约束问题与临界值

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1、约束问题与临界值　现行高中物理教材的各种版本中，都未曾提及约束问题。然而，有关约束问题的习题却不少，就是在高考中也常出现这类题型。至于中学物理竞赛试题中更是屡见不鲜，并常以拔高题出现。下面拟就中学物理中有关约束问题，作一浅析。　　1．有关约束问题的基本概念 　　如果某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就说该物体的运动受到约束。那么该曲线或曲面就称为约束。例如图1中单摆小球被限制在圆弧上运动；图2中物体m沿（光滑或粗糙的）斜面下滑，物体m被限制在斜面上运动；图3中导体ab被限制在导电滑轨MN上运动等等，都属于约束问题。图1中的摆

2、线，图2中的斜面，图3中的滑轨等都叫约束。由此可以看出，约束既是实在的物体，又是某些物体对别的物体运动限制作用的抽象。　　约束的分类随依据不同而异。按约束随时间改变与否，可分为稳定约束与不稳定约束。例如图2中，如果斜面体是固定的，则称为稳定约束，如果斜面体是放在光滑的水平面上，当m下滑时，斜面体本身也作加速运动，则称为不稳定约束。按其约束的方向来分，可分为单向约束和多向约束。如图1中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，则称为单向约束；图4中，带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时，除沿杆的方向以外，其他方向都受到限制，称为多向约束。

3、从约束的光滑情况来分，又可分为光滑约束和有摩擦约束。　　力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力。例如图1中绳子对小球的拉力，图2中斜面对物体的支持力等等都叫做约束反力。由上述定义可以看出，约束反力是因其起源和作用而得名，在含意上有其狭义的规定性，就性质而言都属于弹力，且都是约束对研究物体的作用力。　　2．约束反力的求解　　约束反力的大小及其变化情况，往往不能预先知道，也不是都能由平衡条件计算出来的，而需要根据物体的运动被限制在约束上这一条件，运用牛顿运动定律列方程求解。　　[例1]一质量为m的小球，与长为l的细绳组成一单摆。现将此

4、单摆拉到与竖直线成α角的位置，由静止释放，在摆动途中，摆绳被一钉子A所阻，钉子与摆的悬挂点o相距r，两者连线与竖直线成β角。如图5所示。试求：　　（1）摆绳为钉子所阻后，绳子张力的表达式。　　（2）小球在继续上升的过程中，若摆绳发生弯曲，在此情况下，L、r、β、α之间的关系。　　[解析]（1）小球从开始摆动到摆绳发生弯曲之间，都属于单向约束问题。小球摆到图示位置B时，是以钉子A为圆心的，以L—r为半径的圆周运动。设绳子对小球的约束反力为T，AB线与竖直夹角为θ，由机械能守恒定律得　　　　由牛顿运动定律得此时法向方向方程　　　　式（1

5、）、（2）联立解得　　　　（2）若绳子发生弯曲，则T=0，意味着约束解除，由此条件求得　　　　　　　1＜cosθ＜0　　即　　　　由此得出的L，r，α，β应满足的条件为　　3（L-r）＜-2（rcosβ-Lcosα）＜0　　即　　　　3．双向约束问题中约束反力的转换　　如果约束从两侧限制物体的运动，则约束反力的方向是可能发生改变的，这一点可以通过下面的例子看出。　　[例2]用细线把质量为M的大圆环挂起来，环上套有两个质量均为m的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动。若两小环同时从大环顶部由则大环会升起来。并求大环开始上升时小环位置θ为

6、多少？　　[解析]此题中小环受到双向约束。设细线张力为T，小环与大环间相互作用力为N（即约束反力），小球滑到位置θ角时的速度为v。则　　　　由式（1）、（2）可解得约束反力　　N=mg（3cosθ-2）　　变方向。小环对大环的反作用力将可以提供向上的分力，从而可能使大环升起。　　对大环：T=Mg＋2Ncosθ（3）　　当大环升起时，绳子张力T=0，（绳对大环的约束解除）　　∴T=Mg+2Ncosθ　　　=Mg+2mg（3cosθ-2）cosθ　　　=0　　6mcos2θ-4mcosθ+M=0　　　　cosθ有解，此时小环的位置用θ角

7、表示为　　　　4.有摩擦力的约束中的区间问题　　约束反力在约束（曲线或曲面）的垂直方向（法向），如果有摩擦存在，它却在约束的切线方向。因此在研究有摩擦的约束问题时，先要根据物体有几个可能的运动方向，确定相应的摩擦力的方向。最常见的情况是存在两种可能的运动方向，故而摩擦力的方向也就有两种可能取向。因此，在运用牛顿运动定律列方程时，也将会出现两组，这就导致某些相关量参数有一变化区间。　　[例3]有一顶角为60°的锥形容器，在距顶点o为L=1.0m处有一质量m=1.0kg的小物体，让物体m与容器一起绕通过o点的竖直轴线作匀速转动（见图7）

8、。（1）若ω1=5rad/s，则摩擦因数μ至少应为多大才能实现这一情况？（2）若ω2=8rad/s时，μ应为多大才能实现这一情况？　　[解析]（1）先假设物体有向下滑动的趋势，则摩擦力将沿斜面向上，物体受力如图8所示，沿圆周的切向和法