相互作用力为N高中物理解题方法——约束问题与临界值（即约束反力），小球滑到位置θ角时的速度为v。则：对小环：………………………………①…………………………②由式①②可

7、解得约束反力：N=mg(3cosθ－2)当时，N=0，此时约束瞬间解除。若θ角再增大，时，N<0，说明约束力又复出现而且改变方向。小环对大环的反作用力将可以提供向上的分力，从而可能使大环升起。　　对大环：T=Mg＋2Ncosθ…………………………………③　　当大环升起时，绳子张力T=0，（绳对大环的约束解除）　　∴T=Mg+2Ncosθ=Mg+2mg(3cosθ－2)cosθ=0　　6mcos2θ－4mcosθ+M=0由数学知识可知，只有当时，上式为实数，cosθ有解，此时小环的位置用θ角表示为：　　4.

8、有摩擦力的约束中的区间问题　　约束反力在约束（曲线或曲面）的垂直方向（法向），如果有摩擦存在，它却在约束的切线方向。因此在研究有摩擦的约束问题时，先要根据物体有几个可能的运动方向，确定相应的摩擦力的方向。最常见的情况是存在两种可能的运动方向，故而摩擦力的方向也就有两种可能取向。因此，在运用牛顿运动定律列方程时，也将会出现两组，这就导致某些相关量参数有一变化区间。　　【例3】有一顶角为60°的锥形容器，在距顶点Ｏ为L=1.0m处